和差、和倍、差倍问题

【知识导图】求和差问题的一般方法：（和＋差）÷2=大数，和－大数=小数（和－差）÷2=小数，和－小数=大数【目标范例】例l：买一件上衣和一条裤子共需295元钱，上衣比裤子贵75元，问买一件上衣和一条裤子分别需要多少钱？分析与解一件上衣和一条裤子价格的和是295，价格的差是75，由上面的计算公式得：上衣价格是：(295+75)÷2=185（元）裤子价格是：(295-75)÷2=110（元）答：买一件上衣需要185元，买一条裤子需要110元．(思考)这道题还可以如何算出上衣和樨子的价格？解和差问题的关键是找出两个数的和与两个数的差，如果题中没有直接告诉我们，就要想办法去求它们。【现学现卖】1．一个两位数由两个数字组成，两个数字之和是8，两个数字之差是2，这个两位数是多少？【目标范例】例2.小强期终考试时语文和数学的平均分数是96分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分？分析与解:语文和数学的成绩之和是96×2=192（分），又数学比语文多8分，所以，数学成绩是(192+8)÷2=100（分）语文成绩是100-8=92(分)答：小强期终考试时，数学考了100分，语文考了92分。(思考)这个题目中的数学成绩也可以由（96+8）÷2得出，为什么？【现学现卖】2．两筐苹果共重86千克，如果从第一筐中取出5千克放入第二筐后，两筐的重量相等，这两筐苹果原来各重多少千克？【目标范例】例3:甲、乙两桶水共重60千克，从甲桶倒出8千克水给乙桶，那么两桶水重量正好相等。求原来甲、乙两桶水各重多少千克？分析:从已知条件可以知道甲桶水比乙桶多，但多多少千克呢？如图：甲桶：倒出8千克乙桶：倒入8千克从图中可以看出，原先甲桶水比乙桶水重8×2=16千克。解:两桶水共重60千克，甲桶水比乙桶水重16千克，所以，甲桶水重:(60+8×2)÷2=(60+16)÷2=76÷2=38（千克）乙桶水重：60-38=22（千克）答：原来甲桶有水38千克，乙桶有水22千克。例4.两个自然数的和与这两个数差的积是85，求这两个自然数各是多少？分析与解:我们知道85可以写成17×5，所以两个数的和应是17，差应是5，这两个数分别是(17+5)÷2=11与(17-5)÷2=6。(思考)85还可以写成其他哪两个数相乘吗？请把这题的答案做完整。【现学现卖】3.甲乙两船共载客623人，若甲船增加34人，乙船减少了57人，这时两船乘客人数正好相等，求两船原来分别载客多少人？【目标范例】例5.在一个减法算式里，被减数、减数与差这三个数之和是996，减数比差大38，求减数是多少？分析:我们知道被减数=减数+差。由题意知：被减数+减数+差=996，再根据上面的关系式，我们可以得到：减数+差+减数+差=996，那么，减数+差=996÷2=498．即减数与差的和是498，又已知减数与差的差是38，根据和差问题的求解算式可以求出减数。解:(996÷2+38)÷2=(498+38)÷2=536÷2=268答：减数是268。【现学现卖】4．在一道减法算式里，被减数、减数与差这三个数的和是256，其中减数比差小32，求差。【目标范例】例6.四年级有三个班，如果把甲班的1名学生调到乙班，两班人数相等；如果把乙班1名学生调到丙班，丙班比乙班多2人。调动前甲班和丙班哪个班人多？多几个人？分析与解:由条件“如果把甲班的一名学生调到乙班，两班人数相等”。可知，甲班的人数比乙班多1+1=2（名）；又由条件“如果把乙班一名学生调到丙班，丙班比乙班多2人”可知，丙班人数与乙班人数相等。所以，调动前甲班比丙班多2名学生。答：调动前甲班学生数比丙班多，多2名学生。【现学现卖】5.在一个展览会上，展品中有466件不是A公司的，有378件不是B公司的，这两个公司的展品合起来有498件，问A、B两个公司各有多少件展品？【知识引导】已知两个数的和，以及这两个数之问的倍数关系，求这两个数分别是多少的问题,称为和倍问题；已知两个数的差以及两数之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题是差倍问题；和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差．求大小两个数各是多少的应用题，求和倍问题的一般方法：和÷（倍数＋1）=一倍量一倍量×倍数=另一个数求差倍问题的一般方法：差÷（倍数－1)=1份数（小的数）小数×倍数=大数首先我们分析下面的一道题：小强和小明共有邮票300张，其中小强有的枚数是小明的2倍，小明和小强各有多少邮票？如果把小明的邮票数看成“1”份，则小强的邮票数就是2份，两人邮票数共是3份，正好为300张，所以每1份是300÷(2+1)=100（张），即小明有100张，小强有300-100=200（张）。这道题，已知两数的和以及两数的倍数，求这两个数，我们称之为“和倍问题”，求解的一般方法是：先确定l份数，然后找出“和”所对应的份数，即（倍数+1），再用“和”除以它所对应的份数，求出l份的具体值。用公式表示就是：和÷（倍数+1）=1份量接着我们分析另一道题，同学们要注意区别;小强的邮票比小明多100张，小强有的张数是小明的2倍，求小强和小明各有多少邮票？如果把小明的邮票教看成“1”份，则小强的邮票数就是2份，比小明多1份，正好为100张，所以小明的邮票数就为100÷1=100（张），则小强的邮票数为100×2=200（张）。答：小强有邮票200张，小明有100张。这道题，已知两数的差以及两数的倍数，求这两个数，我们称之为“差倍问题”，求解的一般方法是：先确定1份数，然后找出差所对应的份数，即（倍数-1），再用“差”除以它所对应的份数，求出1份的具体值。用公式表示就是：差÷（倍数-1）=1份量【目标范例】例1.果园里有梨树、苹果树和桃树共1200棵，其中梨树的棵数是苹果树棵数的3倍，桃树的棵数是苹果树棵数的2倍．，求梨树、苹果树和桃树各有的棵数。分析与解:根据题意可以知道苹果树最少，把苹果树的棵数看作1份，果树的总棵数应是苹果树的（1+3+2）份，所以苹果树的棵数是：1200÷(1+3+2)=200（棵）．梨树的棵数是200×3=600（棵），桃树的棵数是200×2=400（棵）。答：梨树有600棵，苹果树有200棵，桃树有400棵。【现学现卖】6.一所小学共有学生810人，其他年级的学生数是四年级学生人数的5倍，四年级有学生多少人？其他年级有学生多少人？【目标范例】例2.两数相除商3余2，已知被除数、除数、商与余数的和是179，被除数是多少？分析与解:根据题意，我们知道：被除数÷除数=3……2，即：商为3，余数为2，被除数=3×除数+2也就是说被除数比除数的3倍多2，可以算出被除数、除数的和为179-3-2=174。可以看出，如果被除数减去2，则正好是除数的3倍。把除数看作l份，这样174-2就对应着1+3=4份，l份就是(174-2)÷(1+3)=172÷4=43，即除数为43，所以被除数为43×3+2=131。答：被除数是131。【现学现卖】7．果园种植的苹果树比梨树多249棵，种的苹果树是梨树的4倍．求苹果树和梨捌各有多少棵？【目标范例】例3.参加数学兴趣小组的同学中，五年级比四年级的3倍少35人，两年级的人数差是41人，问两年级参加数学兴趣小组的各有多少人？分析与解:根据题意，可以看出，如果五年级增加35人，五年级就是四年级的3倍．此时两年级的人数差为41+35=76（人）原来的问题就转化为差倍问题。因此，四年级的人数是76÷（3-1）=38（人）五年级的实际参加人数是38×3-35=79(A)综合算式：(41+35)÷(3-1)=38（人）38×3-35=79(人)答：四年级参加的人数是38人，五年级参加的人数是79人。【现学现卖】8.甲、乙、丙三数之和是200，又知甲为乙的3倍，丙为乙的6倍，求甲、乙、丙各是多少？【目标范例】例4.甲、乙两数相等，甲减掉50，乙加上40，结果乙是甲的2倍，问原来两数为多少？可以看出乙比甲多50+40=90，并且乙比甲多2-1=1份。这样90正好对应1份，就可以求出现在的甲。解:(50+40)÷（2-1）=90÷1=90原来的甲数为：90+50=140答：两数原来都为140。例5.零售商店运来两桶酒，大桶有酒120千克，小桶有酒90千克，两桶酒卖出同样多后，大桶剩的酒刚好是小桶剩的酒的4倍，两桶各剩多少千克酒？各卖出多少千克酒？分析与解:如果能得到的大桶剩下的酒比小桶剩下的多多少，那么，此问题就转化为差倍问题．、根据题意可以画出线段图在未卖出酒之前，大桶中的酒比小桶中的酒多120-90=30（千克）卖出同样多的酒后，大桶剩下的酒仍比小桶剩下的多30千克，又大桶剩下的酒比小桶剩下的多4-l=3（份），所以小桶剩下酒30÷3=10（千克）大桶剩下酒10×4=40（千克）各取出酒120-40=80（千克）综合算式：（120-90）÷(4-1)=30÷3=10（千克）10x4=40（千克）120-40=80（千克）或90-10=80（千克）答：大、小桶各剩酒40千克、10千克，各卖出80千克酒。(小结)从以上的例题司以看出：在遇到倍数问题时，画出线段图能帮助我们理清各个量之间的关系，然后再运用和倍、差倍问题的计算公式，可以较快地得到结果。【现学现卖】9．有甲、乙两瓶油，甲瓶装油25千克，乙瓶装油45千克，从甲瓶中倒出一部分油到乙瓶中，这时乙瓶中油的重量正好是甲瓶的4倍，问从甲瓶中倒出了多少千克油？【资优挑战】一.填空题：1．苏光小学六年级学生参加区艺术节比赛的有96人，比三年级参赛人数的3倍少3人。三年级参加比赛的有______人。2．五年级有学生156人，比六年级的2倍少42人，六年级有学生_____人。3．六(1)班有48人，在选班干部的投票中规定：得票数达到全班人数的14才能当选。小明已经获得16票，他至少还要再获得____票才能当选。4．星光小学开展为汶川地震灾区儿童献爱心活动，全校师生第一次捐款15万元，第二次捐款的金额比第一次多35，第二次捐款_____万元。5．一套衣服56元，裤子的价钱是上衣的60%，上衣和裤子各______元。6．某市派出甲、乙两个医疗队到地震灾区参加救护伤员的工作。甲、乙两队人数的比是3：7，后因乙队另有任务，少去了7人，这时乙队的人数正好是甲队的2倍。甲队有___人。7.甲、乙两地相距2250千米，一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行。货车每小时行70千米，客车的速度是货车的2倍还多40千米，客车和货车经过____小时相遇。8.甲、乙两校参加“希望杯”全国数学邀请赛的学生人数之比是7：8，获奖人数之比是2：3，两校各有320人未获奖，那么两校参赛的学生共有____人，二.解答题1．如果两数的和与两数的差的积是1991，求这两个数。2.甲、乙两数，甲数比乙数的2倍多95，又知甲数比乙数大1455，求甲、乙两数。3.已知被减数、减数与差之和为592，其中减数比差的2倍还多2，求减数。4．甲、乙两仓库存的大米重量相等，现在甲仓运出120吨，乙仓运出80吨，结果乙仓大米正好是甲仓库的2倍，原来甲、乙两仓库共存大米多少吨？【实战演练】一.填空题：1．小勇家居住的小区自第二期扩建工程后，绿化面积是原来的6倍。已知现在的绿化面积比原来多25000平方米，这个小区现在和原来的绿化面积分别是________平方米。2．小刚和小强把积攒的零用钱存入银行，两人共存款240元。已知小刚存款的{比小强存款的15多15元，两人各存款________元。3．李健身高150厘米，比妈妈矮116，妈妈身高是____厘米。4．为支持地震灾区的学生，实验小学开展捐款活动。五年级捐款3000元，六年级的捐款数是五年级的2倍少850元。六年级捐款_____元。5.育红小学有男生760人，女生640人，朝阳小学女生人数是男生人数的120%．如果把两个学校学生合并在一起，那么男女生人数相等。朝阳小学有男生____人。6．六(1)班女生人数比全班人数的47少12人，女生人数与男生人数的比是2:3，六(1)班共有学生___人。7．某班学生缺勤的人数是出勤人数的126，后又有学生请假，于