专题复习讲义 二次根式

用心爱心专心复习精品讲义二次根式1本章概述在本章中，通过对二次根式的概念、性质、化简及运算等内容的学习，使我们掌握二次根式的化简与运算，明确二次根式中字母取值范围的确定方法，会对二次根式进行化简．本章内容是数学中的基础内容，在勾股定理、一元二次方程的求根公式及三角形的边角关系等内容的学习过程中，都会用到本章的相关内容．熟练掌握前面我们学习的平方根、算术平方根的概念和利用平方运算求非负数的平方根、算术平方根的方法等知识，有利于本章内容的学习与深化．2本章学习重难点【本章重点】利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【本章难点】对a(a≥0)是一个非负数的理解，对等式(a)2＝a(a≥0)和2a＝a(a≥0)的理解及应用，对二次根式乘、除法公式的条件的正确理解．3学法指导1．注意观察、分析、归纳、探究等能力的培养，在本章知识的呈现方式上，重视体现“问题情境——数学活动——概括——巩固、应用和拓展”的模式．2．注重数学知识与现实生活的联系．无论是学习二次根式的概念，还是学习二次根式的性质和运算，都尽可能把所学的知识与现实生活联系，重视运用所学知识解决实际问题能力的培养．3．充分利用图形，使代数和几何有机结合．对于数与代数的内容，应重视有关内容的几何背景，运用几何直观帮助理解、解决有关代数问题是对数学的一种导向．4．运用类比思想．学习时注意回顾与类比，充分运用类比思想学习、理解算理和算法，提高运算能力知识网络结构图概念二次根式:式子a（a≥0）叫做二次根式最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式性质（1）abab（a≥0，b≥0）（2）aabb（a≥0，b≥0）（3）(a)2=a（a≥0）（4）2a=|a|=(0)(0)aaaa≥＜225aaa（）当≥0时，（）二次根式·(00)ababab加减法：合并同类二次根式运算乘法：≥，≥aaabbb除法：（≥0，＞0）用心爱心专心专题总结及应用一、知识性专题专题1二次根式的最值问题【专题解读】涉及二次根式的最值问题，应根据题目的具体情况来决定应采用的方法，不能一概而论，但一般情况下利用二次根式的非负性来求解.例1当x取何值时，913x的值最小？最小值是多少？分析由二次根式的非负性可知9191xx≥0，即的最小值为0，因为3是常数，所以913x的最小值为3.解：∵91x≥0，∴9133x≥，∴当9x+1=0，即19x时，9133x有最小值，最小值为3.【解题策略】解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性，即a≥0（a≥0）.专题2二次根式的化简及混合运算【专题解读】对于二次根式的化简问题，可根据定义，也可以利用2||aa这一性质，但应用性质时，要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论.例2下列计算正确的是（）2712A.822B.941362C.(2+5)(2-5)1D.322分析根据具体选项，应先进行化简，再计算.A选项中，822222，B选若可化为3323333，C选项逆用平方差公式可求得255（）（2-）=4-5=-1，而D选项应将分子、分母都乘2，得62232-12.故选A.例3计算20062007(21)(21)的结果是（）用心爱心专心A.1B.-1C.21D.21分析本题可逆用公式（ab）m=ambm及平方差公式，将原式化为2006[(21)(21)](21)21.故选D.例4书知2228442142xxyxxxyyxx，求的值.分析本题主要利用二次根式的定义及非负性确定x的值，但要注意所得x的值应使分式有意义.解：由二次根式的定义及分式性质，得2240,4,2,20,xxxx≥≥0≠22222872442,22277214222142277142214214.22yxyyx【解题策略】本题中所求字母x的取值必须使原代数式有意义.例5化简223541294-202522aaaaa-（≤≤）.22353252-302-502223)(25)|23||25|(23)(25)48.aaaaaaaaaaa解：≤≤，≤≤，≥，≤,原式（【解题策略】本题应根据条件直接进行化简，主要应用性质2(0)||-(0).aaaaaa≥，＜例6已知实数，a，b，c在数轴上的位置如图21-8所示，化简222||()().aaccab解：由a，b，c在数轴上的位置可知：图21-8用心爱心专心0,00,0,||||||||()().cabaccaaaccabaaccabaaccabab＜＜＞＜＜原式【解题策略】利用间接给出的或隐含的条件进行化简时，要充分挖掘题目中的隐含条件，再进行化简.专题2二次根式的化简及混合运算22127|1|44.|1|(2)|1||2|.10,201,2,-112,2xxxxxxxxxxxxxx例化简解：原式令，得于是实数集被分为＜，≤＜≥三部分，-110,-20,-(1)(-2)-3.-1210,-20(1)(2)21.xxxxxxxxxxx①当＜时，＜＜原式②当≤＜时，≥＜.原式210,20,xxx③当≥时，＞≥1)(2)3.3(1)21(12)3(2).xxxxxx原式（＜，原式≤＜，≥规律·方法对于无约束条件的化简问题需要分类讨论，用这种方法解题分为以下步骤：首先，求出绝对值为零时未知数的值，这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次，以这些零点为分点，把数轴划分为若干部分，即把实数集划分为若干个集合，在每个集合中分别进行化简，简称“零点分区间法”.例8已知3,12,.abababbaba求的值分析这是一道二次根式化简题，在化为最简二次根式的过程中，要注意a，b的符号，本题中没明确告诉，a，b的符号，但可从a+b=-3，ab=12中分析得到.解：∵a+b=-3，ab=12，∴a＜0，b＜0.··221243.abababbabaabbaba【解题策略】本题最容易出现的错误就是不考虑a，b的符号，把所求的式子化简，直接代入.专题3利用二次根式比较大小、进行计算或化简用心爱心专心例9估计32×12+20的运算结果应在（）A.6到7之间B.7到8之间C.8到9之间D.9到10之间分析本题应计算出所给算式的结果，原式1620425，由于456.25＜＜，即252.584259＜＜，所以＜＜.故选C.已知m是13的整数部分，n是13的小数部分，求mnmn的值.解：∵9＜13＜16，∴9＜13＜16，即3＜13＜4∴13的整数部分为3，即m=3，∴13的小数部分为13-3n=133，即，∴313-361361313.133(133)13mnmn（）二、规律方法专题专题4配方法【专题解读】把被开方数配方，进而应用2aa=||化简.例11化简526.22252632232(3)(2)232(32)|32|32.解：规律·方法一般地，对于2ab型的根式，可采用观察法进行配方，即找出x，y(x＞y＞0)，使得xy=b，x+y=a，则22()abxy，于是22()abxyxy，从而使2ab得到化简.例12若a，b为实数，且b=355315aa，试求22babaabab的值.分析本题中根据b=355315aa可以求出a，b，对2baab用心爱心专心2baab的被开方数进行配方、化简.解：由二次根式的性质得3503350..5305aaaa≥，≥，150,0.babab，＞＜22()()222.babaabababababababbaabababababbaababababb当32321515.51555ab，时，原式【解题策略】对于形如22babaabab+或形式的代数式都要变为2()abab或2()abab的形式，当它们作为被开方式进行化简时，要注意.ababab和以及的符号专题5换元法【专题解读】通过换元将根式的化简和计算问题转化为方程问题.例13计算3535.解：令x=3535，两边同时平方得：22(3535)x，∴x2=（35）（35）+235×35=1001010.xx＞，，即原式专题6代入法【专题解读】通过代入求代数式的值.例14已知22222400,5760,.ababab求的值用心爱心专心2223322222400,57602.42400,2.42400,1000,10,2.41024,102467626.ababbaabaaabab解：由，两式相除得，专题7约分法【专题解读】通过约去分子和分母的公因式将第二次根式化简.例15化简23261015.2323261015223523)2312325)25525252.5235252)解：（）（（）(++（）(例16化简().2xyyxxyxxyy≠2()().()()()xyxyxyxyxyxyyxxyxyxyxyxy解：原式三、思想方法专题专题8类比思想【专题解读】类比是根据两对象都具有一些相同或类似的属性，并且其中一个对象还具有另外某一些属性，从而推出另一对象也具有与该对象相同或相似的性质.本章类比同类项的概念，得到同类二次根式的概念，即把二次根式化简成最简二次根式后，若被开方数相同，则这样的二次根式叫做同类二次根式.我们还可以类比合并同类项去合并同类二次根式.例17计算.13+2321821223.（）；（）解：（1）原式=（1+2）3=33.（2）原式=32-2+23+23=22+43.【解题策略】对于二次根式的加减法，应先将各式化为最简二次根式，再类比合并同类项的方法去合同类二次根式.专题9转化思想【专题解读】当问题比较复杂难于解决时，一般应采取转化思想，化繁为简，化难为易，用心爱心专心本章在研究二次根式有意义的条件及一些化简求值问题时，常转化为不等式或分式等知识加以解决.例18函数y=24x中，自变量x的取值范围是.分析本题比较容易，主要考查函数自变量的取值范围的求法，本题中24x是二次根式，所以被开方数2x-4≥0,所以x≥2.故填x≥2.例19如图21-9所示的是一个简单的数值运算程序，若输入x的值为3，则输出的数值为.图21-9分析本题比较容易，根据程序给定的运算顺序将问题化为二次根式求值问题，易知图中所表示的代数式为21x，代入可知（3）2-1=2.故填2.专题10分类讨论思想【专题解读】当遇到某些数学问题存在多种情况时，应进行分类讨论.本意在运用公式2||aa进行化简时，若字母的取值范围不确定，应进行分类讨论.例20若化简2|1|816xxx的结果为25x，则x的取值范围是（）A.x为任意实数B.1≤x≤4C.x≥1D.x≤4分析由题意可知|1||4|25xxx，由此可知|1|1xx，且|4|4xx，由绝对值的意义可知10x≥，且40x≥，所以14xx≤≤，即的取值范围是14x≤≤.故选B.【解题策略】对2a和|a|形式的式子的化简都应分类讨论.例21如图21-10所示的是一块长、宽、高分别为7cm，5cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块