概率论在现实生活中的应用

概率论在现实生活中的应用郑梅琳概率论的起源和发展三四百年前在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博之风。掷骰子是他们常用的一种赌博方式。因骰子的形状为小正方体，当它被掷到桌面上时，每个面向上的可能性是相等的，即出现1点至6点中任何一个点数的可能性是相等的。有的参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9与点数之和为10，哪种情况出现的可能性较大？17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德·梅耳，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少。这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅耳问题。又有人提出了“分赌注问题”：两个人决定赌若干局，事先约定谁先赢得6局便算赢家。如果在一个人赢3局，另一人赢4局时因故终止赌博，应如何分赌本？诸如此类的需要计算可能性大小的赌博问题提出了不少，但他们自己无法给出答案。数学家们“参与”赌博参赌者将他们遇到的上述问题请教当时法国数学家帕斯卡，帕斯卡接受了这些问题，他没有立即回答，而把它交给另一位法国数学家费尔马。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他独立地进行研究。帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌注问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。而惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中的计算》。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。这一时期被称为组合概率时期，计算各种古典概率。在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家族——贝努利家族的几位成员。雅可布·贝努利在前人研究的基础上，继续分析赌博中的其他问题，给出了“赌徒输光问题”的详尽解法，并证明了被称为“大数定律”的一个定理，这是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果。大数定律证明的发现过程是极其困难的，他做了大量的实验计算，首先猜想到这一事实，然后为了完善这一猜想的证明，雅可布花了20年的时光。雅可布将他的全部心血倾注到这一数学研究之中，从中他发展了不少新方法，取得了许多新成果，终于将此定理证实。1713年，雅可布的著作《猜度术》出版。遗憾的是在他的大作问世之时，雅可布已谢世8年之久。雅可布的侄子尼古拉·贝努利也真正地参与了“赌博”。他提出了著名的“圣彼得堡问题”：甲乙两人赌博，甲掷一枚硬币到掷出正面为一局。若甲掷一次出现正面，则乙付给甲一个卢布；若甲第一次掷得反面，第二次掷得正面，乙付给甲2个卢布；若甲前两次掷得反面，第三次得到正面，乙付给甲22个卢布。一般地，若甲前n－1次掷得反面，第n次掷得正面，则乙需付给甲2n-1个卢布。问在赌博开始前甲应付给乙多少卢布才有权参加赌博而不致亏损乙方？尼古拉同时代的许多数学家研究了这个问题，并给出了一些不同的解法。但其结果是很奇特的，所付的款数竟为无限大。即不管甲事先拿出多少钱给乙，只要赌博不断地进行，乙肯定是要赔钱的。走出赌博随着18、19世纪科学的发展，人们注意到某些生物、物理和社会现象与机会游戏相似，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中，同时也大大推动了概率论本身的发展。法国数学家拉普拉斯将古典概率论向近代概率论进行推进，他首先明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的数学分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。他还证明了“煤莫弗——拉普拉斯定理”，把橡莫弗的结论推广到一般场合，还建立了观测误差理论和最小二乘法。拉普拉斯于1812年出版了他的著作《分析的概率理论》，这是一部继往开来的作品。这时候人们最想知道的就是概率论是否会有更大的应用价值？是否能有更大的发展成为严谨的学科概率论在20世纪再度迅速地发展起来，则是由于科学技术发展的迫切需要而产生的。1906年，俄国数学家马尔科夫提出了所谓“马尔科夫链”的数学模型。1934年，前苏联数学家辛钦又提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理论。如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，这是从概率诞生时起人们就关注的问题，这些年来，好多数学家进行过尝试，终因条件不成熟，一直拖了三百年才得以解决。20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础。在这种背景下柯尔莫哥洛夫1933年在他的《概率论基础》一书中首次给出了概率的测度论式定义和一套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支。现在，概率论与以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及工农业生产等诸多领域中都起着不可或缺的作用。直观地说，卫星上天，导弹巡航，飞机制造，宇宙飞船遨游太空等都有概率论的一份功劳；及时准确的天气预报，海洋探险，考古研究等更离不开概率论与数理统计；电子技术发展，影视文化的进步，人口普查及教育等同概率论与数理统计也是密不可分的。根据概率论中用投针试验估计π值的思想产生的蒙特卡罗方法，是一种建立在概率论与数理统计基础上的计算方法。借助于电子计算机这一工具，使这种方法在核物理、表面物理、电子学、生物学、高分子化学等学科的研究中起着重要的作用。概率论作为理论严谨，应用广泛的数学分支正日益受到人们的重视，并将随着科学技术的发展而得到发展。概率论在生活中的应用生活娱乐掷骰子问题，今天的概率论就诞生于此。1654年夏，爱好赌博的梅勒向其好友数学神童——帕斯卡提出了如下问题：甲、乙两人各拿出了32枚金币做掷骰子游戏，规定两人各自选定一个点数，最先掷出三次所选点数者获胜，并取得全部赌金。一段时间后，甲所选点数已出现了2次，乙所选点数也出现了1次，游戏被迫停止，问64枚金币应如何分配？这是我们所接触的最早的关于概率论的问题。我们不妨设甲选的点数为6，乙选的点数为4，并假定每局均有“6点”或“4点”出现，则这场游戏至多再进行两次就可以决出胜负。而在这两次中有4种等可能的不同结果：（6，6）（6，4）（4，6）（4，4），可见，甲获胜概率为34，乙获胜概率为14，故甲应分得64×3448枚金币。有关线路中系统的可靠性问题随着人类社会的进步，概率论已广泛应用交通指挥、工业流程当中，下面我们通过几个例子了解一下这方面知识的实际应用。2.2．1[3]一辆汽车沿一条街道行驶，需要通过3个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿，与其它信号灯为红或绿相互独立，且红、绿两种信号显示的时间相等，以x表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求x的概率分布。解由题意可知，x的可能值为0，1，2，3，其中3表示驶过在该街道未遇红灯，设iA｛汽车在第i个路口遇到红灯｝,则123,,AAA相互独立，且_iiPAPA=121102PxPA__12122112PxPAAPAPA____1231233122PxPAAAPAPAPA____1231233132PxPAAAPAPAPAx分布列如下：2.2.2[4]一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.10，0.20，0.30，假设各部件的状态相互独立，以x表示同时需要调整的部件数，试求x的数学期望Ex和方差Dx.解令iA｛第i个部件需要调整｝，i=1，2，31若iA出现，i=1，2，3；X0123P12212312312考虑随机变量ix=0若iA不出现.则ix服从0—1分布，因此有：iiExPA，1iiiDxPAPA由题意，123xxxx1231230.100.200.300.60ExExExExPAPAPA由于123,,xxx相互独立，则又有1230.100.90.200.80.300.70.46DxDxDxDx有关生产获得利润的问题一工厂生产的电冰箱的寿命ξ（年）服从指数分布，密度函数为：工厂规定，出售的电冰箱若在一年内损坏，则可以调换。若工厂出售的电冰箱每台盈利300元，调换一台则厂方需要花费700元，问厂方出售的电冰箱平均每台盈利多少？解先计算一台电冰箱在一年内损坏的概率为从而，电冰箱在一年内不损坏的概率为.因为出售每台电冰箱盈利300元,而调换一台需要花费700元，即损失700-300=400元.故厂方出售的电冰箱平均每台盈利(即盈利的数学期望)为：300×0.9048-400×0.0952=233.36元。关于农业生产的问题随着概率论的逐步发展，它的应用变得越来越广泛。根据大量的数据统计，通过统计结果可以大概预测生产收益，从而选择种植方案。2.4.1某农场要在一块地里种农作物，有三种可供选择的方案，即种蔬菜，小麦和棉花。根据过去的经验和大量调查研究发现天气干旱、天气正常和天气多雨的概率分别为0.2，0.7，0.1.每种农作物在三种天气下获利情况如表所示。为获得最大收益该选种哪种农作物？利润天气情况方案天气干旱天气正常天气多雨0.20.70.1种蔬菜100040007000种小麦200050003000种棉花300060002000解：我们的目标是获得最大收益。状态集S={321,,xxx}，决策集A={321,,aaa}。下面计算每个方案的期望报酬值。E(R(a1,x))=0.2×1000+0.7×4000+0.1×7000=3700E(R(a2,x))=0.2×2000+0.7×5000+0.1×3000=4200E(R(a3,x))=0.2×3000+0.7×6000+0.1×2000=5000期望报酬值最大为5000，对应的方案是第3种，即应在这块地里种棉花。关于报摊如何获利最大的问题报摊每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸回退。设报纸每份进价为b，零售价为a，回退价为c，自然地假设为a＞b＞c.这样，报摊出售一份报纸赚a-b，回退一份报纸赔b-c。如果报摊每天进的报纸少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，就要赔钱。那究竟买进多少份报纸才能使得获利最大？假设每天购进量为n份，因为需求量r是随机的，r可以小于n，等于n或大于n，致使报摊每天的收入也是随机的，故建立的优化模型的目标函数，不能是报摊每天的收入，而应该是他长期卖报的日平均收入。记报摊每天购进n份报纸的平均收入为G（n），如果这天的需求量r≤n，则他售出r份，退回n-r份；如果这天的需求量r≥n，则n份将全部售出。考虑到需求量为r的概率是)(rf，所以G（n）=nrnrrnfbarfrncbrba01)()()()])(()[(（1）当)(rf，a,b,c已知时，求n使G（n）最大。需求量和购进量都相当大，为了便于分析和计算，将r视为连续变量，这样概率)(rf转化为概率密度函数)(rp，上式变成nndrrnpbadrrprncbrbanG0)()()()])(()[()(（2）计算nndrrpbannpbadrrpcbnnpbadndG0)()()()()()()()(=nndrrpbadrrpcb0)()()()(令得到,0dndGcbbadrrpdrrpnn)()(0（3）使报摊的日平均收入达到最大的购进量n应满足（3）式。因为0,1)(rp所以（3）有可以表示为ncabadrrp0)(（4）由（3）表明购进的份数卖完的概率与卖不完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a-b与退回一份赔的钱b-c之比。显然当赚钱与赔钱之比越大时，报摊购进的份数就越多。虽然概率论已在医