概率论课后作业及答案

1.写出下列随机试验的样本空间及事件中的样本点:1)将一枚均匀硬币连续掷两次,记事件A{第一次出现正面},B{两次出现同一面},C{至少有一次正面出现}.2)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中同时取3只球.记事件A{球的最小号码为1}.3)10件产品中有一件废品,从中任取两件,记事件A{得一件废品}.4)两个口袋各装一个白球与一个黑球,从第一袋中任取一球记下其颜色后放入第二袋,搅均后再从第二袋中任取一球.记事件A{两次取出的球有相同颜色}.5)掷两颗骰子,记事件A{出现点数之和为奇数,且其中恰好有一个1点},B{出现点数之和为偶数,但没有一颗骰子出现1点}.答案:1)}),(),,(),,(),,({TTHTTHHH,其中:H正面出现;:T反面出现.}),(),,({THHHA;}),(),,({TTHHB;}),(),,(),,({HTTHHHC.2)由题意,可只考虑组合,则)5,4,3(),5,4,2(),5,3,2(),4,3,2(),5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(),4,2,1(),3,2,1(;)5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(),4,2,1(),3,2,1(A.3)用9,,2,1号表示正品,10号表示废品.则)10,9()10,8()10,2(,),4,2(),3,2()10,1(,),4,1(),3,1(),2,1(;)10,9(,),10,2(),10,1(A.4)记第一袋中的球为),(11bw,第二袋中的球为),(22bw,则),(),,(),,(),,(),,(),,(112121112121bbbbwbwwb;),(),,(),,(),,(11211121bbbb.5))6,6(,),2,6(),1,6()6,2(,),2,2(),1,2()6,1(,),2,1(),1,1(;)1,6(),1,4(),1,2(),6,1(),4,1(),2,1(A;)6,6(),4,6(),2,6(),5,5(),3,5(),6,4(),4,4(),2,4(),5,3(),3,3(),6,2(),4,2(),2,2(B.注:也可如下表示:)6,6()6,2(,),2,2()6,1(,),2,1(),1,1(;)6,1(),4,1(),2,1(A;)6,6(),5,5(),6,4(),4,4(),5,3(),3,3(),6,2(),4,2(),2,2(B.2.一个工人生产了n个零件,以事件iA表示“他生产的第i个零件是正品”)1(ni.试用nAAA,,,21表示下列事件:1)没有一个零件是次品；2)至少有一个零件是次品；3)只有一个零件是次品；4)至少有两个零件不是次品.答案:1)niiA1;2)niiA1;(亦即:全部为正品的对立事件)3))]([11ninijjjiAA;4))])(([)(111ninijjjiniiAAA.3.设A、B、C为三个事件,用A、B、C的运算关系表示下列各事件:1）A发生;2）只有A发生;3）A与B发生而C不发生;4）三个事件都发生;5)三个事件中至少有一个发生;6)三个事件中至少有两个发生;7)三个事件中恰好发生一个;8)三个事件中恰好发生两个;9)三个事件都不发生;10)三个事件中不多于两个发生;11)三个事件中不多于一个发生.解:1)A;2)CBA;3)CAB;4)ABC;5)CBA;6)BCACBACABABC(ACBCABBACACB)(等价说法:至少有两个不发生的对立事件);7)CBACBACBA;8)BCACBACAB;9)CBA(=CBA);10）ABC(=CBA)(等价说法:至少有一个不发生.);11)CBACBACBACBA(=BACACB)(即:至少有两个不发生).4.试把事件nAAA21表示成n个两两互不相容事件之并.答案:nnAAAAAAAAA11321211.7.一栋10层楼中的一架电梯在底层上了7位乘客,电梯在每层都停,乘客从第二层起离开电梯,设每位乘客在每层离开是等可能的.求没有2位乘客在同一层离开的概率.解:所有可能情况为79种,则所求概率为7799Ap.9.设甲袋中有a只白球b只黑球,乙袋中有c只白球d只黑球.在两袋中各任取一只球,求所得两球颜色不同的概率.解:所有可能情况有))((dcba种,则所求概率为))((dcbabcadp.11.从n双尺码不同的鞋子中任取r2(nr2)只,求下列事件的概率:1)所取r2只鞋子中没有两只成对;2)所取r2只鞋子中只有两只成对;3)所取r2只鞋子恰好配成r对.解:样本空间可考虑有rn22种可能结果,古典概型,则所求概率分别为1)rnrnpr22]12[221rnrnr22222;2)rnrnnpr22]12[221221222rnnrnr22222122;3)rnrnpr22]22[3rnrn22.12.设有n个人,每人都被等可能地分配到)(nNN个房间中的任一间.求下列事件的概率:1)指定的n间房里各住一人;2)恰有n间房,其中各住一人.解:所有可能情况为nN种,则所求概率分别为1)1!nnnnAnpNN;2)2!nNnnNnnApNN.13.甲乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球,甲先摸,不放回,直至有一人取到白球为止.求甲先摸到白球的概率.解:甲先摸到白球,则可能结果如下(注:至多有限次摸球):W甲,WBB甲乙甲,WBBBB甲乙甲乙甲,WBBBBBB甲乙甲乙甲乙甲,①当b为偶数时,则所求概率为211baababbabbaap甲4332211baababbabbabbabaaaababbab112211)2()1()1(1[bababbbaa])1()2()1(!aababab.②当b为奇数时,则所求概率为211baababbabbaap甲4332211baababbabbabbab12121bbaababaa)2()1()1(1[bababbbaa])1()2()1(!ababab.17.口袋中有12n只白球,n2只黑球,一次取出n只球,发现都是同色球,问这种颜色是黑色的概率为多少?解:记事件}{个球为同一种颜色所取nA,}{个球全为黑球所取nB,要求)|(ABP?则)()()|(APABPABPnnnnnnnnnn14]212[142nnnnnn2122!!)!2()!1(!)!12(!!)!2(nnnnnnnnn32.18.设M件产品中有m件废品,从中任取两件.1)在这两件中有一件是废品的条件下,求另一件也是废品的概率;2)在这两件中有一件是正品的条件下,求另一件是废品的概率.解:1)记事件},{有废品任取两件A,},{均为废品任取两件B,则所求概率为)()()|(1APABPABPp)()(APBP22122MmMMm222mMMm121mMm.2)记事件},{有正品任取两件C,},{有一正品一件废品任取两件D,则所求概率为)()()|(2CPCDPCDPp)()(CPDP221211MmMmmM22)(mMmMm12mMm.19.袋中有黑、白球各一个,一次次从中摸球,如果摸到白球,则放回白球,且再加入一个白球,直至摸到黑球为止.求摸了n次都没有摸到黑球的概率.解:记事件iA:第i次摸到白球,ni,,2,1,要求:)(21nAAAP?由计算概率的乘法定理,则所求概率为)(21nAAAP)(1AP)|(12AAP)|(213AAAP)|(11nnAAAP1433221nn11n.21.某射击小组有20名射手,其中一级射手4人,二级8人,三级7人,四级1人,各级射手能通过选拔进入比赛的概率依次为0.9,0.7,0.5,0.2.求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率.解:记事件B{所选射手能进入比赛},iA{所选射手为第i级},4,3,2,1i.已知204)(1AP,208)(2AP,207)(3AP,201)(4AP,9.0)|(1ABP,7.0)|(2ABP,5.0)|(3ABP,2.0)|(4ABP.用全概率公式,则所求概率为41)|()()(iiiABPAPBP2.02015.02077.02089.0204645.0.23.甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉,它们的产量各占25%,35%,40%,并且在各自的产品中,废品各占5%,4%,2%.从它们的产品中任取一个恰好是废品,问此废品是甲、乙、丙生产的概率各为多少?解:记事件321,,AAA表示所取产品分别是甲、乙、丙机器所生产;事件B{所取产品是废品}.要求:)|(BAPi?(3,2,1i)已知25.0)(1AP,35.0)(2AP,40.0)(3AP,05.0)|(1ABP,04.0)|(2ABP,02.0)|(3ABP.则31)|()()(iiiABPAPBP02.04.004.035.005.025.00345.0.由贝叶斯公式,则所求概率分别为)|(1BAP)()(1BPBAP)()|()(11BPABPAP0345.005.025.03623.06925,)|(2BAP)()|()(22BPABPAP4058.06928,)|(3BAP)()|()(33BPABPAP2319.06916.24.有朋友自远方来,他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.如果他乘火车、轮船、汽车,则迟到的概率分别是1/4,1/3,1/12;而乘飞机不会迟到.可他迟到了,问他是乘火车来的概率为多少?解:记事件4321,,,AAAA分别表示朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来.事件B{朋友迟到}.要求:)|(1BAP?已知3.0)(1AP,2.0)(2AP,1.0)(3AP,4.0)(4AP,41)|(1ABP,31)|(2ABP,121)|(3ABP,0)|(4ABP.则41)|()()(iiiABPAPBP04.01211.0312.0413.015.0.由贝叶斯公式,则所求概率为)|(1BAP)()|()(11BPABPAP5.015.0413.0.25.装有)3(mm个白球和n个黑球的罐子中丢失一球,但不知其颜色.现随机地从罐中摸取两个球,结果都是白球,求丢失的是白球的概率.解:记事件A{丢失白球},B{任取两个球都是白球}.要求:)|(BAP?由)|