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三元一次方程组的解法例题与讲解1.三元一次方程及三元一次方程组(1)三元一次方程:含有三个未知数,并且含未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程.(2)三元一次方程组:①定义:含有三个相同的未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫三元一次方程组.如:x+y=1,y+z=3,x-2z=5,x+3y+2z=2,3x+2y-4z=3,2x-y=7等都是三元一次方程组.②拓展理解:a.构成三元一次方程组中的每一个方程都必须是一次方程;b.三元一次方程组中的每个方程不一定都含有三个未知数,但方程组中一定要有三个未知数.【例1】下列方程组中是三元一次方程组的是().A.x2-y=1,y+z=0,xz=2B.1x+y=1,1y+z=2,1z+x=6C.a+b+c+d=1,a-c=2,b-d=3D.m+n=18,n+t=12,t+m=0解析:A,B选项中有的方程不是三元一次方程,C中含有四个未知数,只有D符合三元一次概念内涵,故选D.答案:D2.三元一次方程组的解(1)三元一次方程的解:使三元一次方程左右两边相等的三个未知数的值,叫做三元一次方程的解.和二元一次方程一样,一个三元一次方程也有无数个解.(2)三元一次方程组的解:组成三元一次方程组的三个方程的公共解,叫做三元一次方程组的解.它也是三个数.(3)检验方法:同二元一次方程和二元一次方程组的检验方法一样,代入检验,左、右两边相等即是方程的解.释疑点检验三元一次方程组的解三元一次方程组的解是三个数,将这三个数代入每一个方程检验,只有这些数满足方程组中的每一个方程,这些数才是这个方程组的解.【例2】判断x=2,y=-3,z=-3是不是方程组x+y-2z=5,2x-y+z=4,2x+y-3z=10的解.答:__________(填是或不是).解析:把x=2,y=-3,z=-3代入方程组的三个方程中检验,能使三个方程的左右两边都相等,所以是方程组的解.答案:是3.三元一次方程组的解法(1)解法思想:解三元一次方程组的基本思路是消元,其方法有代入消元法和加减消元法两种,通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程.(2)步骤:①观察方程组中每个方程的特点,确定消去的未知数;②利用加减消元法或代入消元法,消去一个未知数,得到二元一次方程组;③解二元一次方程组,求出两个未知数的值;④将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程,求出第三个未知数的值;⑤写出三元一次方程组的解.(3)注意点:①三元一次方程组的解法多种多样,只要逐步消元,解出每一个未知数即可;②解三元一次方程组时,每一个方程都至少要用到一次,否则解出的结果也不正确.【例3】解方程组x+3y+2z=2,3x+2y-4z=3,2x-y=7.①②③分析:观察方程组中每个方程的特征可知,方程③不含有字母z,而①,②中的未知数z的系数成倍数关系,故可用加减消元法消去字母z,然后将所得的方程与③组合成二元一次方程组,求这个方程组的解,即可得到原方程组的解.解:①×2+②,得5x+8y=7,④解③,④组成的方程组2x-y=7,5x+8y=7.解这个方程组,得x=3,y=-1.把x=3,y=-1代入①,得z=1,所以原方程组的解为x=3,y=-1,z=1.4.运用三元一次方程组解实际问题(1)方法步骤:①审题:弄清题意及题目中的数量关系;②设:设三个未知数;③列:找出实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的数量关系,用式子表示,列出三个方程,组成三元一次方程组;④解:解这个方程组,并检验解是否符合实际;⑤答:回答说明实际问题的答案.析规律列三元一次方程组同二元一次方程组的实际应用相类似,运用三元一次方程组解决实际问题要设三个未知数,寻找三个等量关系,列出三个一次方程,组成三元一次方程组.【例4】某个三位数是它各位数字和的27倍,已知百位数字与个位数字之和比十位数字大1,再把这个三位数的百位数字与个位数字交换位置,得到一个新的三位数,新三位数比原三位数大99,求原来的三位数.解:设百位数字为a、十位数字为b,个位数字为c,则这个三位数为100a+10b+c,由题意,得a+c=b+1,a+b+c=100a+10b+c,100a+10b+c+99=100c+10b+a.化简,得a-b+c=1,-73a+17b+26c=0,a-c=-1.解这个方程组,得a=2,b=4,c=3.答:原来的三位数是243.
本文标题:《三元一次方程组的解法》例题与讲解
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