1 平面问题的有限单元法

平面问题的有限单元法平面问题的有限单元法本章教学要求通过本章内容的学习，重点掌握单元的构建方法、分析方法和各自的属性特点，学会各种单元的比较和选择，并能在实际工作中得以应用。平面问题的两种类型平面问题的两种类型平面问题的两种类型一、平面应力问题几何特点：均匀薄片，厚度很小；受力特点：表面力平行于薄片平面，且不沿厚度变化体积力平行于薄片平面，且不沿厚度变化平面问题的两种类型一、平面应力问题应力特点：0|2=±=tzzσ0|2=±=tzzxτ0|2=±=tzzyτ未知量：xσyσxyτ有限元模型平面问题的两种类型二、平面应变问题几何特点：无限长的柱形体或棱柱体受力特点：表面力垂直于纵轴线并不沿柱形体长度变化体积力垂直于纵轴线并不沿柱形体长度变化平面问题的两种类型二、平面应变问题应变特点：0=zε0==zyzxγγ()yxzσσμσ+=0==zyzxττ物理方程基本方程式基本方程式Tsysxsysxsqqqqq][}{=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=¾单元内任意点的体积力列阵{qV}TVyVxVyVxVqqqqq][}{=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=¾单元表面或边界上任意点的表面力列阵{qs}ijmxyijmxyqV·qs·ijmxy·uv¾单元内任意点的位移列阵{f}Tuf][}{ν=¾单元内任意点的应变列阵{ε}Txyyx][}{γεεε=ijmxy·{ε}¾单元内任意点的应力列阵{σ}Txyyx][}{τσσσ=ijmxy·{σ}平面问题的基本方程式1、几何方程（位移与应变关系式）⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=xvyuyvxuxyyxγεε伸长为正、直角变小为正⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=vuxyyxxyyx00γεεε平面问题的基本方程式2、物理方程（应力与应变关系式）()[]()[]()[]yxzzxzyyzyxxEEEσσμσεσσμσεσσμσε+−=+−=+−=111zxzxyzyzxyxyGGGτγτγτγ111===()μ+=12EG平面应力问题的物理方程[][]()xyxyxyxyyyxxEGEEτμτγμσσεμσσε+==−=−=121110=zσ0==zyzxττ()()()xyxyxyyyxxEEEγμτμεεμσμεεμσ+=+−=+−=121122xyEγμμ⋅−⋅−=2112平面问题的基本方程式平面应力问题的物理方程平面问题的基本方程式⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=xyyxxyyxEγεεμμμμτσσσ2100010112εσD=弹性矩阵DD平面应变问题的物理方程平面问题的基本方程式()yxzσσμσ+=()xyxyxyxyyyxxEEEEτμμμτμγσμμσμεσμμσμε2221112121111−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=()()()xyxyxyyyxxEEEτμγσμσεσμσε''12''1''1+=−=−=平面应变问题的物理方程平面问题的基本方程式εσ'D=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=21100011011111'22μμμμμμμμμED平衡方程式（应力与体积力关系）平衡方程式与边界条件⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂yxxyyxyyxxYyxXyxττσττσ00由内部微分体：**线弹性平面问题的平衡方程00bb=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂yyyxxxyxFyxFyxσττσxdydyxdσyxFxddbyxxxxd)d(∂∂+σσoAxxydτxyxyxy)ddy(∂∂+ττ边界条件（应力与表面力关系）平衡方程式与边界条件⎪⎭⎪⎬⎫+=+=θσθτθτθσsincossincosyxyyxxYX由边界微分体：变形连续体平衡的必要与充分条件是：对于任意微小的虚位移，外力所做的总虚功，等于变形体所接受的总虚变形功。虚功方程式外力虚功=虚变形功虚功方程式()()∫∫∫+++ACtdxdyYvXutdsvYuX****1()∫∫++Axyxyyyxxtdxdy***γτεσεσ状态1：实际状态状态2：虚拟状态虚功方程式()∫∫∑++=Δ=AxyxyyyxxniiitdxdyP***1*γτεσεσ{}PT*Δ{}∫∫ATtdxdyσε*=分析流程分析流程平面问题的有限单元法离散化单元分析整体分析整体分析的任务是保证结构从离散状态恢复原状所必需的。单元分析的任务就是要建立单元结点处力学参数之间的关系。离散化是指对连续结构进行剖分。平面问题的有限单元法离散化：将连续结构离散成若干个基本单元；单元形状可以是三角形、矩形或多边形；认为单元之间只在结点处相互连接；在位移为零处的结点设置链杆，并把这些链杆看成是结构的支座。三角形剖分利用调整三角形边长的大小，能够对任意形状的边界和曲线形状的边界作更精确的描述。平面问题的有限单元法注意事项：2、单元大小：根据精度要求及计算机的容量、速度来确定，不同的部分可以采用不同大小的网格。3、单元形状：三角形的三个边长不能相差太大，常采用等腰直角三角形或等边三角形。1、结点之间只传递位移，故结点为铰结点。平面问题的有限单元法任一三角形单元的顶点必须同时也是其相邻三角形单任一三角形单元的顶点必须同时也是其相邻三角形单元的顶点，而不能是其相邻三角形单元边的内点。元的顶点，而不能是其相邻三角形单元边的内点。使每个三角形单元的三个边长之间不要悬殊太大；否使每个三角形单元的三个边长之间不要悬殊太大；否则，在计算中会出现过大的误差。则，在计算中会出现过大的误差。应尽可能使网络具有某种规则形式，使每个内结点为应尽可能使网络具有某种规则形式，使每个内结点为六个三角形的共同顶点，并且六个内角大小不要相差太悬六个三角形的共同顶点，并且六个内角大小不要相差太悬殊。殊。平面问题的有限单元法单元分析：研究每个单元内力与变形参数的关系，导出结点力与结点位移的关系，即单元刚度矩阵。)()()(iiiuKS=平面问题的有限单元法整体分析：按连续条件和平衡条件拼装单元，得出整体刚度矩阵，建立结构刚度方程；考虑边界约束条件对整体刚度矩阵进行修正，求解方程组确定位移未知数。单元分析单元分析平面问题有限元法公式与推导单元分析结点位移⎥⎦⎤⎢⎣⎡=iiivuδ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=iiiVUF⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321FFFFeeδδδδ=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321e结点力K=物理方程平面问题有限元法公式与推导单元分析结点位移用插值方法求内部各点位移应变应力结点力位移函数几何方程平衡方程‹位移函数概念位移函数也称“位移模式”，是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐标的函数。一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响计算结果的精度。在弹性力学中，恰当选取位移函数不是一件容易的事情；但在有限元中，当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获得相当好的精确度。这正是有限单元法具有的重要优势之一。平面问题有限元法公式与推导单元位移函数结点位移内部各点位移插值函数插值函数一般采用多项式的形式nnxxxxu12321)(+++++=ααααL26524321),(yxyxyxyxuαααααα+++++=单元位移函数yxyxu321),(ααα++=yxyxv654),(ααα++=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=65432110000001),(),(),(ααααααδyxyxyxvyxuyx()[]αδyxfyx,),(=单元位移函数yxyxu321),(ααα++=⎪⎭⎪⎬⎫++=++=++=333213232212131211yxuyxuyxuαααααααααAA11=αAA22=αAA33=α单元位移函数Δ==2111332211yxyxyxA3322113332221111auauauyxuyxuyxuA++==23321yxyxa−=12331132yxyxa−=12213yxyxa−=单元位移函数3322111auauauA++=1233322112bububuA++=3322113cucucuA++=23321yxyxa−=321yyb−=231xxc−=单元位移函数()332211121uauaua++Δ=α()332211221ububub++Δ=α()332211321ucucuc++Δ=α单元位移函数eAδα=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡Δ=32132132132132132100000000000000000021cccbbbaaacccbbbaaaA单元位移函数eAδα=()[]αδyxfyx,),(=()[]eAyxfyxδδ,),(=()[]yxN,单元位移函数()[]()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=yxNyxNyxNyxNyxNyxNyxN,0,0,00,0,0,,321321()()ycxbayxN111121,++Δ=()()ycxbayxN222221,++Δ=()()ycxbayxN333321,++Δ=单元位移函数()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡332211321321,0,0,00,0,0,),(,vuvuvuyxNyxNyxNyxNyxNyxNyxvyxu()),(,1yxNyxu=()),(,1yxNyxv=N(x,y)为位移的形态函数当u1=1，其他结点位移皆为零时，当v1=1，其他结点位移皆为零时，单元位移函数¾Ni(xj,yj)=δij=¾在单元中任一点，各插值函数之和应为1N1+N2+N3=1¾插值函数为线性，单元内部位移由结点位移唯一确定，可保证相邻单元在公共边界上位移的连续性1i=j0i≠j单元位移函数单元位移函数的收敛性——当网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛于问题的正确解答。证明过程：教参4，P70单元分析物理方程结点位移用插值方法求内部各点位移应变应力结点力位移函数几何方程平衡方程单元应变函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=vuxyyxxyyx00γεεε()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡332211321321,0,0,00,0,0,),(,vuvuvuyxNyxNyxNyxNyxNyxNyxvyxu()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++Δ++Δ++Δ=332211332211332211332211212121vbvbvbucucucvcvcvcububub单元应变函数()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++Δ++Δ++Δ=332211332211332211332211212121vbvbvbucucucvcvcvcubububεexyyxbcbcbccccbbbδγεε⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡Δ=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡33221132132100000021eBδε=几何矩阵单元分析物理方程结点位移用插值方法求内部各点位移应变应力结点力位移函数几何方程平衡方程单元应力函数εσD=平面应力问题εσ'D=平面应变问题⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=2100010112μμμμED单元分析物理方程结点位移用插值方法求内部各点位移应变应力结点力位移函数几何方程平衡方程由应力求结点力由虚功方程代替平衡方程{}{}∫∫=tdxdyFTeeTσεδ**{}eB**δε=eBδε={}{}TeTTB**δε={}{}∫∫=tdxdyBFTeTeeTσδδ**∫∫=tdxdyBFTeσΔ=tBFTeσ∫∫=Δdxdy单元分析物理方程结点位移用插值方法求内部各点位移应变应力结点力位移函数几何方程平衡方程位移函数()eyxNyxδδ,),(=eBδε=应变函数应力函数εσD=虚功方程Δ=tBFTeσ结点位移求应力eeSDBDδδεσ===结点位移求结点力Δ=Δ=Δ=tDBBtDBtBFeTTTeδεσΔ=Δ=Δ=tD