概率与数理统计第一章4

§3条件概率一条件概率二乘法定理三全概率公式和贝叶斯公式目录索引§3条件概率退出前一页后一页目录一、条件概率§3条件概率设A、B是某随机试验中的两个事件，且0)(BP则称A在“B已发生”这一附加条件下的概率为在B发生的下A的条件概率，简称为在B之下A的条件概率，记为BAP1）条件概率的定义：退出前一页后一页目录将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反方面的情况,设事件A为“至少有一次为正面朝上”，事件B为“两次掷出同一面”，求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率例1(1):两台机器加工同一种零件共100个，结果如下合格品数次品数总计第一台机器加工数30535第二台机器加工数501565总计8020100§3条件概率设A={产品合格}B={第一台机器加工的产品}解：3530BAP,10080AP,10080AP,10030ABP.)|(,),(,BAPABPBPAP求：,10035BP退出前一页后一页目录练习：全年级有100名学生，男生有80名，女生20名；北京籍的有20名，其中有12名男生，8名女生；如果A=“北京籍的学生”；B=“男生”（1）试求出P（A）、P(B)、P（A/B）、P（B/A）、P（AB），并解释它们的含义。（2）P（A/B）和P（AB）、P（B）的关系如何？解:(1)P（A）=20/100,P(B)=80/100,P（A/B）=12/80P（B/A）=12/20,P（AB）=12/100.(2)P（A/B）=12/80=)()(BPABP注：可以看出，在“事件B已发生”这附加条件的事件A概率与不附加这个条件的概率是不同的．BPABPBAP但有称为在B已发生的条件下A的条件概率，简称为A在B之下的条件概率。0BP设A、B是某随机试验中的两个事件，且BPABPBAP则因此，有下面的定义：退出后一页2）条件概率的性质：0)1(BAPA，有非负性：对任意事件；规范性：1)2(BSP则两两互不相容，，，，，事件可列可加性：如果随机nAAA21)3(§3条件概率11nnnnBAPBAP退出前一页后一页目录退出前一页后一页目录一盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样，设事件A为“第一次取到的是一等品”，B为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P（B/A）例1.17某种动物出生后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。解设A表示事件“活到20岁以上”，B表示事件“活到25岁以上”，显然7.0)(AP56.0)(BP56.0)()(BPABP8.07.056.0)()()(APABPABP在计算条件概率时,一般有两种方法:(1)由条件概率的公式;(2)由P(B|A)的实际意义,按古典概型计算.二、乘法公式由条件概率的定义APABPABP我们得ABPAPABP这就是两个事件的乘法公式．§3条件概率1）两个事件的乘法公式：退出前一页后一页目录2）多个事件的乘法公式个随机事件，且为，，，设nAAAn210121nAAAP则有nAAAP21这就是n个事件的乘法公式．1AP12AAP213AAAP121nnAAAAP退出前一页后一页目录例：设袋中有r只红球，t只白球，每次自袋中任取一只球，观察颜色然后放回，并再放入a只与所取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球，且第三、四次取到白球的概率练习：袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止．求取了n次都未取出黑球的概率．次都未取出黑球取了设nBniiAi，，，次取出白球第21则nAAAB21由乘法公式，我们有退出前一页后一页目录nAAAPBP21121213121nnAAAAPAAAPAAPAP1433221nn11n退出前一页后一页目录例设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10。求透镜落下三次而未打破的概率。解：以Ai(i=1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”，以B表示事件“透镜落下三次而未打破”，有：)()(321AAAPBP)|()|()(213121AAAPAAPAP.2003)1091)(1071)(211(退出前一页后一页目录三、全概率公式和贝叶斯公式SA1A2An…...BA1BA2…...BAn=21nBABABAB;,,2,1,,,=njijiAAji.21SAAAn定义设S为试验E的样本空间，为E的一组事件。若满足(1)(2)则称为样本空间S的一个有限划分或完备的事件组nAAA,,21nAAA,,21§3条件概率退出前一页后一页目录1）全概率公式：设随机事件的是样本空间SAAAn,,,21两两互不相容；nAAA,,,121;21SAnkk;,,2,103nkAPk.1nkkkABPAPBP则有§3条件概率一个有限划分，即退出前一页后一页目录全概率公式的证明：由条件：nkkASB1得nkkBAB1而且由两两互不相容，nAAA,,,21也两两互不相容；得BABABAn,,,21A1A2An…...BA1BA2…...BAn=21nBABABABS§3条件概率退出前一页后一页目录全概率公式的证明（续）所以由概率的可加性，得nkkBAPBP1得得，再由条件nkAPk,,2,10kkkABPAPBAPnkkknkkABPAPBAPBP11§3条件概率退出前一页后一页目录例市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。)()|()()|()()|(332211APABPAPABPAPABP0225.02103.04101.04102.0)()()()(321BAPBAPBAPBP解设B：买到一件次品；A1：买到一件甲厂的产品；A2：买到一件乙厂的产品；A3：买到一件丙厂的产品。例某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率．解：标该小组在比赛中射中目设B4321，，级射手参加比赛选iiiA由全概率公式，有第一章概率论的基本概念41iiABPiAPBP32.020345.020964.020685.02025275.0退出前一页后一页目录例1.2.5市场上某种商品由三个厂同时供货,其供应量为:甲厂是乙厂的2倍,乙、丙两个厂相等,且各厂产品的次品率分别为2%,2%,4%,求市场上该种商品的次品率.(1)设Ai表示取到第i个工厂产品,i=1,2,3,B表示取到次品,由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04由全概率公式得:)A|B(P)A(P)B(Pi31ii即市场上该种商品的次品率为2.5%.解练习某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数01234概率0.10.20.40.20.1现进行抽样检验，从每批中随机抽取10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率。解设A表示事件“一批产品通过检验”，Bi(i=0,1,2,3,4)表示“一批产品含有i件次品”，则B0,B1,B2,B3,B4组成样本空间的一个划分，1)(,1.0)(00BAPBP900.0)(,2.0)(10100109911CCBAPBP809.0)(,4.0)(10100109822CCBAPBP727.0)(,2.0)(10100109733CCBAPBP652.0)(,1.0)(10100109644CCBAPBP)()()(40kkkBAPBPAP814.0652.01.0727.02.0809.04.0900.0.021.0贝叶斯（Bayes）公式)|(BkAP设随机事件的是样本空间SAAAn,,,21两两互不相容；nAAA,,,121;21SAnkk;,,2,103nkAPk一个有限划分，即nknjjABPjAPkABPkAP,,2,1,1)|()()|()(对以往数据分析结果表明,当机器调整得良好时,产品合格率为98%,而当机器发生故障时,其合格率为55%,每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为95%,试求已知某日早上第一件产品合格时,机器调整得良好的概率是多少?发报台分别以概率0.7及0.3发出信号“.”和“---”；由于干扰，当发报台发出“.”信号时，收报台分别以0.89及0.11的概率收到“.”和“---”；而当发报台发出“---”时，收报台分别以0.92及0.08的概率收到“---”和“.”；求（1）当收报台收到“.”信号时，发报台的确发出“.”的概率。(2)当收报台收到“---”信号时，发报台的确发出“---”的概率。练习每箱产品有10件,其中次品数从0到2是等可能的.开箱检验时,从中依次抽取两件(不重复),如果发现有次品,则拒收该箱产品.试计算:(1)一箱产品通过验收的概率;(2)已知该箱产品通过验收,则该箱产品中有2个次品的概率..);2,1,0(该箱产品通过验收件次品箱中有设BiiAi);2,1,0(31)(,);(20iAPAjiAAiiiji且则.)|(;)|(;1)|(2102822102910CCABPCCABPABP(1)P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)257.0807.031)()|()()|()2(21028222CCBPABPAPBAP