专题一：立体几何大题中有关体积的求法

高二（上）数学专题系列立体几何-体积有关问题专题11/4APBCDH专题一：立体几何大题中有关体积的求法角度问题、距离问题、体积问题是立体几何的三大基本问题。以下是求体积的一些常用方法及有关问题。一公式法1．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为．2.（2011广东卷文9）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（）．A．43B．4C．23D．2练习3.一个几何体的俯视图是一个圆，用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为6和4的平行四边形，则该几何体的体积为___________.4.一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为▲[来二、转换法当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．5例在边长为a的正方体1111ABCDABCD中，MNP，，分别是棱11111ABADAA，，上的点，且满足11112AMAB，112ANND，1134APAA（如图1），试求三棱锥1AMNP的体积．6练习（2013年高考江西卷（文））如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中,AB//CD,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3.求点B1到平面EA1C1的距离三、割补法分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法．7例已知三棱锥ABCP，其中4PA,2PCPB,60BPCAPCAPB求：三棱锥ABCP的体积。8练习如图2，在三棱柱111ABCABC中，EF，分别为ABAC，的中点，平面11EBCF将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比9练习。如图（3），是一个平面截长方体的剩余部分，已知12,8,5,3,4CGBFAEBCAB，求几何体EFGHABCD的体积。10四面体ABCS的三组对棱分别相等，且依次为5,13,52，求四面体ABCS的体积。巩固练习11.如图，在四棱锥ABCDP中，底面为直角梯形，//,90ADBCBAD，PA垂直于底面ABCD，ABCSCDAHEBGF高二（上）数学专题系列立体几何-体积有关问题专题12/4FAECOBDMABCDA1B1C1D1PABCD1A1B1C1DEF图3NMBCABADPA,,22分别为PBPC,的中点。(1)求四棱锥ABCDP的体积V；（2）求截面ADMN的面积。12.如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，5AB，AA1＝4，点D是AB的中点.求多面体111CBAADC的体积.13.如图3，直四棱柱1111DCBAABCD的底面ABCD是菱形，060ABC，其侧面展开图是边长为8的正方形。E、F分别是侧棱1AA、1CC上的动点，8CFAE．问多面体1BCFBAE的体积V是否为常数？若是，求这个常数，若不是，求V的取值范围．14.如图，已知BCD中，90BCD，1CDBC，AB⊥平面BCD，60ADB，E、F分别是AC、AD上的动点，且)10(ADAFACAE．(1)求证：不论为何值，总有EF⊥平面ABC；(2)若21，求三棱锥BEFA的体积．15.如图，已知1111ABCDABCD是底面为正方形的长方体，1160ADA，14AD，点P是1AD上的动点．试求四棱锥1111PABCD体积的最大值；16.如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，EFAB//，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且2AB，1EFAD.设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为ABCDFV，CBEFV，求ABCDFVCBEFV:．DCBAA1B1C1高二（上）数学专题系列立体几何-体积有关问题专题13/4专题一：立体几何大题中有关体积的求法1-4略5解：11131111111112313323223424AMNPPAMNAMNVVShAMANAPaaaa△·······．67解：作BC的中点D，连接PD、AD，过P作ADPH，垂足H易证PH即为三棱锥ABCP的高，由棱锥体积公式PHSVABCABCP31即得三棱锥ABCP的体积423PABCV。8设棱柱的底面积为S，高为h，其体积VSh．则三角形AEF的面积为14S．由于1111734212AEFABCSSVhSSh··，则剩余不规则几何体的体积为111751212AEFABCVVVShShSh，所以两部分的体积之比为111:7:5AEFABCVV．9首先通过梯形BFHDACGE,的中位线重合，我们可以求得9DH,分别延长DHCGBFAE,,,到','','DCBA,使得17''''DDCCBBAA,则我们可得故长方体''''DCBAABCD的体积是几何8',5',9',12'HDGCFBEA体EFGHABCD的二倍。故10217432121''''DCBAABCDEFGHABCDVV10把四面体ABCS补形成一个长方体FSGCADBE，三度分别是4,3,2则8432213144324FSCAFSGCADBEABCSVVV1112GBECSAFD高二（上）数学专题系列立体几何-体积有关问题专题14/413141516