第三章-周期信号的傅里叶级数表示

2020/3/131第三章周期信号的傅里叶级数表示说明：此课件对应于教材第3章的3.2-3.7节（其中3.4节仅简单介绍，不作要求）；3.8-3.11节关于LTI系统分析及滤波器以后再讲。本章主要内容：•连续时间周期信号的傅里叶级数表示及其性质•离散时间周期信号的傅里叶级数表示及其性质2从时域分析到频域分析dtxtx)()()()()()()()()()()(thtδdthxtxthtytxLTI基本信号时域分析：1()()2jtxtXjed1()()()2jtytXjHjedtjtjejHetx)()(LTI基本信号频域分析：)()()()(21)(jHjXjYdejYtytj（以连续时间非周期信号为例）3频域分析周期信号（离散/连续）的傅里叶级数（第三章）连续非周期信号的傅里叶变换（第四章,本课程重点内容)离散非周期信号的傅里叶变换（第五章）43.2.LTI系统对复指数信号的响应1、信号分解的概念---将一个信号表示为一系列基本信号的线性加权和基本信号的两个性质:A.由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用的信号.B.LTI系统对这些基本信号的响应很简单，系统对任意输入信号的响应可以表示为每一个基本信号的响应的线性加权和.复指数信号满足这两个性质：stenz离散时间：连续时间：5例：设一个连续时间LTI系统的单位冲激响应为h(t)，当输入信号为时，求其输出？()stxte()()()()()()ststsythxtdhedehed同样，给定一个离散LTI系统的单位冲激响应h[n]和输入信号，其输出为：[]nxnz[][][][][]()nknknkkkynhkxnkhkzzhkzzHz()()sHshed()[]kkHzhkz()()styteHs其中是个与t无关的量，记其为，即则有：()shed()Hs其中：62、LTI系统对复指数信号的响应是一个同样的复指数信号，只是在幅度上有变化()ststeHse()nnzHzz复振幅因子H(s)或H(z)一般来说是复变量s或z的函数,它们跟h(t)或h[n]有如下的关系：dehsHs)()(()[]kkHzhkz离散时间：连续时间：73、系统的特征函数(Eigenfunction)若系统对一个输入信号的输出响应仅是一个幅度因子常数（可能是复数）乘以该输入信号，则称该信号为系统的特征函数，而该幅度因子常数称为系统的特征值(eigenvalue)。对一个特定sk或zk,或就是对应的特征值。)(ksH)(kzHste是连续LTI系统的特征函数是离散LTI系统的特征函数nz8如果一个LTI系统的输入信号（连续/离散）可以分解为复指数信号的线性加权和：ktskkeatx)([]nkkkxnaz那么根据特征函数的性质和LTI系统的叠加特性，系统的输出有如下形式：ktskkkesHaty)()([]()nkkkkynaHzz4、将一个信号分解为特征函数(复指数信号)的线性加权和A.什么样的信号可以分解为复指数信号的线性加权和？B.sk,zk取何值？C.如何确定系数ak？93.3.连续时间周期信号的傅里叶级数表示1、复指数傅里叶级数一个周期为T的周期信号x(t)的复指数傅里叶级数：Teatxtjkkk/2)(00成谐波关系的复指数信号集,2,1,0,0ketjktjNNtjeaNkeakak00::1:010-----基波分量或一次谐波分量-----N次谐波分量其中系数ak一般来说是的复函数。0k-----直流分量00=,0,1,2,kkstjktsjkeek，即:10dtetxTaTtjkk0)(1傅里叶级数系数的确定:,)()/2(0tTjkkktjkkkeaeatx综合公式:(synthesisequation)TtTjkTtjkkdtetxTdtetxTa)/2()(1)(10分析公式:(analysisequation)傅里叶级数的系数或x(t)的频谱系数kakaarg相位谱幅度谱kax(t)的直流分量（一个周期内的均值）dttxTaT)(10TttT/2T/2-T0TT00分，即表示在一个周期内求积这里11dtetxTaTtjkk0)(1证明：nknkTdttnkjdttnkdtedteadteeadteeadtetxeeaetxeatxTTTtnkjkTtnkjkkTtjntjkkTktjntjkkTtjnktjntjkktjnktjkk,0,])sin[(])cos[()(tT~0)()(00000)(0)(00000000000000其中：求积分：对两边都从本证明供学有余力同学参考)0)(000])sin[(])cos[(,01])sin[(])cos[(,0000000000的积分为正弦信号在一个周期内当当jdttnkjdttnknkTdtjdtdttnkjdttnknkTTTTTTT0110)(00000)(1)(100000)(dtetxTdtetxTaTaaaaaadteadtetxtjnTtjnnnnnnkTtnkjkTtjn所以有：12,)()/2(0tTjkkktjkkkeaeatx综合公式:综合公式说明：任意周期为T的信号可以由一个直流信号和一系列周期为T的约数(T,T/2,T/3,…)的周期复指数信号合成如何理解傅里叶级数？如右图所示，周期分别为T,T/2,T/3,…的周期信号相加后仍然是一个周期为T的信号下面的问题是：如何能够保证这些信号相加后得到的波形和x(t)一样？13分析公式:分析公式说明：为了令这些周期信号相加后等于x(t),各个信号的振幅ak必须满足上式TtTjkTtjkkdtetxTdtetxTa)/2()(1)(10例如对如图所示周期方波信号,其在一个周期(-1,1)内的信号表达式为:15.0,05.0,1tttx……-2-1-0.50.512tx(t)1kkkkekjdteatjktjkk)2/sin()2/sin(21121005.05.005.05.0005.01215.05.00dtateaeaxtjteaktjteakteaeaxjteaktjteakteaeaxtjteaktjteaktjtjtjtjtjtjtjtjtjtjtjtj5cos52ˆ5sin515cos51:55sin515cos51:53cos32ˆ3sin313cos31:33sin313cos31:3cos2ˆsin1cos1:1sin1cos1:1000000000000555555555333333333111110ˆ0:40:40ˆ0:20:200000000444444444222222222tjtjtjtjtjtjtjtjeaeaxeakeakeaeaxeakeak)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(5310txtxtxatx即：,)()/2(0tTjkkktjkkkeaeatx151ˆx310ˆˆxxa19ˆx9ˆx5ˆx3ˆx5310ˆˆˆxxxa710ˆˆxxa1910ˆˆxxa)(ˆˆ9910txxxa可见，周期信号确实可以按傅里叶级数形式分解为一系列复指数信号的线性加权和2、三角函数形式的傅里叶级数因为x(t)是实数，即：故有()()xtxt0()jktkkxtae由复指数傅里叶级数：所以或者*kkaa*kkaa000()jktjmtkmkmjktkkxtaem-kaekmae00jktjktkkkkaeae由上例可见，周期方波信号又可以分解为成谐波关系的正弦信号的线性加权和。实际上，实周期信号总是可以写成三角函数形式的傅立叶级数。||||||kkkaaax(t)的共轭信号x*(t)的复指数傅里叶级数：实信号的幅度谱是偶信号17001()2cos()kkkxtaAkt00*01[]jktjktkkkaaeae00001()[]jktjktjktkkkkkxtaeaaeae00*,jktjktkkaeae因为为共轭复数，所以001()2Rejktkkxtaae表示信号的实部Re则有极坐标形式一般是复数，可以写成,kjkkkeAaa三角函数形式的傅里叶级数:18例1：已知一个周期为2π的实周期信号x(t),其复指数傅里叶级数为：其中，求其三角函数傅里叶级数332)(ktjkkeatx31,21,41,13322110aaaaaaatjtjtjtjtjtjeeeeeetx6644223121411)(tttttt6cos324cos2cos2116cos2314cos2212cos2411注：大多数情况下，复指数和三角函数傅里叶级数间的互换可以通过欧拉公式来完成xjxexjxejeexeexjxjxjxjxjxjxsincos,sincos2sin,2cos3102cos2kktkaa19例1中由成谐波关系的正弦信号的线性组合来构成x(t)的图解20例2:画出信号)42cos(cos2sin1)(000ttttx的幅度谱和相位谱tjjtjjtjtjeeeeejejtx00002)4(2)4(21212112111)(因此，该信号的傅里叶级数的系数为:,25211211,25211211,1)21arctan(1)21arctan(10jjejjaejjaa.2,0,21,21)4(2)4(2kaeaeakjjjeexeexjxjxjxjx2sin,2cos解：利用欧拉公式：2111/2-3-2-10123k25kaπ/4karctan(1/2)-21-3-1023kaarg幅度谱相位谱幅度谱左右对称（偶信号），相位谱关于原点对称（奇信号）22111021,TTTadtTT110110011TTtjkTTtjkkeTjkdteTa0,sinsin210010kkTkTkTkak例3:周期方波信号如图所示,其在一个周期(-T/2,T/2)内的信号表达式为:2,0