2.3.1离散型随机变量的均值讲解

2.3.1离散型随机变量的均值1.n次独立重复试验其中0＜p＜1,p+q=1,k=0,1,2,...,nP(X＝k)＝pkqn－kCkn则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X~B(n，p)一般地，由n次试验构成，且每次试验互相独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与，每次试验中P(A)＝p＞0。称这样的试验为n次独立重复试验，也称伯努利试验。n次独立重复试验的特征为：1）每次试验是在同样的条件下进行的；2）各次试验中的事件是相互独立的；3）每次试验都只有两种结果:发生与不发生；4）每次试验,某事件发生的概率是相同的.2.二项分布复习回顾一般地,设离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，……，xi，…，ξ取每一个值xi(i＝1，2，…)的概率P(ξ＝xi)＝pi，则称下表为随机变量ξ的概率分布.由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布都具有下述两个性质：3.离散型随机变量的概率分布ξx1x2…xi…Pp1p2…pi…（1）pi≥0，i＝1，2，…，n（2）p1＋p2＋…＋pi＋…+pn＝1复习引入对于离散型随机变量,可以由它的概率分布确定与该随机变量相关事件的概率.但在实际问题中,有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征.例如:要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平,很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征,最常用的有期望与方差。按3：2：1的比例混合，混合糖果中每一粒糖果的质量都相等.定价为混合糖果的平均价格才合理问题情景18元/kg24元/kg36元/kgm千克混合糖果的总价格为321182436666mmm18元/kg24元/kg36元/kg情景探究按3：2：1混合以下糖果181824362436PXPXPX平均价格为32118243666632118243623/.666mmmmkg元362418PX362616权数加权平均一.离散型随机变量的均值或数学期望一般地,若离散型随机变量X的概率分布为XP1x2x3xnx1p2p3pnp1122nnXEXxpxpxp均值则称为随机变量的或，它反映了离散型随机变量取值的平数学期望均水平.1.定义2.性质已知随机变量X,其均值为E(X).若Y＝aX＋b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量.并且随机变量Y的均值为：E(Y)=E(aX＋b)＝aE(X)＋b．1122112212()()()...()(...)(...)().nnnnnEYaxbpaxbpaxbpaxpxpxpbpppaEXbpnxn……pkxk……p2x2p1x1PXpnaxn+b……pkaxk+b……p2ax2+bp1ax1+bPY随机变量X的分布列为：随机变量Y=aX+b的分布列为：随机变量Y的数学期望是：()()EaXbaEXb即例1.在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分。如果某运动员罚球命中的概率为0.7,那么他罚球1次的得分X的均值是多少？X10P0.70.3()10.700.30.7.EX解:据题意,X的分布列为故他罚球1次的得分X的均值是0.7一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=？X01P1－pp()10(1).EXppp若X服从两点分布,则E(X)=p.二.两点分布的均值如果X~B(n，p)，那么E(X)=？三.二项分布的均值若X~B(n，p),则E(X)=np.注:(1).随机变量的均值是常数,而样本的平均值是随着样本的不同而变化的.因此,样本的平均值是随机变量;(2).若,都是离散型随机变量,则E(a+)=aE()+E()2.随机变量ξ的分布列是ξ47910P0.3ab0.2E(ξ)=7.5,则a=______,b=________;0.40.13.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球,从中有放回地取5次,则取到红球次数的数学期望是.3练习:1.随机变量ξ的分布列是ξ135P0.50.30.2(1).则E(ξ)=____________;2.4(2).若η=2ξ+1,则E(η)=____________;5.8例2.一次英语单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且只有一个选项是正确答案,每题选择正确答案得5分,不作出选择或选错不得分,满分100分,学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。解:设学生甲和学生乙在这次测验中选对的题数分别是∴E()＝20×0.9＝18，E()＝20×0.25＝5．1212,XB(200.9)(20,0.25)XXXB和则，，1X2X由于答对每题得5分,所以学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5和5.这样,他们在测验中的成绩的期望分别是1X2XE(5)＝5E()＝5×18＝90，1X2X1XE(5)＝5E()＝5×5＝25．2X课堂小结1）离散型随机变量取值的平均值数学期望1122()iinnEXxpxpxpxpP1xix2x······1p2pip······nxnpX2）数学期望的性质()()EaXbaEXb3）若随机变量X服从两点分布X10Pp1－p则pEX4）若随机变量X服从二项分布,即X～B（n,p）,则()EXnp如果X~B(n，p)，那么E(X)=？1110.nkknknknpCpqnp若X~B(n，p)，则E(X)=np.111(1)101()nnkknkkknknnkkEXkCpqnpCpq()1(012)nkkknPXkCppkn，，，…，11.kknnkCnC这里用到，请自己证明则E(X)＝p若X~H(N，M，n)则E(X)＝nMN若X~B(n，p)则E(X)＝np若X~B(1，p)各种不同概率模型下的数学期望例1甲、乙两名射手射击的环数为两个相互独立的随机变量X与Y，且X，Y的分布列为：问：甲、乙两名射手谁的射击水平高?X123P0.30.10.6Y123P0.30.40.3()10.320.130.62.3EX；()10.320.430.32.0.EY所以，甲射手比乙射手的射击水平高.解：例题讲解设在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均值是：叫做这组数据的方差.2222121()()()nSxxxxxxn方差说明了这组数据的波动情况.离散型随机变量的方差定义对于离散型随机变量X的概率分布如下表：(其中pi≥0，i＝1，2，…，n；p1＋p2＋…＋pn＝1)Xx1x2…xnPp1p2…pn(xi－E(X))2描述了xi(i=1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，故(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋...＋(xn－E(X))2pn称为离散型随机变量X的方差，记为D(X).其算术平方根为X的标准差：记为()DX().X随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分散的程度.离散型随机变量的方差定义定义深析随机变量的方差和样本的方差有何联系和区别？012P0.40.20.4012P0.10.80.1甲工人：乙工人：例1甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件相等，所得次品数分别是、，分布列如下：试求随机变量、的期望和方差.解：1122()9()0.4()9()0.8.EDED，；，从上可知，.所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得环数的平均值很接近，均在9环左右，但射手甲所得的环数比较集中，得9环较多，而射手乙所得环数比较分散，得8环和10环的次数要多些.1212()()()()EEDD，例题讲解例2甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表：射手甲射手乙用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平.0.4100.290.48概率p击中环数20.2100.690.28概率p击中环数1(3)~1()(1)XBpDXpp若，，则；2(2)()()DaXbaDX；212221122()(())(())(())(())niiinnDXxEXpxEXpxEXpxEXp重要结论：(4)~()(1).XBnpDXnpp若，，则2222212(1)1nXDxsxxxxn对于取各个值的概率相同时，；公式推广例2一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确.每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分.学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个.分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.例题讲解可设甲、乙两学生做对题的个数分别为X1、X2.例2一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确.每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分.学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个.分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.解：设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是X1和X2，则X1~B(20，0.9)，X2~B(20，0.25)，所以E(X1)＝20×0.9＝18，E(X2)＝20×0.25＝5．由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是5X1和5X2．所以，他们在测验中的成绩的期望分别是E(5X1)＝5E(X1)＝5×18＝90，E(5X2)＝5E(X2)＝5×5＝25．答:甲、乙同学得分的期望分别是90分和25分.求离散型随机变量均值的步骤：①确定离散型随机变量可能的取值；②写出分布列，并检查分布列的正确与否；③求出均值.方法与步骤例题讲解例3一年中一辆车受损的概率为0.03.现保险公司拟开设一年期租车保险，假定一辆车一年的保费为1000元，若在一年内该车受损，则保险公司需赔偿3000元.一年内，一辆车保险公司平均收益多少？分析：设保险公司平均收益为X.则X的分布列为：X20001000P0.030.97()20000.0310000.97910.EX答：一辆车保险公司平均收益910元.1.现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张.问1张彩票可能中奖的均值是多少元？2.在只需回答“是”与“不是”的知识竞赛时，每个选手回答两个不同问题，都回答失败，输1分，否则赢0.3分.用X表示甲的得分，如果甲随机猜测“是”与“不是”，计算X的数学均值.小试身手方案2：建保护围墙，建设费2000元，但围墙只能防小洪水；试比较哪一种方案好？遇大洪水损失60000元遇小洪水损失10000元有小洪水的概率为0.25有大洪水的概率为0.01大型设备方案3：不采取措施.方案1：运走设备运费为3800；能力展现2.3.2离散型随机变量的方差例1甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件相等，所得次品数分别是、，分布列如下：012P0.40.20.4012P0.10.80.1甲工人：乙工人：E(=E(=1那么甲、乙两人的技术水平相同吗？情景引例设在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均值是：叫做这组数据的方差.2222121()()()nSxxxxxxn方差说明了这组数据的波动情况.离散型随机变量的方差定义对于离散型随机变量X的概率分布如下表：(其中pi≥0，i＝1，2，…，n；p1＋p2＋…＋pn＝1)Xx1x2…xnPp1p2…pn(xi－E(