史济怀复变函数答案1y

第一章复数与复变函数§1.1习题2．设12,,...,nzzz是任意n个复数，证明：11||||nnkkkkzz==≤∑∑，并给出不等式中等号成立的条件.（提示：可以用数学归纳法证明.等号成立的条件是12,,...,nzzz线性相关）.3．证明：1(ReIm)ReIm.2zzzzz+≤≤+证明：设zaib=+，则Reza=，Imzb=，22||zab=+.由题2知，zabiab≤+=+故22222222222()||22222abaabbababababz++++++==+≤+=，即有1(ReIm)ReIm.2zzzzz+≤≤+4．若12||,0zzll=，证明：21212||zzzzll-=-.证明：不妨设22221210.zzzzl≠=则2222212122121112zzzzzzzzzzzzll-=-=-=-即有21212||zzzzll-=-成立.5．设|a|1，证明：若|z|=1，则11zaaz-=-.证明：由1z=得1zz=故11zazazzzazaz-=-=-=-即证之.6．设|a|1，|z|1.证明：11zaaz--.PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建证明：提示：（11zaaz--⇔2222||2Re||12Re||||;zazaazaz-+-+而2222221||||||||(1||)(1||)0;azazaz--+=--）7．设12,,...,nzzz，12,,...,n个复数，证明复数形式的Lagrange等式：22221111()(),nnnkjjjjjjkjjjjknzzzz===≤≤=--∑∑∑∑并由此推出Cauchy不等式：222111nnnjjjjjjjzzww===⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑.证明：提示（记1212......nnzzzA⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，1112'2212...detdet()0.........nnnnzzzzzAAz⎛⎞⎜⎟⎛⎞⎜⎟=≥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎝⎠，2detdet||jkjjjkkjjkkkzzzzzz⎛⎞⎛⎞=-⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，则原式=210kjjkjknzzww≤≤-≥∑.(1)另外，21111122221211...detdet.........nnjjjjjnnnnjjjnjjnzzzzzzzzz====⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑∑222111()()0nnnjjjjjjjzzww====-≥∑∑∑.（2）由（1）=（2）可得证.§1.2习题1．把复数1cossinziqq=++写成三角形式.解：1111112222221()2Re(2cos)2iiiiiiizeeeeeeeqqqqqqqq-=+=+==.2．问取何值时有(1)(1)nnii+=-.解：提示（41,1,1kiiikNi+==∈-）PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建．证明：01sinsin()22cos,2sin2nknkqqqq=++=∑01coscos()22sin,2sin2nknkqqqq=-+=∑证明：由于(1)201sin121sin2ininnikikneeeeqqqqqq+=+-==-∑，则即可得00cosRennikkkkeqq===∑∑，00sinnnikkkkimeqq===∑∑.4．证明：123zzzΔ和123=0.证明：提示（123zzzΔ和123zzzΔ同向相似,abC⇔∃∈，使得(1,2,3)kkazbkw=+=111122223333111,,111wzwzwazbwzwzwz⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⇔=+⇔⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠线性相关1122331det10.1zwzwzw⇔=）5．设12zz≠，证明：z位于以1z和2z为端点的开线段上，当且仅当存在(0,1)l∈，使得12(1)zzzll=+-；证明：z位于以1z和2z为端点的开线段上⇔210,()kzzkzz∃-=-210,11zzkzkk⇔∃=+++12(0,1),(1),()1kzzzkllll⇔∃∈=++=+.6．图1.5是三个边长为1的正方形，证明：2AODBODCODp∠+∠+∠=.EABCOD解：以O为原点，OD为X轴，OE为Y轴，建立坐标系.设123,,OAzOBzOCz→→→===则1231,2,3zizizi=+=+=+，从而123arg()arg(1)(2)(3)arg(10)zzziiii=+++=.PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建是单位向量，它的辐角为2p，即2AODBODCODp∠+∠+∠=.10．证明：22221212122(||),zzzzzz++-=+并说明等式的几何意义.证明：222222121211221122||||||2Re||||2Re||zzzzzzzzzzzz++-=+++-+22122(||||)zz=+几何意义是：平行四边形两对角线长的平方和等于它的各边长的平方和.11．设1,...,nzz是单位圆周（以原点为中心、半径为1的圆周）上的n个点，如果1,...,nzz是正n边形的n个顶点，证明：1nkkz=∑=0.证明：记12...nzzzCw=+++∈，设该正n边形的一个圆心角为q，0qp.由复数乘法几何意义及正n边形对称性，0ieq=⇒=，即证之.3.设1z，2z，3z，4z是单位圆周上的四个点，证明：这四个点是一矩形顶点的充要条件为12340zzzz+++=.证明：提示（先为菱形，连线为直径对点则是矩形）14.设L是由方程0azzzzdbb+++=所确定的点的轨迹，其中a，d是实数，b是复数.证明：（i）当a=0，b≠0时，L是一直线；（ii）当a≠0，20adb-时，L是一圆周.并求出该圆周的圆心和半径.证明：（i）令22dlb=，则2dlbb=，故原方程为()()0zzblbblb+++=，即Re()0zblb+=，即zlb+与b垂直，从而轨迹是一条通过点lb-，与b垂直的直线.（ii）记220adlb=-，则2adbbl=-，原式22220()()azzazazadazazazbbbblbl⇔+++=⇔++=⇔+=即证之.§1.3习题1.证明：在复数的球面表示下，z和1z的球面像关于复平面对称.PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建证明：设zxiy=+其球面对应的坐标为21232221,,1(1)1zzzzzxxxzizz-+-===+++.而1z球面像对应的坐标为1122211'1111zzzzzzxxzzz+++====+++,2222211'1(1)(1)(1)zzzzzzxxiziziz---====+++,222332221111'1111zzzxxzzz---====-+++,从而有'''112233,,xxxxxx===-，故z和1z的球面像关于复平面对称.2.证明：在复数的球面表示下，z和w的球面像是直径对点当且仅当zw=-1.证明：⇐设zxiy=+，由1zw=-得11,zzww=-=-，由于z对应的球面像为21232221,,1(1)1zzzzzxxxzizz-+-===+++，w对应的球面像为123',','xxx，计算可得：11,2233'','xxxxxx=-=-=-，故z和w的球面像是直径对点.⇒由球面表示的几何意义知，,zw位于通过竖坐标轴的平面与xoy平面交点上，从而,zw必与原点共线，则,0zwll=-，由33'xx=，易知1l=.3.证明：在复数的球面表示下,∞C中的点z和w的球面像间的距离为()()22211zzww-++.证明：设z和w的球面像的坐标为()123,,xxx和()123',','xxx，PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建则()()()()222112233112233'''22'''xxxxxxxxxxxx-+-+-=-++，112233'''xxxxxx++()()()()()()()()22221111zzzzzz=++()()()()2222211211zzz=++故()()()()222112233,'''dzxxxxxxw=-+-+-()()()11223322222'''11zxxxxxxzww-=-++=++4.证明：在复数的球面表示下，若abcd⎛⎞⎜⎟⎝⎠是二阶酉方阵，则∞C的变换w=azbczd++诱导了球面绕球心的一个旋转.证明：先证()()()222,,,11zwzwcdzwzw-∀∈=++，一定有(),,azbawbddzwczdcwd++⎛⎞=⎜⎟++⎝⎠.而()()22222222()det11abazbawbzwczdcwdcdazbczdawbcwdazbawbczdcwd⎛⎞++--⎜⎟++⎝⎠=⎛⎞⎛⎞++++++++++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠，由abcd⎛⎞⎜⎟⎝⎠是二阶酉方阵知，()()222det1,11||1,11abacabzzazbczdzzzcdcdbd⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+++===+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠类似的有222||1,awbcwdw+++=+故原式=()()()()()()2222221111adbczwzwzwzz---=++++，PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建故(),,azbawbddzwczdcwd++⎛⎞=⎜⎟++⎝⎠成立，从而诱导变换是一个等距.又等距变换的行列式是abcd⎛⎞⎜⎟⎝⎠的连续函数且只取1±两个值，而二阶酉方阵全体是连通的，从而行列式为常数.取abcd⎛⎞⎜⎟⎝⎠=1001⎛⎞⎜⎟⎝⎠，此时诱导变换是恒等变换，行列式为1，故此常数为1，从而此等距变换为旋转.§1.4习题1.设0(,0]z∉-∞，0nz≠，nN∀∈.证明：复数列{}nz收敛到0z的充要条件是0limnnzz→∞=和0limargargnnzz→∞=.证明：因为00(,0],0,..argzstzdpdpd∉-∞∃--+，由不等式0000||||||||argargnnzzzzzzz-≤-+-即得充分性由不等式00||||||nzzzz-≥-及0000argarg||||||2||sin2nnzzzzzzz--+-≥并注意0argarg222nzzddpp--+-，可得必要性.2.设zxiy=+∈C,证明：()lim1cossinnxnzexiyn→∞⎛⎞+=+⎜⎟⎝⎠.（提示：分开证明实部与虚部收敛即可.）§1.5习题2．设E⊂C是非空点集，,zw∈C.证明：()(),,dzEdEzww-≤-成立，而()()(),,,dzEdEdzEww-≤-不成立.证明：,Ex∀∈有(,)inf||||||||EdzEzzzzxxxww∈=-≤-≤-+-||(,)||dzEzwxw⇒-≥--，取下确界得(,)inf||(,)||EdEdzEzxwwxw∈=-≥--，即(,)(,)||dzEdEzww-≤-（1）同样可得(,)(,)||dEdzEzww-≤-（2）PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建因此由（1）（2）可得结论成立.反例：令{1},2,1Ezw===.则(,)dzE=1，(,)dEw=0，(,)dzEw-=03.指出下列点集的内部、边界、闭包和导集：(i)N={k:k为自然数}；解：内部：空集；边界：N；闭包：N={k:k为自然数}；导集：空集.(ii)E={1k:k为自然数}