学科网备战高考数学推理与证明

3年高考2年模拟1年原创推理与证明1学科网备战高考数学推理与证明【考点定位】2010考纲解读和近几年考点分布推理与证明是数学的基础思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，推理一般包括合情推理与演绎推理，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测结论和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。证明包括直接证明与间接证明，其中数学归纳法是将无穷的归纳过程，根据归纳原理转化为有限的特殊（直接验证和演绎推理相结合）的过程，要很好地掌握其原理并灵活运用。推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才能解决问题，如：函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想等，对学生的知识与能力要求较高，是对学生思维品质和逻辑推理能力，表述能力的全面考查，可以弥补选择题与填空题等客观题的不足，是提高区分度，增强选拔功能的重要题型，因此在最近几年的高考试题中，推理与证明问题正在成为一个热点题型，并且经常作为压轴题出现。【考点pk】名师考点透析【名师点睛】（1）合情推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）。归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理；根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）。类比推理的一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一（3）证明反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。反证法的步骤：1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论。分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。用分析法证明不等式的逻辑关系是：分析法的思维特点是：执果索因；3年高考2年模拟1年原创推理与证明2分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题为真，从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有……这只需要证明命题A为真，而已知A为真，故命题B必为真.综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法，【试题演练】1．（1）观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？（2）把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立：1）如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必于另一条相交。2）如果两条直线同时垂直与第三条直线，则这两条直线平行。解析：（1）设为个点可连的弦的条数，则（2）1）一个平面如和两个平行平面中的一个相交，则必然和另一个也相交，次结论成立；2）若两个平面同时垂直第三个骗马，则这两个平面也相互平行，此结论不成立。点评：当前提为真，结论可能为真的推理。一定要理解合情推理的必要性。2．如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱//12EFBC。（1）证明FO//平面CDE；（2）设3BCCD，证明EO平面CDF。解析：（Ⅰ）证明：取CD中点M，连结OM.在矩形ABCD中，1//2OMBC，又1//2EFBC，则//OMEF，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.//FOEM又FO平面CDE，切EM平面CDE，∵FO∥平面CDE（Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，,CMDMEMCD且3122EMCDBCEF。因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM而FM∩CD=M，∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO.而FMCDM，所以EO⊥平面CDF。点评：本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.3．（1）用反证法证明：如果ab0，那么；（2）设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…。（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通项公式。解析：（1）假设不大于，则或者,或者=。∵a0，b0，∴，3年高考2年模拟1年原创推理与证明3，ab；=a=b.这些都同已知条件ab0矛盾，∴.证法二（直接证法），∵ab0,∴a-b0即，∴，∴。（2）(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝12。当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－12，于是(a2－12)2－a2(a2－12)－a2＝0，解得a1＝16。(Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，Sn2－2Sn＋1－anSn＝0。当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0①由(Ⅰ)知S1＝a1＝12，S2＝a1＋a2＝12＋16＝23。由①可得S3＝34，由此猜想Sn＝nn＋1，n＝1，2，3，…下面用数学归纳法证明这个结论(i)n＝1时已知结论成立；(ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝kk＋1，当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝12－Sk，即Sk＋1＝k＋1k＋2，故n＝k＋1时结论也成立．综上，由(i)、(ii)可知Sn＝nn＋1对所有正整数n都成立，于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nn＋1－n－1n＝1n(n＋1)，又n＝1时，a1＝12＝11×2，所以｛an｝的通项公式an＝nn＋1，n＝1，2，3，…点评：要应用好反证法、数学归纳法证明一些涉及代数、不等式、几何的结论。【三年高考】07、08、09高考试题及其解析2009高考试题及解析3年高考2年模拟1年原创推理与证明4则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是A．直线l上的所有点都是“点”B．直线l上仅有有限个点是“点”C．直线l上的所有点都不是“点”D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【答案】A【解析】本题采作数形结合法易于求解，如图，设2,Att，,1Pxx，∵|||PAAB，∴22,21Btxtx，∵点B在抛物线2yx上，∴2221(2)txtx整理得关于x的方程22(41)210xtxt（*）∵22221(41)4(21)8858302ttttt恒成立，∴方程（*）恒有实数解，∴应选A.【考点定位】本题是选择题的把关题，也是创新题型.她不仅有新概念，而且注重考察学生分析解决问题的能力。无论是题目条件的叙述，还是设问的方式，解题的方法都符合一道良好把关题的要求。3上海文14.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点)22(，，)13(，，)43(，，)32(，，)54(，，)66(，为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）__________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.【解析】设发行站的位置为,xy，零售点到发行站的距离为222231434566zxyxyyyxyxy，这六个点的横3年高考2年模拟1年原创推理与证明5纵坐标的平均值为23324626，214356762，记7(2,)2A画出图形可知，发行站的位置应该在点A附近，代入附近的点的坐标进行比较可知，在3,3处z取得最小值.【答案】3,3222231434566zxyxyyyxyxy，这六个点的横纵坐标的平均值为23324626，214356762，记7(2,)2A画出图形可知，发行站的位置应该在点A附近，代入附近的点的坐标进行比较可知，在3,3处z取得最小值.【答案】3,3【考点定位】本题考查了数学的应用意识、绝对值的意义、平行x轴和y轴的距离及估算的能力.如果对列出的目标函数通过计算求出最值难度很大，估算法切实可行.5广东文10．广州2010年亚运会火炬传递在A、B、C、D、E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见下表.若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是A.20.6B.21C.22D.23【答案】B【解析】可以一一列举出从A到E的各种路线，可利用树形图表示：共计有6种不同的路线，①ABCDE,②ABDCE,③ACBDE,④3年高考2年模拟1年原创推理与证明6ACDBE,⑤ADBCE,⑥ADCBE,其中,路线③ACBDE的距离最短,最短路线距离等于496221,故选B.【考点定位】本题考查应用数学知识解决实际问题，实际考查树形图的运用。6浙江文15．某地区居民生活用电分高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为元（用数字作答）．【答案】148.4【解析】4.148318.050288.050598.0150568.050【考点定位】本题背景新颖，充分考查了学生的探索能力，逻辑推理能力。注重分段函数的理解和运用。9.湖北文理10。古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m3年高考2年模拟1年原创推理与证明7他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是A.289B.1024C.1225D.1378【答案】C【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项(1)2nnan，同理可得正方形数构成的数列通项2nbn，则由2nbn()nN可排除A、D，又由(1)2nnan知na必为奇数，故选C.10、（江苏卷）8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为.【解析】考查类比的方法。体积比为1：811、(湖南)15、将正⊿ABC分割成n2（n≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)=103，…，f(n)=16(n+1)(n+2)【答案】：101,(1)(2)36nn【解析】当n=3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知3年高考2年模拟1年原创推理与证明81212121,,,abcxxabyybczzca1212121221122()2,2xxyyzzabcgxyxzyz12121262()2gxxyyzzabc即12121211110(3)13233gfabcxxyyzzg