高数下册知识点

高等数学（下）知识点第1页共31页高等数学下册（同济大学第七版）知识点高等数学（下）知识点第2页共31页高等数学下册知识点下册预备知识第八章空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设),,(zyxaaaa，),,(zyxbbbb，则),,(zzyyxxbabababa,),,(zyxaaaa；5、向量的模、方向角、投影：1）向量的模：222zyxr；2）两点间的距离公式：212212212)()()(zzyyxxBA3）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,,4）方向余弦：rzryrxcos,cos,cos1coscoscos2225）投影：cosPraaju，其中为向量a与u的夹角。（二）数量积，向量积1、数量积：cosbaba1）2aaa高等数学（下）知识点第3页共31页2）ba0bazzyyxxbabababa2、向量积：bac大小：sinba，方向：cba,,符合右手规则1）0aa2）ba//0bazyxzyxbbbaaakjiba运算律：反交换律baab（三）曲面及其方程1、曲面方程的概念：0),,(:zyxfS2、旋转曲面：yoz面上曲线0),(:zyfC，绕y轴旋转一周：0),(22zxyf绕z轴旋转一周：0),(22zyxf3、柱面：0),(yxF表示母线平行于z轴，准线为00),(zyxF的柱面4、二次曲面高等数学（下）知识点第4页共31页1）椭圆锥面：22222zbyax2）椭球面：1222222czbyax旋转椭球面：1222222czayax3）单叶双曲面：1222222czbyax4）双叶双曲面：1222222czbyax5）椭圆抛物面：zbyax22226）双曲抛物面（马鞍面）：zbyax22227）椭圆柱面：12222byax8）双曲柱面：12222byax9）抛物柱面：ayx2（四）空间曲线及其方程高等数学（下）知识点第5页共31页1、一般方程：0),,(0),,(zyxGzyxF2、参数方程：)()()(tzztyytxx，如螺旋线：btztaytaxsincos3、空间曲线在坐标面上的投影0),,(0),,(zyxGzyxF，消去z，得到曲线在面xoy上的投影00),(zyxH（五）平面及其方程1、点法式方程：0)()()(000zzCyyBxxA法向量：),,(CBAn，过点),,(000zyx2、一般式方程：0DCzByAx截距式方程：1czbyax3、两平面的夹角：),,(1111CBAn，),,(2222CBAn，222222212121212121cosCBACBACCBBAA210212121CCBBAA21//212121CCBBAA4、点),,(0000zyxP到平面0DCzByAx的距离：高等数学（下）知识点第6页共31页222000CBADCzByAxd（六）空间直线及其方程1、一般式方程：0022221111DzCyBxADzCyBxA2、对称式（点向式）方程：pzznyymxx000方向向量：),,(pnms，过点),,(000zyx3、参数式方程：ptzzntyymtxx0004、两直线的夹角：),,(1111pnms，),,(2222pnms，222222212121212121cospnmpnmppnnmm21LL0212121ppnnmm21//LL212121ppnnmm5、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sinpnmCBACpBnAm//L0CpBnAmLpCnBmA高等数学（下）知识点第7页共31页第九章多元函数微分法及其应用（一）基本概念（了解）1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、多元函数：),(yxfz，图形：（了解）3、极限：Ayxfyxyx),(lim),(),(004、连续：),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx5、偏导数：xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(00000006、方向导数：coscosyfxflf其中,为l的方向角。7、梯度：),(yxfz，则jyxfiyxfyxgradfyx),(),(),(000000。8、全微分：设),(yxfz，则dddzzzxyxy（二）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：高等数学（下）知识点第8页共31页2、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、微分法1）定义：ux2）复合函数求导：链式法则z若(,),(,),(,)zfuvuuxyvvxy，则vyzzuzvxuxvx，zzuzvyuyvy3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三）应用1、极值1）无条件极值：求函数),(yxfz的极值解方程组00yxff求出所有驻点，对于每一个驻点),(00yx，令),(00yxfAxx，),(00yxfBxy，),(00yxfCyy，①若02BAC，0A，函数有极小值，若02BAC，0A，函数有极大值；偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义12234高等数学（下）知识点第9页共31页②若02BAC，函数没有极值；③若02BAC，不定。2）条件极值：求函数),(yxfz在条件0),(yx下的极值令：),(),(),(yxyxfyxL———Lagrange函数解方程组0),(00yxLLyx2、几何应用1）曲线的切线与法平面曲线)()()(:tzztyytxx，则上一点),,(000zyxM（对应参数为0t）处的切线方程为：)()()(000000tzzztyyytxxx法平面方程为：0))(())(())((000000zztzyytyxxtx2）曲面的切平面与法线曲面0),,(:zyxF，则上一点),,(000zyxM处的切平面方程为：0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为：),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx复习重点第1节：例4，例8，习题9-1的第6大题第2节：这一节必考，例题（除了例5）和所有习题都要做高等数学（下）知识点第10页共31页第3节：例1-3，习题9-3的第1，2大题第4节：该节必考，例1-4，习题9-4的前12大题第5节：定理1和2记住结论，定理3会方法，不要记结论，例1-3习题9-5，除了6,11，其他题目都很重要第6节：该节也很重要，例1-7，习题9-6的前12题第7节：例1-6，习题9-7除了9（偏导数存在，连续，方向导数存在三者没有关系）第8节：极值的必要、充分条件（特别是充分条件），注意最值可能在边界取到，注意讨论，例4-8，习题9-8所有题（本节容易作为压轴题）总习题九：1,6,9,11,13-18第十章重积分（一）二重积分1、定义：nkkkkDfyxf10),(limd),(2、性质：（6条），特别注意性质3和53、几何意义：曲顶柱体的体积。4、计算：1）直角坐标bxaxyxyxD)()(),(21，21()()(,)ddd(,)dbxaxDfxyxyxfxyy高等数学（下）知识点第11页共31页dycyxyyxD)()(),(21，21()()(,)ddd(,)ddycyDfxyxyyfxyx2）极坐标)()(),(21D21()()(,)dd(cos,sin)dDfxyxydf-------------“先后”（二）三重积分1、定义：nkkkkkvfvzyxf10),,(limd),,(2、性质：3、计算：1）直角坐标Dyxzyxzzzyxfyxvzyxf),(),(21d),,(ddd),,(-------------“先一后二”ZDbayxzyxfzvzyxfdd),,(dd),,(-------------“先二后一”2）柱面坐标zzyxsincos，(,,)d(cos,sin,)dddfxyzvfzz-------------“z先再后”高等数学（下）知识点第12页共31页3）球面坐标cossinsincossinrzryrx2(,,)d(sincos,sinsin,cos)sindddfxyzvfrrrrr-------------“r先再后”（三）应用曲面DyxyxfzS),(,),(:的面积：yxyzxzADdd)()(122质心，转动惯量，引力等知识点从未考过。复习重点第1节：二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积），物理意义（平面薄片的质量），性质3-5.习题10-1的5,6大题（喜欢出填空题）第2节：二重积分的计算方法：二次积分（积分顺序，交换积分次序），极坐标，利用对称性，关于坐标轴，直线y=x对称，例1-6.习题10-2，前18大题，你会发现其中很多题目都是往年的考试题。第3节：三重积分的几何意义（被积函数恒为1），计算方法：先1后2，先2后1，三次积分，柱面坐标，球面坐标，特别注意先2后1，柱面坐标，球面坐标。例1-4.习题10-3，去掉3,13,15，剩下的题都做，其中有往年的考试题。第4节：该节几乎不考，复习时把例题看看即可。总习题十：前9大题高等数学（下）知识点第13页共31页第十一章曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分1、定义：01(,)dlim(,)niiiLifxysfs2、性质：1）[(,)(,)]d(,)d(,)d.LLLfxyxysfxysgxys2）12(,)d(,)d(,)d.LLLfxysfxysfxys).(21LLL3）在L上，若),(),(yxgyxf，则(,)d(,)d.LLfxysgxys4）lsLd(l为曲线弧L的长度)3、计算：设),(yxf在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为)(),(),(ttytx，其中)(),(tt在],[上具有一阶连续导数，且0)()(22tt，则22(,)d[(),()]()()d,()Lfxysfttttt第一类曲线积分（对弧长的曲