3.2复数的四则运算

3.2复数的四则运算我们规定，复数的加法法则如下：很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数.设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.即:两个复数相加就是实部与实部,虚部与虚部分别相加.1.复数的加法复数的加法满足交换律、结合律xOyZ1(a,b)ZZ2(c,d)12121212OZOZa+bi,c+diOZ=(a,b),OZ=(c,d)OZ=OZ+OZOZ+OZ=(..a+c,b+d)设分别与复数，则由平面向量的坐，应标运对算，得如图所示：12OZOZ(a+c)+(b+d)i.这说明两个向量和的和就是复数对应的向量(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.2.复数的减法复数的减法就是加法的逆运算.复数的减法法则:实部与实部,虚部与虚部分别相减.由此可见，两个复数的差是一个确定的复数.OyxZ1(a,b)Z2(c,d)ZOZ1-OZ212121212OZOZa+bi,c+diOZ=(a,b),OZ=(c,d)OZ=OZ-OZOZ-OZ=(a-c,b-d)..设分别与复数对应，则由平面向量的，坐标运算，得12OZOZ(a-c)+(b-d)i.这说明两个向量和的差就是复数对应的向量例题1动动手计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i注意复数的加、减法形式上与多项式的加、减法是类似的.例题2计算i+2i2+3i3+…+2004i2004提示i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i,=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…(2001i-2002-2003i+2004)=501(2-2i)=1002-1002i解：原式1、设O是原点，向量对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量对应的复数是()A.-5+5i，B.-5-5i，C.5+5i，D.5-5i.OA,OBBAD选择2、设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1+z2在复平面内对应的点位于()A.第一象限，B.第二象限，C.第三象限，D.第四象限.D我们规定，复数的乘法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么它们的积2a+bic+di=ac+bci+adi+bdi=(ac-bd)+(ad+bc)i2i=-13.复数的乘法复数的乘法与多项式的乘法是类似的,只要把结果中i2换成-1，把实部与虚部分别合并即可。例题1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：原式=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.例题22(1)(3+4i)(3-4i);(2)(1+i).计算本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式计算.实数系中的乘法公式在复数系中也是成立的.提示（）解：平方差公式(完全平方公式)2222(1)(3+4i)(3-4i)2=3-(4i)=9-(-16)=25.=1+2i+i=1+2i-1=2i.(1+i)()我们用乘法公式来进行计算.共轭复数我们把这两个复数3+4i,3-4i称为共轭复数.注意本例(1)3+4i与3-4i两复数的特点.一般地，当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.若Z1,Z2,是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？（）（2）Z1Z2是一个怎样的数？()复数z=a+bi的共轭复数记作z,z=a-bi即动动脑关于X轴对称实数共轭复数=--2222(a+bi)(c+di)a+bi=c+di(a+bi)()=(c+di)()ac+bdbc-ad+ic+dc+dcdiicd除法法则：3.复数的除法先把两个复数相除写成分数形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最后再化简.例题3(1+2i)(3-4i).计算提示用上面的方法把分母“实数化”.221+2i(1+2i)(3-4i)=3-4i(1+2i)(34i)3-8+6i+4i==(3-4i)(34i)3+4-5+10i12==-+i.5+255+解：（2007年广东卷）若复数（1+bi）(2+i)是纯虚数（i是虚数单位，b为实数），则b=()11A.-2B.-C.D.222解析：（1+bi）(2+i)=（2-b）+(2b+1)i，故2-b=0，D随堂练习D设，则等于11.z=3+i()z3131A.3+iB.3-iC.i+D.+i10101010答案：B.2007Iaa1+i+a=()1+i2（年全国卷）设是实数，且是，则13A．  B．1实C． D．222数