2017年天津市大学生数学竞赛试题

2017年天津市大学生数学竞赛试题（理工类）竞赛时间：2017年5月20日1.填空题（本题15分，每小题3分）（1）ba，则axbxeeaxbxxsinsinlim0.（2）设函数)(xf在]1,0[上连续，并设2d)(10xxf，则1010d)()(dyyfxfx.（3）)(xf在区间),(上连续，且对任意给定的实数，有xaxttfxg3d)()(为常值函数，则函数)(xf的表达式为.（4）曲线nxxfy212)(，记其在点)1,1(处的切线与x轴交点为)0,(nx，则nnxlim.（5）设函数0,10,cos22)(2xxxxxf，则)0(f.2.选择题（本题15分，每小题3分）（1）函数)(xf在0x点的领域内有定义，且2)()2(lim00hhxfhxfx，则)(xf在0x点A.不连续B.2)(0xfC.连续，不可导D.条件不足，无法确定连续性和可导性（2）设函数)(xf在区间),0(上有连续的导数，且满足1)}()({limxfxfx，则A.0)(limxfxB.)(limxfx不能判断C.)(limxfx不能判断D.以上都不正确（3）考虑下列关于数列的描述：1°对于数列na，如果na2和12na都是收敛的，则该数列一定是收敛的；2°数列na，如果数列nnaa1收敛于0，则数列na是收敛的；3°na的极限为0和数列na的极限为0是等价的；4°数列na收敛，数列nb有界，则数列nnba是收敛的.其中正确的结论个数为A.1B.2C.3D.4（4）已知函数)2(),(2xyxeyxfy，则它在点)0,1(处取A.极小值1B.极大值1C.不取极值D.取极大值1（5）设函数xxeexfxxtan12)(21，则0x是函数)(xf的A.无穷间断点B.跳跃间断点C.可去间断点D.以上都不正确3.（本题6分）设函数),(yxfz，xxf622，yyxf),0(，21),0(yyf，求函数),(yxf.4.（本题6分）证明2017131211d2017111201702017xxx.5.（本题6分）设)(xf为],[ba上取正值的连续函数，D为byabxa,.证明：2)(d)()(abyfxfD.6.（本题6分）函数)(xf在),(上连续，在0x处可导，且0)(xf，8)0(f，求极限txttxyxyfxed)(d11lim0sin04.7.（本题7分）函数)(xf在],[ba上有连续的二阶导数，且0)()(bfaf，)(max],[xfMbax，求证：2)(12d)(abMxxfba.8.（本题7分）设函数),(yxf在1,:22yxyxD上有连续的偏导数，且在边界122yx上满足0),(yxf，求极限Dxyxyxyfyxfxddlim220，其中D为1222yx.9.（本题8分）函数),(yxf在区间]23,0[上连续，在)23,0(上可导，且在该区间上满足)()(xfxf以及0)0(f.求证：0)(xf.10.（本题8分）计算曲面积分CyxyyxxxyI22222)(dd，其中C为正向曲线13222yx.11.（本题8分）设函数1,01,),(222222)(2zyxzyxeyxfzyx，∑为曲面tzyx，求SzyxfId),,(.12.（本题8分）设01a，2112nnaa，,3,2,1n.讨论数列na的收敛性.