立体几何空间距离问题

第1页%%%共12页空间距离问题(专注高三数学辅导:QQ1550869062)空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离.●难点磁场(★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中点.求：(1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离.P为RT△ABC所在平面α外一点,∠ACB=90°(如图)(1)若PC=a，∠PCA=∠PCB=60°，求P到面α的距离及PC和α所成的角（2）若PC=24，P到AC，BC的距离都是6√10，求P到α的距离及PC和α所成角（3）若PC=PB=PA，AC=18，P到α的距离为40，求P到BC的距离●案例探究第2页%%%共12页［例1］把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：(1)EF的长；(2)折起后∠EOF的大小.命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目.知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式.错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x轴、y轴、z轴两两互相垂直.技巧与方法：建系方式有多种，其中以O点为原点，以OB、OC、OD的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向最为简单.解：如图，以O点为原点建立空间直角坐标系O—xyz,设正方形ABCD边长为a,则A(0，－22a,0),B(22a,0,0),C(0,22a,0),D(0,0,22a),E(0,－42a,a),F(42a,42a,0)21||||,cos,2||,2||8042)42)(42(420)0,42,42(),42,42,0()2(23,43)420()4242()042(||)1(22222OFOEOFOEOFOEaOFaOEaaaaaOFOEaaOFaaOEaEFaaaaaEF∴∠EOF=120°［例2］正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离.命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目.知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.错解分析：本题容易错误认为O1B是A1C与AB1的距离，这主要是对异面第3页%%%共12页直线定义不熟悉，异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的距离.技巧与方法：求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得.解法一：如图，连结AC1，在正方体AC1中，∵A1C1∥AC,∴A1C1∥平面AB1C，∴A1C1与平面AB1C间的距离等于异面直线A1C1与AB1间的距离.连结B1D1、BD，设B1D1∩A1C1=O1,BD∩AC=O∵AC⊥BD，AC⊥DD1，∴AC⊥平面BB1D1D∴平面AB1C⊥平面BB1D1D，连结B1O，则平面AB1C∩平面BB1D1D=B1O作O1G⊥B1O于G，则O1G⊥平面AB1C∴O1G为直线A1C1与平面AB1C间的距离，即为异面直线A1C1与AB1间的距离.在Rt△OO1B1中，∵O1B1=22，OO1=1，∴OB1=21121BOOO=26∴O1G=331111OBBOOO，即异面直线A1C1与AB1间距离为33.解法二：如图，在A1C上任取一点M，作MN⊥AB1于N，作MR⊥A1B1于R，连结RN，∵平面A1B1C1D1⊥平面A1ABB1，∴MR⊥平面A1ABB1，MR⊥AB1∵AB1⊥RN，设A1R=x,则RB1=1－x∵∠C1A1B1=∠AB1A1=45°，第4页%%%共12页∴MR=x,RN=NB1=)1(22x31)31(23)1(2122222xxxRNMRMN(0＜x＜1)∴当x=31时，MN有最小值33即异面直线A1C1与AB1距离为33.●锦囊妙计空间中的距离主要指以下七种：(1)两点之间的距离.(2)点到直线的距离.(3)点到平面的距离.(4)两条平行线间的距离.(5)两条异面直线间的距离.(6)平面的平行直线与平面之间的距离.(7)两个平行平面之间的距离.七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面第5页%%%共12页的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)正方形ABCD边长为2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角(如图)，M为矩形AEFD内一点，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为21，那么点M到直线EF的距离为()21D.23C.B.122A.2.(★★★★)三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90°,设平面A1BC1与平面ABC的交线为l，则A1C1与l的距离为()A.10B.11C.2.6D.2.4二、填空题3.(★★★★)如左下图，空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为_________.第6页%%%共12页4.(★★★★)如右上图，ABCD与ABEF均是正方形，如果二面角E—AB—C的度数为30°，那么EF与平面ABCD的距离为_________.三、解答题5.(★★★★★)在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图：(1)求证：平面A1BC1∥平面ACD1；(2)求(1)中两个平行平面间的距离；(3)求点B1到平面A1BC1的距离.6.(★★★★★)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥D1B且面EAC与底面ABCD所成的角为45°,AB=a,求：(1)截面EAC的面积；(2)异面直线A1B1与AC之间的距离；(3)三棱锥B1—EAC的体积.7.(★★★★)如图，已知三棱柱A1B1C1—ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F.(1)求点A到平面B1BCC1的距离；(2)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等.第7页%%%共12页8.(★★★★★)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2,AB=31AD=a,∠ADC=arccos552,PA⊥面ABCD且PA=a.(1)求异面直线AD与PC间的距离；(2)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为36.参考答案难点磁场解：(1)在矩形ABCD中，作AE⊥BD，E为垂足连结QE，∵QA⊥平面ABCD，由三垂线定理得QE⊥BE∴QE的长为Q到BD的距离在矩形ABCD中，AB=a,AD=b,∴AE=22baab在Rt△QAE中，QA=21PA=c∴QE=22222babac∴Q到BD距离为22222babac.(2)解法一：∵平面BQD经过线段PA的中点，∴P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离在△AQE中，作AH⊥QE，H为垂足∵BD⊥AE,BD⊥QE,∴BD⊥平面AQE∴BD⊥AH∴AH⊥平面BQE，即AH为A到平面BQD的距离.第8页%%%共12页在Rt△AQE中，∵AQ=c,AE=22baab∴AH=22222)(bacbaabc∴P到平面BD的距离为22222)(bacbaabc解法二：设点A到平面QBD的距离为h，由VA—BQD=VQ—ABD,得31S△BQD·h=31S△ABD·AQh=22222)(bacbaabcSAQSBQDABD歼灭难点训练一、1.解析：过点M作MM′⊥EF,则MM′⊥平面BCF∵∠MBE=∠MBC∴BM′为∠EBC为角平分线，∴∠EBM′=45°,BM′=2,从而MN=22答案：A2.解析：交线l过B与AC平行，作CD⊥l于D，连C1D，则C1D为A1C1与l的距离，而CD等于AC上的高，即CD=512,Rt△C1CD中易求得C1D=513=2.6答案：C二、3.解析：以A、B、C、D为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P、Q分别为AB、CD的中点，因为AQ=BQ=22a,∴PQ⊥AB,同理可得PQ⊥CD，故线段PQ的长为P、Q两点间的最短距离，在Rt△APQ中，PQ=22)2()23(2222aaAPAQa答案：22a第9页%%%共12页4.解析：显然∠FAD是二面角E—AB—C的平面角，∠FAD=30°,过F作FG⊥平面ABCD于G，则G必在AD上，由EF∥平面ABCD.∴FG为EF与平面ABCD的距离，即FG=2a.答案：2a三、5.(1)证明：由于BC1∥AD1，则BC1∥平面ACD1同理，A1B∥平面ACD1，则平面A1BC1∥平面ACD1(2)解：设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为d，则d等于D1到平面A1BC1的距离.易求A1C1=5，A1B=25，BC1=13，则cosA1BC1=652,则sinA1BC1=6561,则S111CBA=61,由于111111DCABBCADVV，则31S11BCA·d=)21(31111DCAD·BB1,代入求得d=616112,即两平行平面间的距离为616112.(3)解：由于线段B1D1被平面A1BC1所平分，则B1、D1到平面A1BC1的距离相等，则由(2)知点B1到平面A1BC1的距离等于616112.6.解：(1)连结DB交AC于O，连结EO，∵底面ABCD是正方形∴DO⊥AC，又ED⊥面ABCD∴EO⊥AC，即∠EOD=45°又DO=22a，AC=2a，EO=45cosDO=a，∴S△EAC=22a(2)∵A1A⊥底面ABCD，∴A1A⊥AC，又A1A⊥A1B1∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线又EO∥BD1，O为BD中点，∴D1B=2EO=2a∴D1D=2a，∴A1B1与AC距离为2a(3)连结B1D交D1B于P，交EO于Q，推证出B1D⊥面EAC∴B1Q是三棱锥B1—EAC的高，得B1Q=23a32422322311aaaVEACB第10页%%%共12页7.解：(1)∵BB1⊥A1E，CC1⊥A1F，BB1∥CC1∴BB1⊥平面A1EF即面A1EF⊥面BB1C1C在Rt△A1EB1中，∵∠A1B1E=45°，A1B1=a∴A1E=22a,同理A1F=22a,又EF=a，∴A1E=22a同理A1F=22a,又EF=a∴△EA1F为等腰直角三角形，∠EA1F=90°过A1作A1N⊥EF，则N为EF中点，且A1N⊥平面BCC1B1即A1N为点A1到平面BCC1B1的距离∴A1N=221a又∵AA1∥面BCC1B，A到平面BCC1B1的距离为2a∴a=2，∴所求距离为2(2)设BC、B1C1的中点分别为D、D1，连结AD、DD1和A1D1，则DD1必过点N，易证ADD1A1为平行四边形.∵B1C1⊥D1D,B1C1⊥A1N∴B1C1⊥平面ADD1A1∴BC⊥平面ADD1A1得平面ABC⊥平面ADD1A1，过A1作A1M⊥平面ABC，交AD于M，若A1M=A1N，又∠A1AM=∠A1D1N，∠AMA1=∠A1ND1=90°∴△AMA1≌△A1ND1,∴AA1=A1D1=3,即当AA1=3时满足条件.8.解：(1)∵BC∥AD,BC面PBC,∴AD