相似三角形的性质与判定专题讲义

沃根金榜一对一学科教师辅导讲义学生姓名：年级：老师：上课日期：上课时间：上课次数：______年级第______单元课题______——————————————————————————————————[课前准备]课前检查：作业完成情况：优（）良（）中（）差（）复习预习情况：优（）良（）中（）差（）——————————————————————————————————[学习内容]一、知识梳理（一）、相似三角形的性质：1、相似三角形的对应角，对应边。2、相似三角形的对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于。3、相似三角形对应周长的比等于。4、相似三角形对应面积的比等于。注意：在运用相似三角形的性质解题时，一定要确定好对应边、对应角；若果不能确定，则应当进行分类讨论。（二）、相似三角形的判定：1、判定两个三角形相似的条件：（1）平行截割：_____（2）两角对应相等：（3）两边夹：（4）三边比：_____________________________________2、判定两个三角形相似的一般步骤：（1）先通过已知或平行、对顶角、公共边、寻找是否存在两对相等的角（2）若只能找到一对对应角相等，则再找到一对对应角相等,或找夹这个角的两边是否对应成比例。（3）若找不到相等的角，就分析三边是否3、等积式的证明思路遇等积，化等比；横找、竖找定相似；不相似，莫生气，等线等比来代替；平行线转比例，两端各自拉关系。二、基础练习1．（2013•重庆）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．4：3B．3：4C．16：9D．9：162．两相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的面积之差为32cm2，那么小三角形的面积为（）A．10cm2B．14cm2C．16cm2D．18cm23．如图，已知△ABC，AB=6，AC=4，D为AB边上一点，且AD=2，E为AC边上一点（不与A、C重合），若△ADE与△ABC相似，则AE=（）A．2B．34C．3或43D．3或344．（2008•毕节地区）已知△ABC的三条长分别为2cm，5cm，6cm，现将要利用长度为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似，要求以其中一根作为这个三角形木架的一边，将另一根截成两段（允许有余料，接头及损耗忽略不计）作为这个三角形木架的另外两边，那么这个三角形木架的三边长度分别为（）A．10cm，25cm，30cmB．10cm，30cm，36cm或10cm，12cm，30cmC．10cm，30cm，36cmD．10cm，25cm，30cm或12cm，30cm，36cm5．（2010•淄博）在一块长为8、宽为32的矩形中，恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形，且三角形的顶点都在矩形的边上．其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是．6．如图，D、E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F.若AD＝3，AB＝5，求：（1）AGAF；（2）△ADE与△ABC的周长之比；三、重难点高效突破专题一：计算线段的长度或线段之间的比在几何中线段长度计算常用的方法是：1、运用勾股定理计算；2、运用相似三角形对应边成比例计算；3、综合运用进行计算。典型例题1、（2012•铁岭）已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=25，BC=32．连接BD，AE⊥BD，垂足为E．ABCDEFG（1）求证：△ABE∽△DBC；（2）求线段AE的长．变式训练：1、（2012•株洲）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O．（1）求证：△COM∽△CBA；（2）求线段OM的长度．2、（2012•长沙）如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．（1）求证：DG=21DF；（2）求证：△BDG∽△DEG；（3）若EG•BG=4，求BE的长．典型例题2（2013•巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=36，AF=34，求AE的长．变式训练：1、（2009•甘孜州）已知如图，▱ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G．（1）求证：AB=BH；（2）若GA=10，HE=2．求AB的值．2、（2013•南充）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P为BC边上一点（不与B，C重合），过点P作∠APE=∠B，PE交CD于E．（1）求证：△APB∽△PEC；（2）若CE=3，求BP的长．专题二：等积式、等比式的证明对应线段成比例除了用来计算线段长度外，它也是我们证明等积式、等比式的一个重要理论依据。处理这类问题的口诀是：遇等积，化等比；横找、竖找定相似；不相似，莫生气，等线等比来代替。等积问题证明第一步：化等比，定相似遇到等积问题时，首先把等积化为等比的形式，然后考虑证明两个三角形相似。例1、（2011•闸北区一模）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．求证：FCFDFDFB变式练习：（1997•吉林）已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F、求证：BP2=PE•PF．等积证明第二步：不相似，莫生气，等线等比来代替。若在化等比，定相似的基础上不能通过证明两个三角形相似来实现等积的证明，此时可通过查找问题中所隐含的相等的线段或相等比值的条件，用等线或相等的比值来代替等比式中的相应部分，再在此基础上通过其它的手段来证明等积问题。例2：如图，ABCD中，E为边AD延长线上的一点，BE交CD于F。试说明：CD·BC=AE·FC的理由。例3、如图，P是ABCD的边DC的延长线上的一点，连接AP交DB、BC于M、N，求证：AM2=MN·NP变式练习：1、如图，在正方形ABCD中，F是BC上一点，EA⊥AF交CD延长线于点E，连接EF交AD于G。（1）求证：△ABF≌△ADE（2）求证：BF·FC=DG·EC2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°边AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，BG⊥AB交EF于的G。求证：CF是EF与FG的比例中项。3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，M是CD上的点，DH⊥BM于H，DH、AC的延长线交于E。求证：（1）△AED∽△CBM；（2）AE·CM=AC·CDABCEDFDABPCNMFEACBGBDGACEF4、（2012•徐汇区一模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E在边AD上，BE与AC相交于点O，且∠ABE=∠BCA．求证：（1）△BAE∽△BOA；（2）BO•BE=BC•AE．综合提高1、（2011•上海）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF=DE．连接BF、CF、AC．（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）如果DE2=BE•CE，求证：四边形ABFC是矩形．2、（2012•天水）如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，交AC于点O，分别连接AF和CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）过E点作AD的垂线EP交AC于点P，求证：2AE2=AC•AP；（3）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长．3、梯形ABCD中，AB∥DC，E是AB的中点，直线DE分别与对角线AC，直线BC相交于M和N求证:MD·NE=ME·ND专题三：相似三角形中的面积问题学习目标：结合相似三角形的性质及三角形的面积公式，解决相似三角形的面积问题一、求三角形面积常用方法1、面积公式2、等高或等底法3、相似三角形：二、例题及变式练习例1：如图,DE∥BC,，则△ADE与△ABC的相似比是__________,面积之比是_______.例2、已知如图，梯形ABCD中，AB∥CD，△COD与△AOB的周长比为1：2，则CD：AB=，S△COB：S△COD=．例3、如图，将面积为a2的正方形与面积为b2的正方形（b＞a）放在一起，则△ABC的面积是．NABECDMS1S212ADBD且CBEDA例4、（2011广西北海）如图，△ABC的面积为63，D是BC上的一点，且BD∶CD＝2∶1，DE∥AC交AB于点E，延长DE到F，使FE∶ED＝2∶1，则△CDF的面积为．变式一：如图,D、E、F是△ABC的各边的中点，设△ABC的面积为S,求△DEF的面积.变式二：（1）如图,DE∥FG∥BC,且AD=DF=FB,设△ABC被分成的三部分的面积分别为S1,S2,S3,求S1:S2:S3.（2）如图,DE∥FG∥BC,设△ABC被分成的三部分的面积分别为S1,S2,S3,且S1=S2=S3,求AD:DF:FBGFCBEDAAEDCGFB变式三：如图,DE∥BC,DF∥AC,S△ABC=a,则四边形DFCE的面积为______________.12ADBD且FCBEDAFCBEDA变式四：如图,平行四边形ABCD中,AE:EB=2:3,则S△APE:S△CPD=_________.变式五：如图,平行四边形ABCD中,BE:AB=2:3,且S△BPE=4,求平行四边形ABCD的面积.PDCBEA变式六：如图,AC是平行四边形ABCD的对角线,且AE=EF=FC,求S△DMN:S△ACDNDCFBEA变式七：如图,△ABC中,AD∥BC,联结CD交AB于点E,且，且AE：EB=1：3，过点E作EF∥BC，交AC于点F，变式八：如图,点D和E分别在△ABC的边AB、AC上,若S△ADE=4,S△BCE=24,求S△BDESSAEFBCE,2和求SADEDCBEAFDECBA变式九：如图,点D是△ABC边BC延长线上一点，过点C作CE∥AB，作DE∥AC，联结AE，S△ABC=9,S△CDE=4,求S△ACE本次课作业：家长签字：1、预习：2、写：教学主管签字：DECBADECBA