87《量子力学》22套考研自测题+答案

考研自测题精美汇总量子力学自测题（１）一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）4、证明)ˆˆ(22xxpxxpi−是厄密算符（5分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x和动量xpˆ之间的测不准关系。（6分）二、（15分）已知厄密算符BAˆ,ˆ，满足1ˆˆ22==BA，且0ˆˆˆˆ=+ABBA，求1、在A表象中算符Aˆ、Bˆ的矩阵表示；2、在B表象中算符Aˆ的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。三、（15分）设氢原子在0=t时处于状态),()(21),()(21),()(21)0,(112110311021ϕθϕθϕθψ−+−=YrRYrRYrRr，求1、0=t时氢原子的E、2Lˆ和zLˆ的取值几率和平均值；2、0t时体系的波函数，并给出此时体系的E、2Lˆ和zLˆ的取值几率和平均值。四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=CCCH000000200030001ˆ这里，HHH′+=ˆˆˆ)0(，C是一个常数，1C，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。五、（10分）令yxiSSS+=+，yxiSSS−=−，分别求+S和−S作用于zS的本征态⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+0121和⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−1021的结果，并根据所得的结果说明+S和−S的重要性是什么？HY制作HY制作HY制作QQ：704999167QQ：704999167QQ：704999167考研自测题精美汇总量子力学自测题（２）一、填空题（本题20分）1．在量子力学中，体系的量子态用Hilbert空间中的来描述，而力学量用描述。力学量算符必为算符，以保证其为实数。当对体系进行某一力学量的测量时，测量结果一般来说是不确定的。测量结果的不确定性来源于。2．在量子力学中，一个力学量是否是守恒量只决定于的性质，也就是说，决定于该力学量是否与体系的对易，而与体系的无关。一个力学量是否具有确定值，只决定于体系的，也就是说，决定于体系是否处于该力学量的，无论该力学量是否守恒量。二、（本题15分）1．设全同二粒子的体系的Hamilton量为Hˆ（1，2，），波函数为ψ（1，2，），试证明交换算符12ˆP是一个守恒量。2．设Uˆ是一个幺正算符，求证+⋅=UdtUdiHˆˆˆ是厄米算符。3．设yσ为Pauli矩阵，（1）求证：θσθθσsincosyiiey+=（2）试求：yiTreθσ三、（本题10分）求证：zyxxyz++=)(ψ是角动量平方算符2ˆl的本征值为22的本征函数。四、（本题15分）HY制作HY制作HY制作QQ：704999167QQ：704999167QQ：704999167考研自测题精美汇总设一量子体系处于用波函数)cossin(41),(θθπϕθψϕ+=ie所描述的量子态。求：（1）在该态下，zlˆ的可能测值和各个值出现的几率。（2）zlˆ的平均值。如有必要可利用，θπcos4310=Y，ϕθπieY±±=sin8311∓。五、（本题20分）已知，在一维无限深方势阱中运动粒子的能量本征值和本征函数分别为22222manEnπ=，axnanπψsin2=，（n=1，2，3…）设粒子受到微扰：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=′),(2,2)(ˆxaakxakxHaxaax220求基态（n=1）能量的一级近似值。如有必要，可利用积分公式∫+=yyyydyysincoscos。六、（本题20分）设),3,2,1(…=nn表示一维谐振子的能量本征态，且已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+++=121211nnnnnxα，ωαm=（1）求矩阵元nxm2。（2）设该谐振子在t=0时处于基态0，从t0开始受微扰ktexH22−=′的作用。求：经充分长时时)(∞→t以后体系跃迁到2态的几率。HY制作HY制作HY制作QQ：704999167QQ：704999167QQ：704999167考研自测题精美汇总量子力学自测题（3）一、简答题（每小题5分，共40分）1.一粒子的波函数为()()zyxr,,ψψ=，写出粒子位于dxxx+~间的几率。2.粒子在一维δ势阱，，)0()()(−=γδγxxV中运动，波函数为)(xψ，写出)(xψ′的跃变条件。3.量子力学中，体系的任意态)(xψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(xnψ展开：∑=nnnxcx)()(ψψ，写出展开式系数nc的表达式。4.给出如下对易关系：[][][][][]?,?,?,?,?,2=====yzxzxyzssLLpxpzσσ5.一个电子运动的旋量波函数为()()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=2,2,,rrsrzψψψ，写出表示电子自旋向上、位置在r处的几率密度表达式，以及表示电子自旋向下的几率的表达式。6.何谓几率流密度？写出几率流密度),(trj的表达式。7.散射问题中，高能粒子散射和低能粒子散射分别宜采用什么方法处理？8.一维运动中，哈密顿量)(22xVmpH+=，求[][]?,?,==HpHx二、计算题（共60分。9—11题各10分；12、13题各15分）9.在时间0=t时，一个线性谐振子处于用下列归一化的波函数所描写的状态：)()(21)(51)0,(3320xucxuxux++=ψ式中)(xun是振子的第n个本征函数。HY制作HY制作HY制作QQ：704999167QQ：704999167QQ：704999167考研自测题精美汇总（1）试求3c的数值；（2）写出在t时刻的波函数；（3）在0=t时振子能量的期望值是多少？1=t秒时呢？10.n为zL的本征态，本征值为n。求在zL的本征态n下，xL和yL的平均值。11.氢原子处于状态()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=21011211122321,ψψψYRYRsrz，（1）求轨道角动量的z分量zL的平均值；（2）求自旋角动量的z分量zs的平均值；（3）求总磁矩seLeMμμ−−=2的z分量zM的平均值。12.s、L分别为电子的自旋和轨道角动量，LsJ+=为电子的总角动量。证明：[LsJ⋅,]=0；[αJJ,2]=0，。zyx,,=α13.质量为μ的粒子受微扰后，在一维势场中运动，⎪⎩⎪⎨⎧∞≤≤=axxaxaxAxV,0,0,cos)(π（1）题中应当把什么看作微扰势？（2）写出未受微扰时的能级和波函数；（3）用微扰论计算基态能量到二级近似，其中22210aAμπ=。HY制作HY制作HY制作QQ：704999167QQ：704999167QQ：704999167考研自测题精美汇总量子力学自测题（4）一、（共25分）1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分）2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分）3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）4、在一维情况下，求宇称算符Pˆ和坐标x的共同本征函数。（6分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t和能量E的测不准关系。（5分）二、（15分）已知厄密算符BAˆ,ˆ，满足1ˆˆ22==BA，且0ˆˆˆˆ=+ABBA，求1、在A表象中算符Aˆ、Bˆ的矩阵表示；2、在A表象中算符Bˆ的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。三、（15分）线性谐振子在0=t时处于状态)21exp(3231)0,(22xxxααπαψ−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=，其中μωα=，求1、在0=t时体系能量的取值几率和平均值。2、0t时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛++λλλλλλ2330322021的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项。五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成,玻色子之间无相互作用.玻色子只有两个可能的单粒子态.问体系可能的状态有几个?它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?HY制作HY制作HY制作QQ：704999167QQ：704999167QQ：704999167考研自测题精美汇总量子力学自测题（5）一、填空题（本题20分）1．Planck的量子假说揭示了微观粒子特性，Einstein的光量子假说揭示了光的性。Bohr的氢原子理论解决了经典电磁场理论和原子的之间的矛盾，解决了原子的的起源问题。2．力学量算符必须是算符，以保证它的本征值为。对一个量子体系进行某一力学量的测量时，所得到的测量值肯定是当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的，除非体系处于。测量结果的不确定性来源于。两个力学量同时具有确定值的条件是。二、（本题15分）1．设算符aˆ具有性质{}1ˆ,ˆ,0ˆ2==+aaa。求证：（1）aaNˆˆˆ+≡本征值必为实数。（2）NNˆˆ2=（3）Nˆ的本征值为0或者1。2．利用对易式σσσi2=×，求证：{}0,=jiσσ，),,,(zyxji=，其中，jiσσ,为Pauli矩阵。三、（本题15分）1．设氦原子中的两个电子都处于1s态，（不简并）两个电子体系的空间波函数为)()(),(2100110021rrrrψψψ=（1）写出两个电子体系的四个可能的自旋波函数4321,,,χχχχ。HY制作HY制作HY制作QQ：704999167QQ：704999167QQ：704999167考研自测题精美汇总（2）写出对两个电子的交换反对称的总体波函数),,,(2121zzssrrϕ（同时考虑空间自由度和自旋自由度）。2．一电子处于自旋态)(21zz↓+↑=ψ，求：（1）在自旋态ψ下，zSˆ的可能测值与相应的几率。（2）在自旋态ψ下，xSˆ的可能测值与几率。四、（本题15分）设一个类氢离子的电荷数由Z变成Z+1，试用微扰方法计算基态能量的一级近似值。已知：类氢离子的基态能量本征值和本征函数分别为aeZEn222−=，aZreaZ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=2/31001πψ，计算时，可利用积分公式20241α=∫∞−dxxeax。五、（本题20分）设一维谐振子的能量本征函数为)(xnψ，求：（1）动量ρˆ在)(xnψ态下的平均值。（2）动能Tˆ在)(xnψ态下的平均值。如有必要，可以利用⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=+−)(21)(2)(11xnxnxdxdnnnψψαψ六、（本题15分）设一量子体系的Hamilton量为⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛=3*3*232*1211ˆEaaaEaaaEH而且，1,,232221aaa，试利用微扰法计算体系能量的一，二级修正值。HY制作HY制作HY制作QQ：704999167QQ：704999167QQ：704999167考研自测题精美汇总量子力学自测题（6）一、填空题（本题18分）自由粒子的能量算符Hˆ=，它是量。kxcos=ψ是自由粒子能量算符的本征值为的本征函数，它是平面单色波和的叠加态，在该态下，具有确定值，但不具有确定值，它的可能测值是或。二、（本题12分）在下列两种情况下，求一维运动粒子的动量平均值ρ：（1）波函数)(xψ是实函数。（2）波函数)(xψ=)(xψxike0，其中)(xψ是归一化的实函数，0k是实常数。三、（本题10分）在氯化钠晶体内有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子，因此可将这些电子看成束缚在边长为晶格常数的立方体内的粒子。设在室温下电子处于基态，求处于基态的电子吸收电磁波跃迁到第一激发态时，所吸收电磁波的波长。四、（本题10分）一个电子在t=0时，观测到自旋沿z轴正向。问在t0时电子的自旋方向在x-z平面内与z轴成⎟⎠⎞⎜⎝⎛2πθθ角的几率是多少？五、（本题15分）设一个置于中心力场中的粒子，其轨道角动量量子数l=2，自旋角动HY制作HY制作HY制作QQ：704999167QQ：704999167QQ：704999167考研自测题精美汇总量量子数s=1。体系的自旋一轨道相互作用Hamilton量为SLAHˆˆˆ⋅=（A为常数），