线性代数的几何意义

线线线性性性代代代数数数的的的几几几何何何意意意义义义--------------图图解解线线性性代代数数任任广广千千胡胡翠翠芳芳编编著著-22-11-1yx022001100..0044..2200《线性代数的几何意义》=================================================================================第2页，共28页几几何何意意义义名名言言录录没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了，因此用这种方式来表达事物是非常有意义的。-------笛卡尔算术符号是文字化的图形，而几何图形则是图像化的公式；没有一个数学家能缺少这些图像化的公式。--------希尔伯特“如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。”--------拉格朗日不会几何学就不会正确的思考，而不会正确思考的人不过是行尸走肉。--------柏拉图无论是从事数学教学或研究,我是喜欢直观的。学习一条数学定理及其证明,只有当我能把定理的直观含义和证明的直观思路弄明白了,我才认为真正懂了。--------中国当代数学家徐利治《线性代数的几何意义》=================================================================================第3页，共28页前言为什么要给出线性代数的几何意义作为一名工作十多年的电子工程师，作者在想提高自己的专业水平时，深感数学能力的重要。随便打开一篇专著或论文，满纸的微分方程、矩阵扑面而来。竭力迎头而上，每每被打得灰头土脸、晕头转向。我天生就不是搞数学的？我的智力有问题吗？太失望了，太伤自尊了。转头看看周围的同行，莫不雷同。大多的工程师们靠经验来工作，经验靠时间或试验来积累。数学应用的层次昀多就是高中水平。也有硕士博士级的牛人，但也少见把数学工具在工作中应用的得心应手、手到擒来的。数学工具在科技实践中缺失的严重，导致我们的科技创新能力的严重缺失。普遍现象，绝对的。返回来想一想，我的智力应该没问题，重点大学都毕业了，能有多严重的问题？所有的工程师们、大学毕业生们的智力也没问题。问题是大家没把数学学好，没有真正掌握它。（严重声明：数学绝顶高手和天才们不在我说的范围之内，对我等来说，它们是极少数的一小撮的火星人，对它们只能顶礼膜拜，不敢评论。----拜完之后有点小嘀咕：为何钱学森还讲中国没有大师呢？难道数学总得一百分的天才不算大师？）。为啥没有在四年的大学阶段学好《线代》呢？要知道，学生是通过高考百里挑一录取的，智力应是足够正常的。思来想去，得到几个原因：教材编的大多不好，老师教的大多乏味，学生大多有些偷懒，因为他们大多不知道这些内容有啥用，概念为啥这么叫，定理为啥那样推，老师为啥像刘谦的魔术一样七推八导就证毕了----郁闷多了导致了无语的偷懒。太多的为啥了。既然错不在学生那就是老师的问题了？其实老师也有委屈：教学大纲要求在几十个学时学会如此多的内容，不填鸭行吗？在如此短的时间内讲完就不错了，哪里还有时间给你释疑解惑。-----韩愈定义的传道授业解惑的师道中的解惑被迫取消了，自己悟道吧。嘿，错也不全在老师那里。错在哪里？体制的问题一时半会也解决不了，不谈体制的事了。找来找去，只有一个大家都可以责备而且没有人抗议的地方，就是教材不够好。到大学图书馆（本人主要去深大图书馆）看看，哇塞，一行行、一列列的教材琳琅满目、浩如烟海。名字叫《线性代数》的教材足有一千多册。打开一本看看，跟十八年前的教材内容一样，疑问还是没得到解决；再打开一本看看，内容还是那个内容，疑问还是那个疑问…。当浏览到第五百本的时候，皇天不负有心人！终于看到了我那个问题的答案了。长出一口气我又陷入了郁闷之中。要知道，我至少有十打问题要解决呀，上帝。呵，西方的上帝来拯救我来了，当我浏览到第八百本的时候，一本老外编的教材一下子吸引到我那累的发红的心灵之窗。我的天，我一阵眩晕，问题至少能解决五打。我抱着一本老厚老厚的海外引进教材看呀想呀，从此以后我专看老外的书，嘿嘿，只有一打的问题了。我想《线性代数》这门学科问题应该不大了，要知道，老外的教材都是引入了当代科技的典型应用案例的，代表了本学科昀新的国际潮流的。《线性代数的几何意义》=================================================================================第4页，共28页大学图书馆的读者很多，朝气蓬勃的现代感大学生在图书馆里做作业。我很羡慕他们这一代：在开放的图书馆里，学生们可以随意的浏览、挑选适合自己的纸资或电子读物。要知道，当年我就读的大学图书馆是闭架的，每每借书要查半天小卡片，查完填好借书单交给工作人员大多得到两个结果：要么书被借完了要么借的书不合适。而且还没有这么多的引进教材参考参考，自学的效率大打折扣。扯来扯去，千言万语汇成一句话：什么样的《线性代数》学习资料较好，较适合中国学生？我想，本子的物理尺寸要越薄越好，内容要越通俗易懂越好。书本越薄大家学习的信心越强：小样，这么点厚度还搞不定你，看，信心先有了。如果只是容量精简了还不行，考试的时候受打击，工作中更受打击。如当年我学的《线性代数》课本是同济编的，内容是精简到家，千锤百炼，没一句废话，超薄。死记硬背，看似搞定了，实际是囫囵吞枣。如何通俗易懂还不能多说？我一直认为，加上几何意义或者物理意义啥的，一步到位搞定。这就是本《线性代数的几何意义》的由来。也是这个本子的目标。目标有了，具体如何编写呢？模仿一下科学大德牛顿的口气：从线性代数书籍的浩瀚海洋的沙滩上（还没有更高的能力去远洋、去深海处），用一双自己的眼睛，寻找到了一个个闪闪的小珍珠，一片片如玉的小彩贝，然后细细的打磨和擦拭，拂去沙尘，使它们重放光彩，用一根几何意义的锦丝，穿就了这本《线性代数几何意义》的项链，献给热爱思考、痴迷于创造的人们。呵呵，自不量力，终极目标而已，但意思还是有了。重要的几何直观意义在学习中，一旦碰到较抽象难懂的概念或定理，如何搞定？几个办法：一个是看推导过程，推导可以加强你相信它的信心并连通你原有的知识体系。如果推导把你弄昏了，只好弄懂它的几何意义或物理意义啦。几何意义或者讲几何解释会和人们看到的平面和空间中物体几何外观联系起来，几何上说的通，物理上也就说得通，几何意义和物理意义本质上是一回事（如果你不信物理和几何是一回事，就想想爱因斯坦，想想相对论），因此大家就相信了，就会和大家大脑中的经验和原有知识网络连通，一下子就“懂了”，满心欢喜的，原来是这么一回事。真理总是简单的和直观的，一位先贤说，不管多么复杂高深的数学理论，总有其直观的背景，不管多么繁难深奥的定理，其证明总有一个简单而直观的中心思想。几何图形能以其生动的直观形象给人留下深刻的印象。可以这样说，在数学中再没有别的什么东西，能比几何图形更容易进入人们的脑海了。从宏观上看，一种数学理论(包括它的主要概念和方法)往往都有其直观的背景，它们或者是从对某些特殊的事例的观察分析中得到的，或者是直接从几何图形中看出的，或者是从已有的结果类比联想引来的，从几何直观上分析问题的能力，首先是指对于一种数学理论能“洞察其直观背景”。对于它是如何被发现的或如何形成的作出合理的解释或猜测。一句话，皇皇巨著的理论特别是抽象的数学理论的核心常常可以从几何意义的角度得到解释。《线性代数的几何意义》=================================================================================第5页，共28页从微观上看，关于某一个具体定理的证明，国外的数学教育家波利亚曾经说：“一个长的证明常常取决于一个中心思想，而这个思想本身却是直观的和简单的”。因此，从几何直观上分析问题的能力，也包括找出证明中的那个关键的简单而直观的思想，也就是象希尔伯特所要求的，能透过概念的严格定义和实际证明中的推演细节，“描绘出证明方法的几何轮廓”。大师庞加莱和阿达玛关于数学领域的发明创造的观点也认为，数学创造发明的关键在于选择数学观念间的“昀佳组合”，从而形成数学上有用的新思想和新概念，而这种选择的基础是“美的直觉”。在这种美的直觉中，也就是在追求某种对称性、和谐性、统一性、简洁性和奇异性当中，以及在某种联想、猜想、假设及非逻辑思维中，几何直观具有头等重要的意义。事实上，很多数学家都是先利用几何直观猜测到某些结果，然后才补出逻辑上的证明的。这正如我国著名拓扑学家张素诚先生所说的，对数学中的许多问题来说，“灵感”往往来自几何，表达的简洁靠代数，计算的精确靠分析。嘿嘿，看看上面的数学上的历史牛人的观点，几何形象直观的意义何等重要。其实，大家都知道几何意义的重要，我们在小学和中学的学习阶段，老师常常也讲一些抽象概念所对应的几何意义，为何到了大学我们的大脑就一下子高度抽象起来了？把形象仍得远远的，象瘟疫一样躲着他？目的是训练抽象思维？昀终实际结果呢？不可否认，大学毕业后大家确实是抽象了，抽象得只会夸夸其谈讲理论不会干具体活了。既然你具体的活计不会干那干脆就专搞抽象的理论去嘛，结果也搞不了，为啥？只会做做过的抽象的数学题不会发明创造，没学会真正的抽象，真是越抽象越糊涂。我觉得，抽象和形象是相辅相成，缺一不可的。由形象而抽象，再由抽象到形象，人的知识结构螺旋架才能旋转而上，达到越来越高的知识峰巅。如何使用这本书拼命阐述几何直观在数学学习中的重要意义，但这并不意味着可以否定逻辑推理论证的重要作用。实际上，单纯地依据直观而导致错误的数学例子真是数不胜数。概念或定理的几何直观解释，往往并不等同于原来的概念或定理。运用几何直观可以帮助我们猜想，但猜想并不能代替证明，只有经过一步步严格的逻辑论证以后，才算给出了证明。形象或直观和抽象本来是一切科学的两面。只是近年来过分强调了抽象思维能力的训练而忽视了几何意义的解释。反过来，我们不能只强调了几何意义而丢掉了计算和推导。因此建议读者：z初学者从几何意义入手，轻松而迅速理解和把握线性代数的基本概念和定理几何本质，建立对线性代数的感性认识，具备了理解复杂及抽象数学的能力。z然后，在回到现在的抽象的线性代数的教材，短时间内构筑个人的线性代数的知识体系的“向量空间”，通过适量的习题训练，巩固解决具体问题的动手能力。此时，具体与抽象一体，理想与现实齐飞。您，已经成为线性代数的高手和大牛。注：本文中，几何意义和几何解释的文字意思没有根本区别，一般对于数学概念的对应的几何图形而言称为几何意义，而对运算、变换的过程可对应几何图形的变化过程称为几何解释。《线性代数的几何意义》第一章什么是线性代数？这一章的内容主要是想对线性代数的大的概念如线性函数、映射和线性变换以及线性代数的发展简史和应用作一简要介绍，本章的目的是让读者知道我们所学的线性代数的实质是什么，到底有什么用。线性代数是代数学乃至整个数学的一个忒重要的学科，顾名思义，它是研究线性问题的代数理论。那么什么是代数呢？代数英文是Algebra，源于阿拉伯语，其本意是“结合在一起”的意思。也就是说代数的功能是把许多看似不相关的事物“结合在一起”，也就是进行抽象。抽象的目的不是为了显示某些人智商高，而是为了解决问题的方便，为了提高效率，把许多看似不相关的问题化归为一类问题。比如线性代数中的一个重要的抽象概念是线性空间（对所谓的要满足“加法”和“数乘”等八条公理的元素的集合），而其元素被称为向量。也就是说，只要某个集合里的元素满足那么几条公理，元素之间的变化满足这些规律，我们就可以对这个集合（现在可以改名为线性空间了）进行一系列线性化处理和分析，这个陌生的集合的性质和结构特点我们一下子就全知道了，因为宇宙间的所有的线性空间类的集合的性质都一样，地球人都知道（如果地球人都学了线性代数的话）。多么深刻而美妙的结论！这就是代数的一个抽象特性。注：