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高三文科数学第1页(共9页)武昌区2020届高三年级元月调研考试文科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合}02|{2xxxA,}02|{xxB,则BAA.)1,2(B.)0,1(C.)2,0(D.)2,1(2.已知复数z满足i2)i1(z,则z在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知}{na是各项均为正数的等比数列,311a,1223aa,则naA.13nB.23nC.12nD.22n4.已知2.0log1.0a,2.0log1.1b,2.01.1c,则a,b,c的大小关系为A.cbaB.bcaC.abcD.bac5.等腰直角三角形ABC中,90C,2BCAC,点P是斜边AB上一点,且PABP2,则)(CBCACPA.4B.2C.2D.46.从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是A.31B.21C.32D.657.已知数列}{na中,11a,nnSn21232,设11nnnaab,则数列}{nb的前n项和为A.13nnB.133nnC.231nnD.2333nn8.已知三棱锥ABCS的所有顶点都在球O的球面上,SA平面ABC,120BAC,2ACABSA,则球O的表面积为高三文科数学第2页(共9页)A.4πB.π54C.π20D.6π39.已知双曲线15422yx的左焦点为F,点P为其右支上任意一点,点M的坐标为)3,1(,则PMF周长的最小值为A.105B.1010C.135D.13910.函数)sin()(xAxf(0A,0,2π0)的部分图象如图所示,给出下列说法:①直线12π5x为函数)(xf的一条对称轴;②点)0,3π2(为函数)(xf的一个对称中心;③函数)(xf的图象向右平移3π个单位后得到函数xy2sin2的图象.其中,正确说法的个数是A.0B.1C.2D.311.已知直线l与抛物线xy62交于不同的两点A,B,直线OA,OB的斜率分别为1k,2k,且321kk,则直线l恒过定点A.)0,36(B.)0,33(C.)0,32(D.)0,3(12.已知函数.0,ln,0,1)(xxxaxxf若函数)(xf的图像上存在关于坐标原点对称的点,则实数a的取值范围是A.]0,(B.]1,(C.]0,21[D.]1,21(二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数xxy2coscos)(Rx的最大值为______.14.若直线l:023mmyx被圆C:024222xyx截得的线段最短,则实数m的值为______.15.已知一组数据10,5,4,2,2,2,x,且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2高三文科数学第3页(共9页)ABECDMA1倍,则x所有可能的取值为______.16.如图,已知平行四边形ABCD中,60BAD,ADAB2,E为边AB的中点,将ADE沿直线DE翻折成DEA1.若M为线段CA1的中点,则在ADE翻折过程中,有下列三个命题:①线段BM的长是定值;②存在某个位置,使CADE1;③存在某个位置,使//MB平面DEA1.其中正确的命题有______.(填写所有正确命题的编号)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(本题12分)在锐角ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且cBAbBBa23sincoscossin.(1)求B;(2)若2b,求ABC的面积的最大值.18.(本题12分)如图,在直三棱柱111CBAABC中,ABAC,21ACABAA,D,E,F分别为AB,BC,BB1的中点.(1)证明:FA1平面DEB1;(2)求直线BE与平面DEB1所成角的正弦值.A1CBAB1DC1EF高三文科数学第4页(共9页)19.(本题12分)为了增强消防意识,某部门从男,女职工中各随机抽取了20人参加消防知识测试(满分为100分),这40名职工测试成绩的茎叶图如下图所示:(1)根据茎叶图判断男职工和女职工中,哪类职工的测试成绩更好?并说明理由;(2)(ⅰ)求这40名职工成绩的中位数m,并填写下面列联表:超过m的人数不超过m的人数男职工女职工(ⅱ)如果规定职工成绩不少于m定为优秀,根据(ⅰ)中的列联表,能否有99%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关?附:))()()(()(22dbcadcbabcadnK.P(kK2)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820.(本题12分)已知椭圆E:)0(12222babyax的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点,且焦点到椭圆上的点的最短距离为1.(1)求椭圆E的方程;(2)过点)0,4(M的直线l与椭圆交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为A,求证:直线BA过定点,并求出该定点的坐标.21.(本题12分)已知函数21ln)1()(axxxaxf.(1)讨论)(xf的单调性;(2)若)(xf有两个极值点1x,2x)(21xx,且至少存在两个零点,求2121)()(xxxfxf的取值范围.男女86556899762701223456689877654332814452110090高三文科数学第5页(共9页)(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.[选修4-4:坐标系与参数方程](本题10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为tytx222,22(t为参数).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为.22cos239.(1)写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程;(2)若1C与y轴交于点M,1C与2C相交于A、B两点,求||||MBMA的值.23.[选修4-5:不等式选讲](本题10分)(1)已知||||)(xaxxf,若存在实数x,使2)(xf成立,求实数a的取值范围;(2)若0m,0n,且3nm,求证:341nm.武昌区2020届高三年级元月调研考试文科数学参考答案及评分细则一、选择题:题号123456789101112答案BABDDCACDCCB二、填空题:13.8914.115.11,3,1716.①③三、解答题:解:(1)由正弦定理,知CBABBBAsin23sincossincossinsin,即CBABsin23)sin(sin,CBABsin23)sin(sin,23sinB,高三文科数学第6页(共9页)所以3πB.………………………………………(4分)(2)由余弦定理,知Baccabcos2222,即3πcos2422acca,所以acacca224,当且仅当ca时取等号.所以4ac,所以3sin21BacSABC.…………………………………(12分)18.(本题12分)解:(1)因为ABAC,ACDE//,所以ABDE.因为1AA平面ABC,DE平面ABC,所以DEAA1.因为AAAAB1,所以DE平面BBAA11.因为FA1平面BBAA11,所以FADE1.易证FADB11,因为DEDDB11,所以FA1平面DEB1.……………(6分)(2)取AA1的中点G,连结BG交DB1于H.由(1)知FA1平面DEB1,而FABG1//,所以BG平面DEB1.连结EG,则BEG为直线BE与平面DEB1所成的角.在BDB1Rt,求得52BG.又因为2BE,所以510sinBEBGBEG.……………(12分)19.(本题12分)解:(1)由茎叶图可知,男职工的成绩更好,理由如下:①男职工的成绩的中位数为85.5分,女职工的成绩的中位数为73.5分;②男职工的成绩的的平均数髙于80分,女职工的成绩的平均数低于80分;③男职工的成绩中,有75%的成绩不少于80分,女职工的成绩中,有75%的成绩至多79分;④男职工的成绩分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;女职工的成绩的分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.因此,男职工的成绩更好.……………………(4分)(注:以上给出了4种理由,考生答出其中一种或其他合理理由均可得2分)(2)(ⅰ)由茎叶图可知:8029179m80m,列表如下:超过m不超过m男职工155A1CBAB1DC1EF高三文科数学第7页(共9页)女职工515……………(8分)(ⅱ)由表中数据,计算2240(151555)106.63520202020k,所以,有99.9%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关.……………(12分)20.(本题12分)解:(1)由,1,3cacb及222cba,得2a,3b.所以,椭圆E的方程为13422yx.……………(4分)(2)设直线l的方程为4myx,代入椭圆方程,并整理,得03624)43(22myym.由0,得22m.设),(11yxA,),(22yxB,则4324221mmyy,4336221myy.因为A),(11yx,所以1212xxyykBA,于是,直线BA的方程为)(112121xxxxyyyy.即])()[(1212111212yyxxyxxxxyyy,)(1212211212yyyxyxxxxyyy,将411myx,422myx,4324221mmyy,4336221myy代入,得)1(1212xxxyyy,所以,直线BA过定点)0,1(.……………(12分)另解:在111212)(yxxxxyyy中,令0y,得1)(42)(212121121221112121yyyyymyyyyxyxxyyxxyx.所以,直线BA过定点)0,1(.……………(12分)21.(本题12分)解:(1))(xf的定义域为),0(,且2)1)(1()(xaxxxf.令0)(xf,得1x或ax1.当0a时,01ax,)(xf在)1,0(单调递减,在),1(单调递增;当10a时,)(xf在)1,0(单调递减,在)1,1(a单调递增,在),1(a单调递减;当1a时,)(xf在),0(单调递减;当1a时,)(xf在)1,0(a单调递减,在)1,1(a单调递增,在),1(单调递减.(5分)高三文科数学第8页(共9页)(2)由(1)知,10a或1a.因为03)1(af,所以10a不合题意.因为1a时,)(xf在)1,0(a单调递减,在)1,1(a单调递增,在),1(单调递减.所以,0)1(,0)1(faf即,03,0)ln1)(1(aaa解得3ea.此时aaaaaaaaxxxfxfln1411)ln1)(1(3)()(2121
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