2013年数学高考备考二轮复习 第二部分 第4讲 转化与化归思想

第4讲转化与化归思想1．(2012年江西)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z︱z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为()A．5B．4C．3D．2解析：∵x∈A，y∈B，∴当x＝－1，y＝0或2时，z＝x＋y＝－1或1.当x＝1时，y＝0或2时，z＝x＋y＝1或3，∴集合{z|z＝－1,1,3}＝{－1,1,3}共3个元素．C2．(2012年浙江)设a0，b0，()解析：若2a＋2a＝2b＋3b，则2a＋2a2b＋2b.构造函数f(x)＝2x＋2x，则f′(x)＝2x·ln2＋20恒成立，故有函数f(x)＝2x＋2x在x＞0上单调递增，即a＞b成立．故选A.A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞bB．若2a＋2a＝2b＋3b，则abC．若2a－2a＝2b－3b，则a＞bD．若2a－2a＝2b－3b，则a＜bA3．(2012年江西)如图1，已知正四棱锥S－ABCD的所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记SE＝x(0x1)，截面下面部分的体积为V(x)，则函数y＝V(x)的图象大致为()图1解析：当0x时，随着x的增大，观察图形可知，V(x)单调递减，且递减的速度越来越快；当≤x1时，随着x的增大，观察图形可知，V(x)单调递减，且递减的速度越来越慢；再观察各选项中的图象，发现只有A图象符合．故选A.答案：A12124．(2011年湖北)若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补，记j(a，b)＝－a－b，那么j(a，b)＝0是a与b互补的()A．必要不充分条件C．充要条件B．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件a2＋b2C解析：若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则a与b至少有一个为0，不妨设b＝0，则φ(a，b)＝a2－a＝a－a＝0；反之，若φ(a，b)＝a2＋b2－a－b＝0，a2＋b2＝a＋b≥0，两边平方，得a2＋b2＝a2＋b2＋2ab⇔ab＝0，则a与b互补．故选C.1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题(相对来说，对自己较熟悉的问题)，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”．2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化．除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的．从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程．化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程．数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现．3．转化有等价转化和非等价转化．等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证．4．化归与转化应遵循的基本原则：(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2)简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律．(4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决．(5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解．5．常见的转化与化归的方法：对于立体几何问题，通常要转化为平面几何问题，对于多元问题，要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是熟悉的一次、二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题等等．函数、方程与不等式之间的转化与化归函数、方程与不等式就像“同胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题也需要借助于方程、不等式．因此通过函数、方程与不等式之间的转化与化归可以将问题化繁为简．例1：已知二次函数f(x)＝ax2＋2x－2a－1，其中x＝.若二次方程f(x)＝0恰有两个不相等的实根x1和x2，求实数a的取值范围．2sinθ0θ≤7π6解：由以上分析，问题转化为二次方程ax2＋2x－2a－1＝0.在区间[－1,2]上恰有两个不相等的实根，由y＝f(x)的图象(如图2所示)，得等价不等式组：图2Δ＝4＋4a2a＋10，－1－22a2，af－1＝a－a－3≥0，af2＝a2a＋3≥0.Δ＝4＋4a2a＋10，－1－22a2，af－1＝a－a－3≥0，af2＝a2a＋3≥0.Δ＝4＋4a2a＋10，－1－22a2，af－1＝a－a－3≥0，af2＝a2a＋3≥0.Δ＝4＋4a2a＋10，－1－22a2，af－1＝a－a－3≥0，af2＝a2a＋3≥0.解得实数a的取值范围为－3，－32.≤2，问题转化为二次方程根的分布问题，根据图象得出等价的不等式组．本题体现了函数与方程的转化、数与形的转化，直观明了．【思维点拨】注意0θ≤7π6，则－1≤2sinθ≤2，即－1≤x【配对练习】1．设函数f(x)＝ax3－3x＋1，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，求实数a的值．解：(1)若x＝0，则不论a取何值，f(x)＝1＞0恒成立．(2)若x＞0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥3x2－1x3.设g(x)＝3x2－1x3，则g′(x)＝31－2xx4，∴g(x)在区间0，12上单调递增，在区间12，1上单调递减．∴g(x)max＝g12＝4，从而a≥4.(3)若x＜0，即x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤3x2－1x3.设h(x)＝3x2－1x3，则h′(x)＝31－2xx4，∴h(x)在[－1,0)上单调递增．∴h(x)min＝h(－1)＝4，从而a≤4.综上所述，实数a的值为4.陌生的问题与熟悉的问题之间的转化与化归解决新定义问题，首先要把定义读懂理解透，把陌生的新内容转化为熟悉的已知的内容，在此基础上进一步研究熟悉的问题．例2：如图3的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x(x0)}，则A#B为()2x－x2图3A．{x|0x2}C．{x|0≤x≤1或x≥2}B．{x|1x≤2}D．{x|0≤x≤1或x2}解析：A＝{x|y＝}＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＝3x(x0)}＝{y|y1}，则A∩B＝{x|1x≤2}，根据新运算，得A#B＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x2}．答案：D【思维点拨】根据图形语言可知定义的A#B转化为原有的运算应该是表示为∁A∪B(A∩B)，所以需要求出A∪B和A∩B，借助数轴求出并集与交集．解题的关键是由图形语言把新定义运算转化为原有的普通运算解出．2x－x2【配对练习】2．从点P(x,3)向圆C：(x＋2)2＋(y＋2)2＝1作切线，切线PA的长度最短为()解析：点P(x,3)在直线y＝3上，圆C的半径r＝1，显然有“PA长度最短”实质上就是“PC长度最短”，|PC|min＝|－2－3|＝5，BA．4B．26C．5D.112|PA|＝|PC|2－r2＝|PC|2－1.即|PA|min＝52－1＝26.空间与平面之间的转化与化归研究立体问题常常以平面为基准，把立体问题转化为平面问题，把曲线问题转化为直线问题，把空间角与距离的计算总是转化为平面内来求解，这就是空间与平面之间的转化与化归．例3：如图4，有一圆柱形的开口容器(下表面密封)，其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为____________．解析：把圆柱侧面展开，并把里面也展开，如图4所示，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为展开图中的线段AP，则AB＝p，BP＝3，AP＝.图4答案：【思维点拨】研究最短距离，需要把立体图展为平面图，由两点间的线段最短，求线段的长．π2＋9π2＋9【配对练习】3．已知正三棱锥S—ABC的侧棱长为2，侧面等腰三角形的顶角为30°，过底面顶点A作截面△AMN交侧棱SB，SC分别于M，N，则△AMN周长的最小值为____________．22未知与已知之间的转化与化归应用题、算法、信息给予题一直是高考的热点，解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言，实现未知与已知、陌生与熟悉的转化与化归．例4：若方程x4＋ax2＋a2－1＝0有且仅有一个实根，那么实数a值的个数有()A．1个C．3个B．2个D．4个解析：方法一：设f(x)＝x4＋ax2＋a2－1，则f(x)为偶函数⇒f(x)与x轴交于原点⇒a2－1＝0⇒a＝±1，经检验a＝－1时，原方程有三个实数根，不合题意．故选A.方法二：设x2＝t≥0，方程x4＋ax2＋a2－1＝0转化为一元二次t2＋at＋a2－1＝0，原方程x4＋ax2＋a2－1＝0有且仅有一个实根，等价于t2＋at＋a2－1＝0有一负根一零根，a2－1＝0，a＝±1，经检验a＝－1时，原方程有三个实数根，不合题意．故选A.答案：A【思维点拨】t2＋at＋a2－1＝0有两正根⇔方程x4＋ax2＋a2－1＝0有4个不同实根；t2＋at＋a2－1＝0有一正根一零根⇔方程x4＋ax2＋a2－1＝0有3个不同实根；t2＋at＋a2－1＝0有一正根一负根⇔方程x4＋ax2＋a2－1＝0有2个不同实根；t2＋at＋a2－1＝0有一负根一零根⇔方程x4＋ax2＋a2－1＝0有1个不同实根；t2＋at＋a2－1＝0有两负根或无根⇔方程x4＋ax2＋a2－1＝0有0个不同实根．【配对练习】4．已知x∈R，a∈R，a为常数，且f(x＋a)＝1＋fx1－fx，则函数f(x)必有一周期为()A．2aB．3aC．4aD．5aC解析：由于tanx＋π4＝1＋tanx1－tanx，从而函数f(x)的一个特例为正切函数tanx，取a＝π4，可得必有一周期为4a.故选C.取a＝π4，可得必有一周期为4a.故选C.