2011届高考数学平面向量的数量积复习

第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用基础知识梳理1．两个向量的夹角(1)定义已知两个向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．非零(2)范围向量夹角θ的范围是，a与b同向时，夹角θ＝；a与b反向时，夹角θ＝.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作.基础知识梳理0°≤θ≤180°0°180°90°a⊥b【思考·提示】不正确．求两向量的夹角时，两向量起点应相同，向量a与b的夹角为π－∠ABC.基础知识梳理1.在△ABC中，设AB→＝a，BC→＝b，则向量a与b的夹角为∠ABC，是否正确？2．平面向量的数量积已知两个非零向量a、b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)基础知识梳理基础知识梳理定义(1)a·b＝(2)规定：0·a＝坐标表示a·b＝运算律(1)a·b＝b·a(2)(λa)·b＝＝(3)(a＋b)·c＝a在b方向上的投影b在a方向上的投影a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与|a||b|cosθ0x1x2＋y1y2λ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c|a|cosθ|b|cosθb在a方向上的投影|b|cosθ的乘积3.与平面向量的数量积有关的结论已知两个非零向量a、b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)基础知识梳理基础知识梳理结论几何表示坐标表示模夹角cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤|a|＝a·acosθ＝a·b|a||b||a|＝x12＋y12x1x2＋y1y2x12＋y12·x22＋y22x12＋y12·x22＋y222.如何利用向量的数量积证明a∥b?【思考·提示】若a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|，则a∥b.基础知识梳理4.向量方法解决几何问题的步骤(1)建立几何与的联系，用表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为问题；(2)通过向量的运算，研究几何元素之间的关系，如夹角、距离、垂直、平行等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．基础知识梳理向量向量向量1．(2009年高考重庆卷改编)已知|a|＝1，|b|＝6，(a＋2b)·(b－a)＝68，则向量a与b的夹角是()答案：C三基能力强化A.π6B.π4C.π3D.π22．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则a·(b·c)等于()A．(26，－78)B．(－28，－42)C．－52D．－78答案：A三基能力强化3．已知a＝(2,1)，b＝(3，x)，若(2a－b)⊥b，则x的值是()A．3B．－1C．－1或3D．－3或1答案：C三基能力强化4．(教材习题改编)若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－3，则|2a＋b|＝________.三基能力强化答案：29答案：－1三基能力强化5．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为45°，要使a与a＋λb垂直，则λ的值为________．1．数量积的运算要注意a＝0时，a·b＝0，但a·b＝0时不能得到a＝0或b＝0，因为a⊥b时，也有a·b＝0.2．若a、b、c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量a、b、c满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．课堂互动讲练考点一平面向量数量积的运算课堂互动讲练例1已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|.【思路点拨】课堂互动讲练平面向量数量积的定义夹角公式求模公式课堂互动讲练【解】(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.【名师点评】正确地进行数量积的运算，避免错用公式，如a2＝|a|2是正确的，而a·b＝|a||b|和|a·b|＝|a||b|都是错误的．课堂互动讲练(2)|a＋b|＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝16＋2×(－6)＋9＝13.课堂互动讲练互动探究例1的条件不变，若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC的面积．课堂互动讲练解：∵AB→与BC→的夹角θ＝2π3，∴∠ABC＝π－2π3＝π3.又|AB→|＝|a|＝4，|BC→|＝|b|＝3，∴S△ABC＝12|AB→||BC→|sin∠ABC＝12×4×3×32＝33.课堂互动讲练考点二平面向量数量积的坐标运算设两个非零向量a、b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2.(2)|a|＝x12＋y12.(3)cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2x12＋y12·x22＋y22.注意：(1)x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．课堂互动讲练课堂互动讲练例2(2009年高考江苏卷)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.【思路点拨】课堂互动讲练课堂互动讲练【解】(1)因为a与b－2c垂直，所以a·(b－2c)＝4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此tan(α＋β)＝2.(2)由b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，得|b＋c|＝(sinβ＋cosβ)2＋(4cosβ－4sinβ)2＝17－15sin2β≤42.课堂互动讲练又当β＝－π4时，等号成立，所以|b＋c|的最大值为42.(3)证明：由tanαtanβ＝16得4cosαsinβ＝sinα4cosβ，所以a∥b.【规律小结】向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此我们可以利用向量的直角坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，判断两向量是否垂直．课堂互动讲练1．平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此可以用向量方法解决部分几何问题．2．物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的加减法相似，故可以用向量的知识来解决某些物理问题．课堂互动讲练考点三平面向量的应用课堂互动讲练例3如图，▱ABCD中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间有何关系吗？【思路点拨】第一步，建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系．第三步，把运算结果“翻译”成几何关系．课堂互动讲练课堂互动讲练【解】设AB→＝a，AD→＝b，AR→＝r，则AC→＝a＋b.由于AR→∥AC→，所以设r＝n(a＋b)，n∈R.又∵EB→＝AB→－AE→＝a－12b，ER→∥EB→，故设ER→＝mEB→＝m(a－12b)．课堂互动讲练∵AR→＝AE→＋ER→，∵r＝12b＋m(a－12b)．所以n(a＋b)＝12b＋m(a－12b)，即(n－m)a＋(n＋m－12)b＝0.由于a与b不平行，故必有n－m＝0n＋m－12＝0，课堂互动讲练解得m＝n＝13，∴AR→＝13AC→，同理TC→＝13AC→，于是RT→＝13AC→.∴AR＝RT＝TC.【规律小结】用向量法解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素；然后通过向量的运算研究点、线段等元素之间的关系；最后把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．这就是向量法解决平面几何问题的“三部曲”．课堂互动讲练向量与三角函数结合是高考命题的一个热点，在处理这类问题时，除注意三角公式的合理应用外，要特别注意有关向量的数量积、向量的夹角、向量模的公式的准确使用．课堂互动讲练考点四平面向量的综合问题课堂互动讲练例4(解题示范)(本题满分12分)已知向量m＝(2sinx，cosx)，n＝(3cosx,2cosx)，定义函数f(x)＝loga(m·n－1)(a0，a≠1)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)确定函数f(x)的单调递增区间．【思路点拨】先利用向量运算求得函数f(x)的解析式，再求f(x)的周期和单调区间．课堂互动讲练课堂互动讲练【解】(1)因为m·n＝23sinxcosx＋2cos2x＝3sin2x＋cos2x＋1＝2sin(2x＋π6)＋1.2分所以f(x)＝loga[2sin(2x＋π6)]，故T＝2π2＝π.4分(2)令g(x)＝2sin(2x＋π6)，课堂互动讲练则g(x)的单调递增的正值区间是(kπ－π12，kπ＋π6)，k∈Z.6分g(x)的单调递减的正值区间是(kπ＋π6，kπ＋5π12)，k∈Z.8分当0a1时，函数f(x)的单调递增区间为(kπ＋π6，kπ＋5π12)，k∈Z.当a1时，函数f(x)的单调递增区间为(kπ－π12，kπ＋π6)，k∈Z.12分【思维总结】本题中通过向量的坐标运算得到复合函数y＝loga[2sin(2x＋)]，根据复合函数“同增异减”的单调原则进行求解，在解题过程中要注意定义域的限制，即单调区间必须在g(x)0的前提下进行判断．课堂互动讲练课堂互动讲练高考检阅(本题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且向量m＝(sinA，sinC)，n＝(cosC，cosA)，m·n＝sin2B.(1)求角B；(2)若三边a，b，c成等差数列，BA→·(AC→－AB→)＝8，求b.课堂互动讲练解：(1)∵m＝(sinA，sinC)，n＝(cosC，cosA)，∴m·n＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB.又已知m·n＝sin2B，∴sin2B＝sinB.∴2sinBcosB＝sinB.显然sinB≠0，∴cosB＝12.∴B＝π3.5分课堂互动讲练(2)∵BA→·(AC→－AB→)＝BA→·BC→＝cacosB＝12ac＝8，∴ac＝16.∵三边a、b、c成等差数列，∴a＋c＝2b.9分∴b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝4b2－48.∴3b2＝48，b＝4.12分1．对数量积概念的理解(1)两个向量的数量积是一个数量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，结果可正、可负、可为零，其符号由夹角的余弦值确定．计算数量积的关键是正确确定两向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则要通过平移，使两向量符合以上条件．规律方法总结(2)两向量a，b的数量积a·b与代数中a，b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“·”．(3)b在a上的投影是一个数量，它可正，可负，也可以等于0.2.对数量积运算律的理解(1)当a≠0时，由a·b＝0不一定推出b＝0，这是因为对任一个与a垂直的向量b，都有a·b＝0.规律方法总结当a≠0时，a·b＝a·c也不一定推出b＝c，因为由a·b＝a·c，得a·(b－c)＝0，即a与(b－c)垂直．也就是向量的数量积运算不满足消去律．(2)对于实数a，b，c，有(a·b)c＝a(b·c)，但对于向量来说，(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等，这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等．规律方法总结随堂即时巩固点击进入课时活页训练点击进入