概率论与数理统计课程论文

概率论与数理统计在日常生活中的应用航天学院微电子2班姓名：李心智学号：1112120212摘要：概率论是研究随机现象统计规律的科学，是近代数学的一个重要组成部分。本文就日常生活中的常见问题出发，介绍概率在生活中的应用，从中可以看出概率方法的思想在解决问题中的简洁性和实用性。关键词：概率论；彩票；常见应用。概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科，是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学。随着社会的不断发展，概率论与数理统计的知识越来越重要。运用抽样数据进行推断已经成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思考方式。本文将就概率论与数理统计的方法与思想，在经济领域和日常生活中的应用展开一些讨论，从中可以看出概率方法与数理统计的思想在解决问题中的高效性、简捷性和实用性。1.彩票业与数学有着千丝万缕的联系，彩票业中渗透着概率论的一些知识和内容。（1）对于彩票购买者来说，应该适当做一些准备工作，对彩票的选号、组号技巧有所了解，尽可能地接近中奖号码区域。下面运用概率统计学来探讨购买彩票的一些小技巧。通过增加购买彩票的数量提高中奖概率。通过一个简单的例子来看这个问题：已知n张彩票中只有2张有奖，现从中任取k张，为了使这k张中只有2张有奖里至少有一张有奖彩票的概率大于0.5，问k至少是多少？解：设x为所取的k张彩票中有奖彩票的张数，则X=0，1，2.显然有P（x=m）=𝐶2𝑚𝐶𝑛−2𝑘−𝑚𝐶𝑛𝑘，（m=0,1,2）。则所求概率P（x≥1）=1-P（x=0）=1-𝐶𝑛−2𝑘𝐶𝑛𝑘≥0.5.即（n-k-1）（n-k）/n（n-1）≤0.5，令x=n-k，则得到：2x-(n-n)≤0.得k≥n-1/2（1+√1+2(𝑛2−𝑛)）由此不等式可以看出，k必须达到一定数值才能满足此要求（k的最小值要根据n的实际值来定），所以通过增加购买彩票的数量提高中奖概率增加获奖机会的方法可以采用，尤其是在彩票发行了一定数量而大奖还没产生的情况下，采用这种办法尤为有效。(2)根据奖号中有重复数字的规律选号增加获奖机会目前，全国大多数地区体育彩票中奖号码是从0-9这10个数字中，可重复抽取七个数字依次排列组成，对于这种确定中奖号码的方式，可计算中奖号码有重复数字的概率.由古典概率计算方法，中奖号码中七个数字全部不同的概率为10×9×8×7×6×5×4/107=0.06048。那么，七个数字中至少有两个数字相同的概率为1-0.06048=93.952%，即每注彩票七个数字中至少有两个相同，根据这个也可以帮我们增加中奖机会。(3)奖号中一般有连号出现我们先来计算奖号中没有连号的概率是多少。假设某次奖号01abcdefg35,这七个数字彼此不相连的充要条件是：01ab-1c-2d-3e-4f-5g-629，即从01-29中任意取七个数字a，b-1，c-2，d-3，e-4，f-5，g-6，就可以得到一个没有连号的奖号，反之亦然。因此不连号的奖号出现的概率p=C297𝐶357⁄=23.21％,出现连号的概率p=1-23.21%=76.79%。（4）与上期同号福利彩票的中奖号码很多期总有相同号出现，即上期中奖号与本期中奖号雷同，考虑与上一期奖号完全不同的情况有种选取方法，故本期奖号与上一期奖号数字完全不同的概率为P=𝐶287𝐶357⁄≈17.61%.因此与上一期奖号有相同号码的概率为P=1-17.61%=82.39%。另外，在以统计为原则的前提下，对号码可能出现的诸多因素进行预测分析，对所筛选出的号码进行取舍，在一定程度上也能够增加中奖机会.而且摇奖过程相当重要，分析在每次摇奖中哪些区段的号码球先摇出来，总结出已开期奖号出现的先后次序和规律，对选号也有很大的参考作用。2．进货问题的应用设某种商品每周的需求ζ是取从区间[10，30]上均匀分布的随机变量，经销商进货量为区间[10，30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利5000元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元。若供不应求，则可以外部调剂供应。此时一单位商品获利300元。为使商品所获利润期望不少于9280元，试确定进货量。在此设进货量为a，则利润η=g（ζ）＝{500a+(ζ−a)×300(aX≤30)500ζ−(a−ζ)×100(10≤X≤a)＝{300a+300a(aX≤30)600ζ−100a(10≤X≤a)期望利润为E（η）=∫120𝑔(𝑥)𝑑𝑥300=120∫(600𝑥−100𝑎)𝑎0dx+120∫(300𝑥+200𝑎)30𝑎dx=-7.5𝑎2+350a+5250≥9280依题意有-7.5𝑎2+350a+5250≥9280所以2023≤a≤26故利润期望值不少于9280元的最少进货量为21，22，23，24，25，26。3．概率统计思想在防范金融风险中的应用设某公司拥有三支获利是独立的股票，且三种股票获利的概率分别为0.8、0.6、0.5，求(1)任两种股票至少有一种获利的概率；(2)三种股票至少有一种股票获利的概率。设A、B、C分别表示三种股票获利，依题意A、B、C相互独立。P(A)=0.8,P(B)=0.6,P(C)=0.5，则由乘法公式与加法公式：(1)任两种股票至少有一种获利等价于三种股票至少有两种获利的概率。P1=P(AB+AC+BC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)-2P(ABC)=P(A)P(B)+P(A)P(C)+P(B)P(C)-2P(A)P(B)P(C)=0.8×0.6+0.8×0.5+0.6×0.5-2×0.8×0.6×0.5=0.7(2)三种股票至少有一种股票获利的概率。P2=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=0.8+0.6+0.5-0.8×0.6-0.8×0.5-0.6×0.5+0.8×0.6×0.5=0.96在长期的投资实践活动中，人们发现，投资者手中持有多种不同风险的证券，可以减轻所遇风险带来的损失。对于投资若干种不同风险与收益的证券形成的证券组，称为证券投资组合，其主要内容是在投资者为追求高的投资预期收益，并希望尽可能躲避风险的前提下，以解决如何最有效地分散组合证券风险，求得最大收益。计算结果表明：投资于多只股票获利的概率大于投资于单只股票获利的概率这就是投资决策中分散风险的一种策略。4．小概率原理在工业生产中的应用小概率事件原理作为在统计推断的理论及应用中有着重要作用的一个基本原理：例.某厂每天的产品分3批包装，规定每批产品的次品率都低于0.01才能出厂。假定产品符合出厂要求，若某日用上述方法抽查到了次品，问该日产品能否出厂?解：把从3批产品中各抽1件看作3次独立试验，于是可把问题归结为贝努利概型。若产品符合要求，则品率小于0.01，令p=0.01，q=1-p=0.99。抽3件产品恰有0件次品的概率为P3(0)=𝐶30(0.01)0(0.99)3=0.970299若产品符合要求，从3批产品中各抽1件，至少抽到1件次品的概率小于∑𝑃33𝑘=1(k)=1-𝑃3(0)=1-𝑞3=1-(0.99)3≈0.03这是一个概率很小的事件。在概率论中将概率很小(小于0.05)的事件叫做小概率事件。小概率事件原理是：如果一个事件发生的概率很小，那么，在一次试验中，可以把它看成是不可能事件。由这一原理可知，如果在一次试验中某个小概率事件发生了，那么就可认为这是一种反常现象。本例中，从3批产品中各抽1件至少抽到1件次品的概率小于0.03，这是小概率事件。抽到次品的事竟然发生了，这说明该日产品次品率不止0.01，故可判断该日产品不能出厂。5．现实生活中的概率统计思想电视台预报天气时“明天的降水概率为0.2”，这句话的意思是:明天降水的机会，与一个抽球试验(在该试验中有10个球而白球有2个)中抽出白球的机会一样。其实,我们日常经济生活中到处都有概率的影子,小到天气预报,大到火箭上天,都离不开概率论。保险业、金融业的风险预测更是与概率论休戚相关。通过计算体育彩票或福利彩票的中奖概率大小可以发现：实际上,只有极少数人能中奖,购买者应怀有平常心,既不能把它作为纯粹的投资,更不应把它当成赌博行为。利用概率可以解释街头上的一些常见的赌博游戏中主持者在每局中一般都会赢。总之，概率的应用可以使我们生活和投资得更理智。