同角三角函数的基本关系式与诱导公式.ppt

基础知识梳理1．同角三角函数的基本关系式(1)sin2α＋cos2α＝；(2)tanα＝.1sinαcosα基础知识梳理2．诱导公式(1)角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系sin(α＋k·2π)＝；cos(α＋k·2π)＝；tan(α＋k·2π)＝.(2)角α与－α的三角函数间的关系sin(－α)＝；cos(－α)＝；tan(－α)＝.(3)角α与α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数间的关系sin[α＋(2k＋1)π]＝；sinαcosαtanα－sinαcosα－tanα－sinα基础知识梳理cos[α＋(2k＋1)π]＝；tan[α＋(2k＋1)π]＝.(4)角α与α＋的三角函数间的关系cos(α＋)＝；sin(α＋)＝；tan(α＋)＝；cot(α＋)＝.(5)角α与－α＋的三角函数间的关系cos(－α＋)＝；sin(－α＋)＝；tan(－α＋)＝；cot(－α＋)＝.π2π2π2π2π2π2π2π2π2π2－cosαtanα－sinαcosα－tanα－cotαsinαcosαcotαtanα基础知识梳理对sin(nπ－α)如何化简？【思考·提示】诱导公式中有π－α，2π－α两类公式，因此对n分奇偶讨论：当n＝2k，k∈Z时，sin(nπ－α)＝sin(2kπ－α)＝sin(－α)＝－sinα；当n＝2k＋1，k∈Z时，sin(2kπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sinα.三基能力强化1．α是第一象限角，tanα＝34，则sinα＝________.解析：tanα＝sinαcosα＝34，sin2α＋cos2α＝1，且α是第一象限角，所以sinα＝35.答案：35三基能力强化2．(2009年高考陕西卷改编)若tanα＝2，则2sinα－cosαsinα＋2cosα的值为________．解析：2sinα－cosαsinα＋2cosα＝2tanα－1tanα＋2＝34.答案：34三基能力强化3．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)sin585°的值为________．解析：sin585°＝sin(585°－360°)＝sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－22.答案：－22三基能力强化4．(2010年江苏徐州质检)已知α∈(－π2，0)，sinα＝－35，则cos(π－α)＝________.解析：α∈(－π2，0)，sinα＝－35，则cosα＝45，∴cos(π－α)＝－cosα＝－45.答案：－45三基能力强化5．已知sin2θ＋4cosθ＋1＝2，那么(cosθ＋3)(sinθ＋1)的值为________．解析：∵sin2θ＋4cosθ＋1＝2，∴sin2θ＋4＝2cosθ＋2，∴cos2θ＋2cosθ－3＝0，解得cosθ＝1或cosθ＝－3(舍去)，由cosθ＝1得sinθ＝0，∴(cosθ＋3)(sinθ＋1)＝4.答案：4课堂互动讲练应用诱导公式进行化简或证明时，首先根据题意选准公式再用，一般是负变正、大变小的思想．在使用诱导公式时，α可为任意角，并不一定要为锐角，只不过是在运用的过程中把它“看作”是锐角而已．“奇变偶不变，符号看象限”同样适用于正切和余切．如tan(270°－α)＝cotα等．诱导公式的应用考点一课堂互动讲练【思路点拨】已知条件可用诱导公式化简得：cosα＝，(1)用诱导公式先化简sin(2π－α)＝－sinα，再由同角三角函数的关系求解．(2)先对解析式化简，然后求值．例1已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin[α＋(2n＋1)π]＋sin(π＋α)sin(π－α)·cos(α＋2nπ)(n∈Z)．课堂互动讲练【解】∵cos(π＋α)＝－12，∴－cosα＝－12，cosα＝12，又∵α是第四象限角，∴sinα＝－1－cos2α＝－32.(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sinα＝32.课堂互动讲练(2)sin[α＋(2n＋1)π]＋sin(π＋α)sin(π－α)·cos(α＋2nπ)＝sin[α＋2nπ＋π]－sinαsinα·cosα＝sin(π＋α)－sinαsinα·cosα＝－2sinαsinα·cosα＝－2cosα＝－4.课堂互动讲练【点评】诱导公式的记忆往往是使用诱导公式的关键．可以这样记忆：kπ2＋α，k取奇数时名变，k取偶数时名不变；kπ＋α的诱导公式，k取奇数时可视为π＋α，k取偶数时可视为2π＋α或利用函数周期性记忆．即对诱导公式的记忆要掌握一些可帮助准确记忆的方法途经，不能死记硬背．课堂互动讲练互动探究1．例1条件不变，求sin(α＋nπ)＋sin(π＋α)sin(π－α)·cos(α＋nπ)的值．解：由cos(π＋α)＝－12，得cosα＝12.当n为偶数时，sin(α＋nπ)＋sin(π＋α)sin(π－α)·cos(α＋nπ)＝sinα－sinαsinα·cosα＝0；当n为奇数时，sin(α＋nπ)＋sin(π＋α)sin(π－α)·cos(α＋nπ)＝－sinα－sinαsinα·(－cosα)＝2cosα＝4.课堂互动讲练对于含有条件等式的代数式的化简求值题，求解时应分别从条件和结论两方面入手，找准化简方向，可从统一函数名称，统一角度等方面考虑．同角三角函数式的化简求值考点二课堂互动讲练【思路点拨】利用诱导公式化简，并结合同角的三角函数关系式求值．例2已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23(π2απ)．求下列各式的值：(1)sinα－cosα；(2)sin3(π2－α)＋cos3(π2＋α)．课堂互动讲练【解】由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sinα＋cosα＝23，①将①两边平方，得1＋2sinα·cosα＝29，故2sinα·cosα＝－79.又π2απ，∴sinα0，cosα0.课堂互动讲练(1)(sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα＝1－(－79)＝169，∴sinα－cosα＝43.(2)sin3(π2－α)＋cos3(π2＋α)＝cos3α－sin3α＝(cosα－sinα)(cos2α＋cosα·sinα＋sin2α)＝－43×(1－718)＝－2227.课堂互动讲练【点评】此类问题是给值求值．解这类问题的方法是根据所给值式和被求式的特点，发现它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当地选择诱导公式．课堂互动讲练跟踪训练2．已知：sin(π＋θ)＝lg1310，求：cos(3π＋θ)cos(－θ)[cos(π－θ)－1]＋cos(θ－2π)cosθsin(32π－θ)＋cosθ.课堂互动讲练跟踪训练解：sin(π＋θ)＝lg1310，得－sinθ＝－13，∴sinθ＝13.原式＝－cosθcosθ(－cosθ－1)＋cosθcosθ(－cosθ)＋cosθ＝1cosθ＋1＋11－cosθ＝21－cos2θ＝2sin2θ＝219＝18.课堂互动讲练(1)对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；(2)关于sinα，cosα的齐次式，往往化为关于tanα的式子．sinα，cosα的齐次式问题考点三课堂互动讲练例3(解题示范)(本题满分12分)已知－π2x0，sinx＋cosx＝15.(1)求sinx－cosx的值；(2)求1cos2x－sin2x的值．课堂互动讲练【思路点拨】(1)由sinx＋cosx＝15及sin2x＋cos2x＝1可求出sinx、cosx的值，从而求出sinx－cosx的值；另外，由－π2x0，可求出sinx0，cosx0，从而判定sinx－cosx的符号，只需求(sinx－cosx)2即可．(2)由(1)及已知条件可求出tanx，而1cos2x－sin2x＝cos2x＋sin2xcos2x－sin2x，想法使分子分母都出现tanx即可．课堂互动讲练【解】(1)法一：联立方程：sinx＋cosx＝15，①sin2x＋cos2x＝1.②2分①式两边平方得：sin2x＋cos2x＋2sinxcosx＝125，∴2sinxcosx＝－2425.4分∵－π2x0，∴sinx0，cosx0.∴sinx－cosx＝－sin2x－2sinxcosx＋cos2x＝－1＋2425＝－75.6分课堂互动讲练法二：∵sinx＋cosx＝15，∴(sinx＋cosx)2＝(15)2，即1＋2sinxcosx＝125，∴2sinxcosx＝－2425.2分∵(sinx－cosx)2＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x＝1－2sinxcosx＝1＋2425＝4925，①4分又∵－π2x0，∴sinx0，cosx0，∴sinx－cosx0.②课堂互动讲练由①②可知：sinx－cosx＝－75.6分(2)由已知条件及(1)可知sinx＋cosx＝15，sinx－cosx＝－75，解得sinx＝－35，cosx＝45.8分∴tanx＝－34.9分课堂互动讲练又∵1cos2x－sin2x＝sin2x＋cos2xcos2x－sin2x＝sin2x＋cos2xcos2xcos2x－sin2xcos2x＝tan2x＋11－tan2x.11分＝(－34)2＋11－(－34)2＝257.12分课堂互动讲练【点评】运用基本关系式可以求解两类问题：(1)已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值；(2)运用它对三角函数式进行化简求值或证明．该部分高考命题难度不大，对公式的应用要求准确、灵活，尤其是在利用平方关系sin2α＋cos2α＝1及其变形形式sin2α＝1－cos2α或cos2α＝1－sin2α进行开方运算时，要特别注意符号的判断．课堂互动讲练自我挑战3．(本题满分10分)已知tan(π－α)＝2，求：(1)sin2α－2sinαcosα－cos2α4cos2α－3sin2α＋1；(2)2sin(3π＋α)cos(5π2＋α)＋sin(32π－α)sin(π－α)．课堂互动讲练自我挑战解：由已知得tanα＝－2.2分(1)原式＝sin2α－2sinαcosα－cos2α5cos2α－2sin2α＝tan2α－2tanα－15－2tan2α＝－73.5分(2)原式＝2(－sinα)(－sinα)＋(－cosα)sinα＝2sin2α－sinαcosα7分＝cos2α(2tan2α－tanα)＝2tan2α－tanα1＋tan2α＝2.10分规律方法总结同角三角函数的基本关系依据它们的结构分为商数关系、平方关系，用三角函数的定义反复证明强化记忆，这是最有效的记忆方法．诱导公式用角度制和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sinα与cosα对偶、tanα与cotα对偶．“奇”、“偶”是对诱导规律方法总结公式中k·π2＋α的整数k来讲的．“象限”指在k·π2＋α中，将α看作锐角时k·π2＋α所在的象限，如将cos(32π＋α)写成cos(3·π2＋α)，因为3是奇数，则“cos”变为对偶函数符号“sin”，又32π＋α看作第四象限角，cos(32π＋α)为“＋”，所以有cos(3π2＋α)＝sinα，同理sin(3π2＋α)＝－cosα.规律方法总结在利用同角三角函数的基本关系化简、求值和证明恒等关系时，要注意用“同角”来区分和选用公式，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简求值时，要注意正负号的选取．