《矩形的性质》(精品)PPT课件

18.2特殊的平行四边形18.2.1矩形第一课时第二课时人教版数学八年级下册矩形的性质第一课时返回CBADCBADCBAD在推动平行四边形的变化过程中，你有没有发现一种熟悉的、更特殊的图形？我们都知道三角形具有稳定性，平行四边形是否也具有稳定性？导入新知1.理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系.2.探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.素养目标3.探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个定理.一个角是直角两组对边分别平行平行四边形矩形我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说也有特殊情况即特殊的平行四边形，这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形——矩形探究新知知识点1矩形的定义【思考】从图形上看,矩形是平行四边形吗?若是它们之间有何关系呢?探究新知有一个角是直角的平行四边形是矩形.矩形的定义：平行四边形矩形有一个角是直角矩形是特殊的平行四边形探究新知具备平行四边形所有的性质.ABCDO角边对角线对边平行且相等对角相等，邻角互补对角线互相平分矩形的一般性质：知识点2矩形的性质探究新知矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？ABCD探究新知做一做：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.（1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.探究新知ABCDOABADACBD∠BAD∠ADC∠ABC∠BCD橡皮擦课本桌子物体测量（实物）（形象图）（2）根据测量的结果,你有什么猜想？猜想1矩形的四个角都是直角.猜想2矩形的对角线相等.探究新知你能证明吗？求证：矩形的四个角都是直角．已知：如图，四边形ABCD是矩形求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°ABCD证明：∵四边形ABCD是矩形∴∠A=90°又矩形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C∠B=∠D∠A+∠B=180°∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°即矩形的四个角都是直角.探究新知已知：如图,四边形ABCD是矩形求证：AC=BDABCD证明：在矩形ABCD中∵∠ABC=∠DCB=90°又∵AB=DC，BC=CB∴△ABC≌△DCB(SAS)∴AC=BD即矩形的对角线相等.求证:矩形的对角线相等探究新知矩形特殊的性质:矩形的四个角都是直角．矩形的两条对角线相等．从角上看：从对角线上看：探究新知矩形的两条对角线互相平分矩形的两组对边分别相等矩形的两组对边分别平行矩形的四个角都是直角矩形的两条对角线相等边对角线角数学语言：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，CD∥AB∴AD=BC，CD=AB∴AC=BDABCDO∴AO=CO，OD=OB探究新知矩形的性质∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°例1如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4,求矩形对角线的长.解：∵四边形ABCD是矩形.∴AC=BD，OA=OC=AC,OB=OD=BD,∴OA=OB.又∵∠AOB=60°,∴OA=AB=4，∴AC=BD=2OA=8.ABCDO探究新知素养考点1利用矩形的性质求线段的长矩形的对角线相等且互相平分∴△OAB是等边三角形，1.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________.14巩固练习例2将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，再折叠使AD与对角线BD重合，得折痕DG，若AB=8，BC=6，求AG的长.GDCBAA′2222=10==68BDBCAB解:矩形纸片ABCD中，∠DAB=90°，AD=BC,AB=CD，又∵△ADG沿DG折叠得到△A′DG∴△ADG≌△A′DG方法点拨：在矩形中，常遇到折叠问题，利用勾股定理列方程是解决问题的基本方法。∴x2+42=(8-x)2解得：x=3.设AG=x，则BG=AB-AG=8-x，在Rt△GA′B中，由勾股定理得：A′B2+A′G2=BG2∴AD=A′D,AG=A′G，A′B=AB-A′D=10-6=4，探究新知素养考点2利用矩形的性质解答折叠问题2.如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，又由折叠知∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即DE＝5.∴S△BED＝DE·AB＝×5×4＝10.巩固练习∴∠2＝∠3.【思考】矩形ABCD是轴对称图形吗？它的对称轴有几条？矩形是中心对称图形吗？对称中心是什么？ABCDEFGH.O知识点3探究新知矩形的对称性及相关性质矩形的性质：对称性：.对称轴：.轴对称图形2条矩形的性质：中心对称：.对称中心：.中心对称图形对角线的交点边角对角线对称性平行四边形矩形对边平行且相等对角相等邻角互补对角线互相平分中心对称图形对边平行且相等四个角为直角对角线互相平分且相等中心对称图形轴对称图形O这是矩形所特有的性质探究新知ABCDO两对全等的等腰三角形.你在矩形中还发现了哪些基本图形？探究新知ABCDO四个全等的直角三角形.探究新知ABCDO如图，一张矩形纸片，沿着对角线剪去一半，你能得到什么结论？BCOARt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？一般地，这个结论对所有直角三角形都成立吗？知识点4直角三角形的性质探究新知猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.OCBAD证明:延长BO至D,使OD=BO,连接AD、DC.∵AO=OC,BO=OD，∴四边形ABCD是平行四边形.∵∠ABC=90°,∴平行四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证:BO=AC.12∴BO=BD=AC.1212直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.探究新知例3如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；12121212探究新知素养考点1利用直角三角形的性质解答题目(2)求证：EF垂直平分AD.证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E、F在线段AD的垂直平分线上，∴EF垂直平分AD.探究新知提示：当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．3.三位学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个直角三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处．三个人的位置对每个人公平吗？请说明理由．ABCO巩固练习答：公平.因为直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.1.（2018•株洲）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为_____．巩固练习连接中考2.52.（2019•福建）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．巩固练习连接中考证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF＝CE．AD＝BC，∠D＝∠B，DF＝BE，在△ADF和△CBE中，1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（）A．AB∥DCB．AC=BDC．AC⊥BDD．OA=OBABCDOC课堂检测基础巩固题2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为()A.13B.6C.6.5D.不能确定C3.如图，在△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3cm,则AC=_____cm;(2)若∠C=30°,AB=5cm,则AC=_____cm,BD=_____cm.ABCD6105课堂检测基础巩固题4.如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F.求证：DF=DC.ABCDEF证明：连接DE.∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°.∴∠ADE=∠DEC,∴∠DEC=∠AED.又∵DF⊥AE,∴∠DFE=∠C=90°.又∵DE=DE,∴△DFE≌△DCE,∴DF=DC.课堂检测基础巩固题如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AO＝AC，BO＝BD，AC＝BD，∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.∵AE⊥BD，∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.课堂检测能力提升题∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.解：连接EG，DG.∵BD，CE是△ABC的高，∴∠BDC＝∠BEC＝90°.∵点G是BC的中点，∴EG＝BC，DG＝BC.∴EG＝DG.又∵点F是DE的中点，1212课堂检测拓广探索题∴GF⊥DE.矩形的相关概念及性质具有平行四边形的一切性质四个内角都是直角，对角线相等既是轴对称图形也是中心对称图形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半有一个角是直角的平行四边形叫做矩形课堂小结定义性质矩形的判定第二课时返回一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟，一天，师傅有事外出，两徒弟就自已在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门，做完之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已的是矩形.你能想一个办法确定谁做的门是矩形吗？导入新知2.能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题.1.理解并掌握矩形的判定方法.素养目标小明利用周末的时间，为自己做了一个相框．问题1:请你利用直尺和三角板帮他检验一下，相框是矩形吗？除了矩形的定义外，有没有其他判定矩形的方法呢？知识点1矩形的判定定理1探究新知类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.矩形是特殊的平行四边形.证明逆命题（修正）问题2:你还记得学习平行四边形的判定时，我们是如何猜想并进行证明的吗？性质猜想判定定理探究新知同样，小明通过研究矩形性质的逆命题，得到判定矩形的方法呢？小明的猜想:对角线相等的四边形是矩形．问题3上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？【讨论】你能证明这一猜想吗？探究新知我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.不对，等腰梯形的对角线也相等.不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.已知：平行四边形ABCD中，AC=BD.求证：四边形ABCD是矩形.ABCD证明:∴AB=DC∴△ABC≌△DCB（SSS）∵AB//CD∴∠ABC+∠DCB=180°∴∠ABC=∠DCB=90°又∵四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是矩形.∴∠ABC=∠DCB∵四边形ABCD是平行四边形又∵AC=DB，BC=CB探究新知对角线相等的平行四边形是矩形.矩形的判定定理1：几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形且AC=BD∴四边形ABCD是矩形.（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）ABCDO（或OA=OC=OB=OD）探究新知例1如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．ABCDO解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD.又∵OA=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形