导数经典例题高二文科

►探究点1导数的几何意义例1.已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处导数值为0（1）求f(x)（2）过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程.[解析]（1）f′(x)=3ax2+2bx-3.依题意f′(1)=f′(-1)=0（2）令f′(x)=0,得x=±1,点A(0,16)不在曲线y=x3-3x上设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足：y0=x30-3x0∵f′(x0)=3x20-3,∴切线方程为y-y0=3(x20-1)(x-x0)又点A(0,16)在切线上,∴16-（x30-3x0）=3(x20-1)(-x0)解得x0=-2,∴切点为M(-2,-2)∴切线方程为9x-y+16=0xxxfbababa3)(,0,1,032303233解得即练习：求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程3235yxx2610xy►探究点2导数的运用[思路]先判断原函数的类型，再套用公式求解．;cos1sin1)3();34)(43()2(;233451)1(253535xxyxxxxyxxxy函数y＝xe－x的导数为________．例2►探究点3利用导数求解函数的单调区间例3.求函数y=x2-2lnx的单调区间.[解析]首先注意定义域x0，).1,0(),,1(,10,0,0)1)(1(,0,1,0,0)2)(1(,0)1)(1(222减区间是是所以函数的单调增区间得令得令xxxxxyxxxxxyxxxxxy[点评]求单调区间可用求导方法，但一定要注意定义域.►探究点4已知单调区间求解参数范围变式1：已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围；(3)是否存在a，使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．3211()(1)132fxxaxax(1,4)(6,)变式2若函数在区间内为减函数，在区间上为增函数，试求实数a的取值范围．324.3,(,112,2-1,2fxxaxbxabfxxabfx例已知函数为实数）（）若在处取得极值，求（）若在区间上为减函数，且b=9a，求a的取值范围。►探究点5利用导数求函数极值例5.求函数f(x)＝lnxx的极值．►探究点6利用极值求参数例6.已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R)（1）若函数f(x)在x=-1和x=3时取得极值，试求a、b（2）在（1）的条件下，当x∈［-2,6］时，f(x)＜2|c|恒成立，求c的取值范围.（需要检验）（2）f(x)=x3-3x2-9x+c,f′(x)=3x2-6x-9，当x变化时，有下表而f(-2)=c-2,f(6)=c+54;∵x∈［-2,6］时f(x)的最大值为c+54f(x)＜2|c|恒成立，而且仅当c+54＜|c|当c≥0时，c+54＜2c，解得c＞54当c＜0时，c+54＜-2c，解得c＜-18∴c的取值范围是(-∞,-18)∪(54,+∞)x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f′(x)+0-0+f(x)极大值c+5极小值c-27[解析]（1）∵f(x)在x=-1和x=3∴-1、3是方程f′(x)=3x2-2ax+b=0933313231baba例7.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5,其导函数y=f′(x)的图象经过点（1,0）,（2,0）,（1）x02）a,b,c的值.[解析]（1）由图象可知在（-∞,1）上f′(x)0，在（1，2）上f′(x)0，在（2，+∞）上f′(x)0.故f(x)在(-∞,1),(2,+∞)上递增，在（1，2）上递减，因此f(x)在x=1处取得极大值5，所以x0=1.（2）f′(x)=3ax2+2bx+c由f′(1)=0,f′(2)=0,f(1)=5,50412023cbacbacba得►探究点7数形结合解得a=2,b=-9,c=12.[点评]本题是一道识图题与文字理解相结合题目，需要从图形中提取信息，并且要注意极大值点的意义.变式:设函数的图象如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极小值为-4，（1）求a，b，c的值；（2）求函数的递减区间．32()fxxaxbxc►探究点8区间上的函数最值(包括闭区间、开区间和一般的区间)例8:已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．