概率论第3章

作业习题解答教材：盛骤等《概率论与数理统计》第4版.高等教育出版社,2008概率论与数理统计22(1)盒子里装有3只黑球、2只白球、2只红球，在其中任取4只球。以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数。求X,Y的联合分布律。解：432247,0,1,2,3;0,1,{,}2mnmnCCCmnCPmYnX联合分布律为14/3518/3512/351/3510/3503/356/351/35220/352/3512/356/35015/352/353/350003210XYP{X=m}P{Y=n}第3章多维随机变量及其分布习题2(1)32(2)在(1)中求P{X＞Y},P{Y=2X},P{X+Y=3},P{X＜3-Y}.14/3518/3512/351/3510/3503/356/351/35220/352/3512/356/35015/352/353/350003210XYP{X=m}P{Y=n}解：观察分布律表：P{X＞Y}=P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1}+…+P{X=3,Y=2}=19/35P{Y=2X}=P{X=1,Y=2}=6/35P{X+Y=3}=P{X=1,Y=2}+P{X=2,Y=1}+P{X=3,Y=0}=20/35P{X＜3-Y}=P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}+…+P{X=2,Y=0}=10/35第3章多维随机变量及其分布习题2(2)43.设随机变量(X,Y)的概率密度为(6),02,24,(,)0,kxyxyfxy其他(1)确定常数k；(2)求P{X＜1,Y＜3}；(3)求P{X＜1.5}；(4)求P{X+Y≤4}(2)131302{1,3}(,)(,)33/8PXYdxdyfxydxdyfxyk(1)2402(,)1811/8dxdyfxykk解：根据概率密度的性质和含义1.51.5402{1.5}(,272)74(,2)3PXdxdyfxydxdyfxky(3)(4)02424XY2402{16243}(,3)xPXYdxdyfxyk第3章多维随机变量及其分布习题35第3章多维随机变量及其分布习题4(1)4.设X,Y都是非负的连续型随机变量，它们相互独立.0)()(}{dxxfxFYXPYX其中FX(x)是X的分布函数，fY(y)是Y的概率密度.(1)证明(1)证：因为相互独立，故联合概率密度为)()(),(yfxfyxfYX所求概率计算如下：GdxdyyxfYXP),(}{Gy=xXYOxyyxG0,0:6第3章多维随机变量及其分布习题4(1)yYXyfxdxfdy00)()()()(00yfxdxfdyYyXGdxdyyxfYXP),(}{0)()(yfydyFYX0)()(xfxdxFYX因为X是非负的，故其分布函数为dttfxFxXX0)()(得证。7第3章多维随机变量及其分布习题4(2)4.设X,Y都是非负的连续型随机变量，它们相互独立.(2)设X,Y相互独立，其概率密度分别为其他,00,)(11xexfxX其他,00,)(22yeyfyY求P{XY}.(2)解：联合概率密度为其他,00,0,)()(),(2121yxeyfxfyxfyxYX8第3章多维随机变量及其分布习题4(2)yyxGedxdydxdyyxfYXP021021),(}{所求概率计算如下：211Gy=xXYOxyyxG0,0:95.设随机变量(X,Y)具有分布函数1,0,0,(,)0,xyxyeeexyFxy其他求边缘分布函数.,1(00,),)(yYyeyyFFx其他,1(00,)(,)xXxexFxyF其他解：根据二维连续型随机变量边缘分布函数的定义式第3章多维随机变量及其分布习题510第3章多维随机变量及其分布习题66.将一枚硬币掷3次，以X表示前2次中出现的H的次数，以Y表示3次中H出现的次数。求X,Y的联合分布律以及(X,Y)的边缘分布律。}{}|{},{iXPiXjYPjYiXP解：根据乘法定理1or;2,1,0,)211()21(212or,022iijiCijijiii11第3章多维随机变量及其分布习题6X012P{Y=j}Y01/8001/811/81/403/8201/41/83/83001/81/8P{X=i}1/41/21/41联合分布律表(含边缘分布)12第3章多维随机变量及其分布习题88.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为其他,00,),(yxeyxfy求边缘概率密度.0,),()(0yyedxedxyxfyfyyyY0,),()(xedyedyyxfxfxxyX解：13第3章多维随机变量及其分布习题99.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为其他,01,),(22yxycxyxf(1)确定常数c;(2)求边缘概率密度.(1)解：根据概率密度的归一性要求可得214),(112112cydycxdxyxdyfdxx421c14(2)解：根据边缘概率密度的定义可得其他0,11),1(21),()(42122xxcxydycxdyyxfxfxX其他,010,32),()(2/52ycydxxcydxyxfyfyyY第3章多维随机变量及其分布习题9(2)1511.以X记某医院一天出生的婴儿的个数，Y记其中男婴的个数，设X,Y的联合分布律为14(7.14)(6.86{,}),!()!mnmenmnmPmXY,;0,0,1,,21,2,nnm(1)求边缘分布律；(2)求条件分布律；(3)特别，写出当X=20时，Y的条件分布律解：(1)根据边缘分布律的计算式14147.146.86(7.14)(6.86){}{,}!()!(7.14)(7.14)!!mnmnmnmmmePYmPXnYmmnmeeemmnm140014140(7.14)(6.86){}{,}!()!14(7.14)(6.86)!!!()!!mnmnnmmnnmnmmePXnPXnYmmnmeenmnmnn第3章多维随机变量及其分布习题111611(2)求条件分布律已知联合分布律：1414(7.14)(6.86)14(1)!()!!{,}mnmnmmnmneeCppmPXnYmnmn边缘分布律：1414{}!nePXnn7.14(7.14){}!mePYmm，(泊松分布)6.86{,}(6.86){}{!|()}nmPXnYmePYPmmYnnmX根据条件分布律的计算式可得：{,}{{|}(1)}mmnmnPXnYmCPPYmXXnnpp7.14/140.51p第3章多维随机变量及其分布习题111711(3)特别，写出当X=20时，Y的条件分布律解：已经求得条件分布律{,}{{|}(1)}mmnmnPXnYmCPPYmXXnnpp0.51p,2020{|20}(0.51)1,mmmCYppPmXp则第3章多维随机变量及其分布习题1118第3章多维随机变量及其分布习题1313.在第9题中(1)求条件概率密度，特别，写出Y=1/2时X的条件概率密度。(2)求条件概率密度，特别，分别写出当X=1/3,X=1/2时的Y的条件概率密度。(3)求条件概率：)|(|yxfYX)|(|xyfXY}21|43{},21|41{XYPXYP19第3章多维随机变量及其分布习题13解：已知联合概率密度为其他,01,),(22yxycxyxf其他0,11),1(21)(42xxcxxfX其他,010,32)(2/5ycyyfY边缘概率密度分别为20第3章多维随机变量及其分布习题13(1)其他，,012332)(),()|(22/322/52|yxyxcyycxyfyxfyxfYYX其他，,02123)21(23)21|(222/32|xxxyxfYX21第3章多维随机变量及其分布习题13其他，,0112)1(21)(),()|(24422|yxxyxcxycxxfyxfxyfXXY其他，,01914081)3/1(12)31|(4|yyyxyfXY(2)其他，,01411532)2/1(12)21|(4|yyyxyfXY22第3章多维随机变量及其分布习题13(3)11532)2/1,(}21|41{14/14/1|ydydyyfXYPXY1571532)2/1,(}21|43{14/34/3|ydydyyfXYPXY23第3章多维随机变量及其分布习题1414.设随机变量(X,Y)的概率密度为其他,0,10,||,1),(xxyyxf求条件概率密度)|(),|(||yxfxyfYXXY1xy0xyxy1124第3章多维随机变量及其分布习题14条件概率密度为xyxxxfyxfxyfXXY||,10,21)(),()|(|1||,1||,||11)(),()|(|xyyyyfyxfyxfYYX1xy0xyxy11解：先计算两个边缘概率密度10,2),()(xxdydyyxfxfxxX1|||,|1),()(1||yydxdxyxfyfyY2521.设随机变量(X,Y)的概率密度为,01,01,(,)0,xyxyfxy其他分别求(1)Z=X+Y,(2)Z=XY的概率密度。解(1)()(,)Zzfzyydyf2011(,),01(,)(2),120,zzfzyydyzzfzyydyzzz其他ZX0112y=zy=z-1Y第3章多维随机变量及其分布习题212621(2)Z=XY的概率密度ZX011x=z1()(,)||Zzzfxdxxxf解：12(1),010,1()zzxdxxzxz其他第3章多维随机变量及其分布习题21(2)27第3章多维随机变量及其分布习题2323.某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度为0,00,)(tttetft设各周的需求量相互独立.求(1)两周，(2)三周的需求量的概率密度.解：设这两周的需求量分别为X,Y,则X,Y相互独立，概率密度分别为0,00,)(xxxexfxX0,00,)(yyyexfyY28第3章多维随机变量及其分布习题23两周的需求量Z=X+Y,其概率密度为zzzYXZdxexzxdxxzfxfzf00)()()()(0,00,613zzezz29第3章多维随机变量及其分布习题2424.设随机变量(X,Y)的概率密度为其他,0,0,0,)(21),()(yxeyxyxfyx(1)问X和Y是否相互独立？(2)求Z=X+Y的概率密度.30解(1):计算出边缘分布xxtyxXexdttedyeyxdyyxfxf)1(2121)(21),()(0)(同理yYeyyf