2013年数学高考备考二轮复习 核心考点五 第14课时 椭圆、双曲线与抛物线

第14课时椭圆、双曲线与抛物线1．(2012年新课标)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝,则C的实轴长为()43A.2B．22C．4D．8解析：设等轴双曲线C的方程为x2－y2＝m(m0)，抛物线的准线为x＝－4，由|AB|＝43，则|yA|＝23，把点A(－4,23)代入双曲线方程，得m＝x2－y2＝16－12＝4，所以双曲线方程为x2－y2＝4，即x24－y24＝1，所以a2＝4，a＝2，所以实轴长2a＝4，故选C.C2．(2012年江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2m－y2m2＋4＝1的离心率为5，则m的值为________．2解析：由x2m－y2m2＋4＝1，得a＝m，b＝m2＋4，c＝m＋m2＋4.∴e＝ca＝m＋m2＋4m＝5，即m2－4m＋4＝0，解得m＝2.3．(2011年广东)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线)y＝0相切，则C的圆心轨迹为(A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆解析：依题意得，圆C的圆心到点(0,3)的距离与它到直线y＝－1的距离相等，故圆C的圆心轨迹为抛物线．A在近几年的高考试题中，圆锥曲线的内容在试题中所占的比例一直稳定在16%左右，预计高考对本节内容的考查是：椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和性质及其简单运算，难度中等，各种题型都有可能．椭圆、抛物线是重点中的重点．例1：已知椭圆C：＝1(ab0)的长轴长为4.圆交于M，N两点，直线PM，PN的斜率乘积为－，求椭圆椭圆(1)若以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切，求椭圆的焦点坐标；(2)若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭的方程．x2a2＋y2b214解：(1)由直线与圆相切，知：212＋12＝b，得b＝2.由2a＝4，得a＝2，则c2＝a2－b2＝4－2＝2.∴两个焦点坐标为(－2，0)，(2，0)．(2)由于过原点的直线L与椭圆的两个交点关于原点对称．不妨设M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)，∵点M，P在椭圆上，∴x2a2＋y2b2＝1，x20a2＋y20b2＝1.相减，得y2－y20x2－x20＝－b2a2，由题意，知：直线PM，PN的斜率存在，则kPM＝y－y0x－x0，kPN＝y＋y0x＋x0，kPM·kPN＝y－y0x－x0·y＋y0x＋x0＝y2－y20x2－x20＝－b2a2＝－14.由a＝2，得b＝1，∴所求的椭圆方程为x24＋y2＝1.率的乘积为常数－，此结论可以证明，并且可以类比到双曲【思维点拨】注意结论：若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆交于M，N两点，直线PM，PN的斜线中也成立．b2a2【配对练习】1．(2012年新课标)设F1，F2是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，P为直线x＝3a2上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()A.12B.23C.34D.45答案：C解析：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则有|F2F1|＝|F2P|.∵∠PF1F2＝30°，∴∠PF2D＝60°，∠DPF2＝30°，∴|F2D|＝12|PF2|＝12|F1F2|，即3a2－c＝12×2c＝c，∴3a2＝2c，即ca＝34，∴椭圆的离心率为e＝34，故选C.双曲线点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()例2：(2012年湖南)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，A.x220－y25＝1B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1D.x220－y280＝1答案：A解析：设双曲线C：x2a2－y2b2＝1的半焦距为c，则2c＝10，c＝5.又∵C的渐近线方程为y＝±bax，点P(2,1)在C的渐近线上，∴1＝ba·2，即a＝2b.又c2＝a2＋b2，∴a＝25，b＝5，∴C的方程为x220－y25＝1.【配对练习】2．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()DA.2B.3C.3＋12D.5＋12解析：设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，则F(c,0)，B(0，b)，则kBF＝－bc，双曲线的渐近线方程为y＝±bax，∴－bc·ba＝－1，即b2＝ac，c2－a2＝ac.∴e2－e－1＝0，解得e＝1±52.又e＞1，∴e＝5＋12.抛物线例3：(2012年新课标)设抛物线C：x2＝2py(p0)的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．2解：(1)由对称性，知：△BFD是等腰直角三角形，斜边|BD|＝2p.点A到准线l的距离d＝|FA|＝|FB|＝2p.S△ABD＝42⇔12×|BD|×d＝42⇔p＝－2(舍去)或p＝2.∴F(0,1)，r＝|FA|＝22，则圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.(2)由对称性，设Ax0，x202p(x00)，则F0，p2.点A，B关于点F对称，得B－x0，p－x202p⇒p－x202p＝－p2⇔x20＝3p2，故A3p，3p2，直线m：y＝3p2－p23px＋p2⇔x－3y＋3p2＝0.x2＝2py⇔y＝x22p⇒y′＝xp＝33⇒x＝33p⇒切点P3p3，p6.直线n：y－p6＝33x－3p3⇔x－3y－36p＝0.故坐标原点到m，n距离的比值为3p2∶3p6＝3.【配对练习】3．(2012年安徽)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为()A.22B.2C.322D．22解析：设∠AFx＝θ(0θπ)及|BF|＝m，则点A到准线l：x＝－1的距离为3，∵3＝2＋3cosθ⇔cosθ＝13，又m＝2＋mcos(π－θ)⇔m＝21＋cosθ＝32，∴△AOB的面积为S＝12×|OF|×|AB|×sinθ＝12×1×3＋32×223＝322.答案：C1．与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的双曲线系方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．2．抛物线的焦半径、焦点弦．(1)y2＝2px(p≠0)的焦半径|PF|＝x＋p2；x2＝2py(p≠0)的焦半径|PF|＝y＋p2.(2)若AB为抛物线y2＝2px的焦点弦，则xAxB＝p24，yAyB＝－p2，|AB|＝xA＋xB＋p.3．求曲线的轨迹方程常用的方法有直接法、定义法和代入法．(1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．(2)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求．(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程．