2020届九年级贵阳中考数学复习课件：第1部分-第4章-解题方法突破篇——解直角三角形的应用模型(共

教材同步复习第一部分解题方法突破篇——解直角三角形的应用模型第四章三角形2模型1独立型如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求解即可．【模型分析】实物图的背景一般为单一的直角三角形，解直角三角形是解题的关键．3例1如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．(结果精确到0.1米)(参考数据：sin31°≈0.515，cos31°≈0.857，tan31°≈0.60)【解题思路】利用正弦函数的定义，即可求出BC的长．4【解答】在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB·sin∠BAC≈12×0.515≈6.2(米)．答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．5针对训练1．如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米．已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)6解：车门不会碰到墙．理由：如答图，过点A作AC⊥OB，垂足为C.在Rt△ACO中，∵∠AOC＝40°，AO＝1.2米，∴AC＝AO·sin∠AOC≈1.2×0.64＝0.768(米)．∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，∴车门不会碰到墙．7模型2背靠背型如图，已知△ABC，过点C作CD⊥AB，得到Rt△ACD和Rt△CDB.【模型分析】已知三角形中的两角(∠A和∠B)及一边(AC或BC)，在三角形内作高CD，构造两个直角三角形求解，公共边CD是解题的关键．8例2如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9s．已知∠B＝30°，∠C＝45°.(1)求B，C之间的距离．(保留根号)(2)如果此地限速为80km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．(参考数据：3≈1.7，2≈1.4)9【解题思路】(1)第一步：过点A作AD⊥BC于D，则AD＝10m；第二步：求出CD，BD即可解决问题．(2)求出汽车的速度，即可解决问题，注意统一单位．10【解答】(1)如答图，过点A作AD⊥BC于D，则AD＝10m.在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，∴AD＝CD＝10m.在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴tan30°＝ADBD，∴BD＝3AD＝103(m)，∴BC＝BD＋DC＝(103＋10)m.答：B，C之间的距离为(103＋10)m.(2)这辆汽车超速．理由：∵BC＝10＋103≈27(m)，∴汽车速度为270.9＝30(m/s)＝108(km/h)．∵108＞80，∴这辆汽车超速．11针对训练2．小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，小强家与这栋楼的水平距离为42m，这栋楼有多高？(结果保留根号)12解：在Rt△ABD中，∵∠BDA＝90°，∠BAD＝30°，AD＝42m，∴BD＝AD·tan30°＝42×33＝143(m)．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，∴CD＝AD·tan60°＝42×3＝423(m)，∴BC＝BD＋CD＝143＋423＝563(m)．答：这栋楼有563m高．13模型3抱子型已知△ABD，过点B作BC⊥AD的延长线于点C，则得到Rt△BCD和Rt△ABC.【模型分析】已知三角形中的两角(∠1和∠2)及其中一边，在三角形外作高BC，构造两个直角三角形求解，公共边BC是解题的关键．14例3如图，为了测量某条河的宽度，在河边的一岸边任意取一点A，在河的另一岸边取两点B，C测得α＝30°，β＝45°，量得BC长为100米，求河的宽度(结果保留根号)．【解题思路】第一步：过点A作AD⊥BC的延长线于点D，易得AD＝DC；第二步：设AD＝x米，利用在Rt△ABD中，tan30°＝ADBD＝xx＋100＝33，进而得出答案．15【解答】如答图，过点A作AD⊥BC的延长线于点D.∵β＝45°，∠ADC＝90°，∴AD＝DC.设AD＝DC＝x米，则Rt△ABD中，tan30°＝xx＋100＝33，解得x＝50(3＋1)．答：河的宽度为50(3＋1)米．16针对训练3．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟．已知∠CAN＝45°，∠CBN＝60°，BC＝200米，此车超速了吗？请说明理由．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)17解：此车没有超速．理由：如答图，过C作CH⊥MN于点H.∵∠CBN＝60°，BC＝200米，∴CH＝BC·sin60°＝200×32＝1003(米)，BH＝BC·cos60°＝100(米)．∵∠CAN＝45°，∴AH＝CH＝1003米，∴AB＝1003－100≈73(米)．∵60千米/时＝503米/秒，∴735＜503，∴此车没有超速．18模型4交叉型如图，已知Rt△ABC和Rt△BDE，单独求解即可．【模型分析】单独解每个三角形再利用线段和差求解．19例4如图，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动1m(即BD＝1m)到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18′，求梯子的长．(参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248)【解题思路】第一步：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，根据三角函数得到OB；第二步：在Rt△CDO中，根据三角函数得到OD；第三步：再根据BD＝OD－OB，得到关于x的方程，解方程即可求解．20【解答】设梯子的长为xm.在Rt△ABO中，∵cos∠ABO＝OBAB，∴OB＝AB·cos∠ABO＝x·cos60°＝12x.在Rt△CDO中，∵cos∠CDO＝ODCD，∴OD＝CD·cos∠CDO＝x·cos51°18′≈0.625x.∵BD＝OD－OB，∴1＝0.625x－12x，解得x＝8.答：梯子的长是8m.21针对训练4．学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：(1)在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH＝30°.(2)在点C与山脚B之间的D处安置测倾器(C，D与B在同一直线上，且C，D之间的距离可以直接测得)，测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH＝45°.22(3)测得测倾器的高度CF＝DG＝1.5米，并测得C，D之间的距离为288米．已知红军亭高度为12米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB.(3取1.732，结果保留整数)23解：设AH＝x米．在Rt△EHG中，∵∠EGH＝45°，∴GH＝EH＝AH＋AE＝x＋12.∵GF＝CD＝288米，∴HF＝GH＋GF＝(x＋12)＋288＝x＋300.在Rt△AHF中，∵∠AFH＝30°，∴AH＝HF·tan∠AFH，即x＝(x＋300)·33，解得x＝3003－1＝150(3＋1)，∴AB＝AH＋BH＝150(3＋1)＋1.5≈411(米)．答：凤凰山与中心广场的相对高度AB约为411米．24模型5四边形模型如图，过点B作BE⊥CD，则得到矩形ABEC和Rt△BDE.【模型分析】过较短的底AB作直角梯形的高BE，构造矩形和直角三角形，先解直角三角形，再利用线段和差求解．25例5如图，水库大坝的横断面是梯形ABCD，其中AB∥CD，大坝长100米，坝高20米，坡角α＝45°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡度为1∶3，坝顶面加宽1米．求加固后坝底增加的宽度AF的长．(结果精确到0.01米，3≈1.732)【解题思路】第一步：过点D作DG⊥AB于G，过点E作EH⊥AB于H，根据等腰直角三角形的性质求出AG；第二步：根据坡度的概念求出FH，进而求出AF的长度．26【解答】如答图，过点D作DG⊥AB于G，过点E作EH⊥AB于H.在Rt△ADG中，∵∠DAG＝45°，DG＝20米，∴AG＝20米．∵背水面EF的坡度为1∶3，EH＝20米，∴FH＝203米，∴AF＝FH＋HG－AG＝203＋1－20≈15.64(米)．答：加固后坝底增加的宽度AF的长约为15.64米．27针对训练5．小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一根绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在C处且与地面成60°角，小明拿起绳子末端，后退至E处，拉直绳子，此时绳子末端D距离地面1.6m且绳子与水平方向成45°角．(1)填空：AD______AC(填“＞”“＜”“＝”)；(2)求旗杆AB的高度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，结果精确到0.1m)＝28解：(1)由图形可得AD＝AC.(2)过点D作DF⊥AB于F，如答图．设绳子AC的长为x米．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝60°，∴AB＝AC·sin60°＝32x(m)．∵∠ADF＝45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF＝DF＝x·sin45°＝22x(m)．29∵AB－AF＝BF＝1.6，∴32x－22x＝1.6，解得x≈10，∴AB＝10×sin60°≈8.7(m)．答：旗杆AB的高度约为8.7m.