2.实数培优专项训练

妥善保管，反复演练------数学是思维的体操第二章：实数知识过关与难点突破（一）基础知识过关【无理数】1.定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。2.常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.01001000100001…（两个1之间依次多1个0）等。（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-是无理数（4）无理数乘或除以一个不为0的有理数结果是无理数。如2，210（5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：）3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75、④π、⑤252.、⑥32、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-,4,32其中无理数有()个【算术平方根】：1.定义：如果一个正数x的平方等于a，即ax2，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“a”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。例如32=9，那么9的算术平方根是3，即39。特别规地，0的算术平方根是0，即00，负数没有算术平方根2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a有意义，则被开方数a是非负数（易忽略的考点）（2）算术平方根本身是非负数。3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a（认真理解这段话，严格区别这两个概念，否则会经常出错）例：（1）下列说法正确的是（）A．1的立方根是1；B．24；（C）、81的平方根是3；（D）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（）A、981B、14.314.3C、3927D、235（3）2)3(的算术平方根是。（4）若xx有意义，则1x___________。妥善保管，反复演练------数学是思维的体操（5）已知△ABC的三边分别是,,,cba且ba,满足0)4(32ba，求c的取值范围。（6）（提高题）如果x、y分别是4－3的整数部分和小数部分。求x－y的值.平方根：1.定义：如果一个数x的平方等于a，即ax2，那么这个数x就叫做a的平方根；，我们称x是a的平方（也叫二次方根），记做：)0(aax2.性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，它是0本身；（3）负数没有平方根例（1）若x的平方根是±2，则x=；16的平方根是（2）当x时，x23－有意义。（3）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？3.的性质与22)0()(aaa（这两个公式是难点，也是易忽略点）（1）77)0()22）如：（aaa（2）||2aa中，a可以取任意实数。如5|5|52，3|3-|3-2）（例：1.求下列各式的值（1）27（2）27-）（（3）249-）（2.已知1)12aa（，那么a的取值范围是。3.已知2＜x＜3,化简|3|)-22xx（。【立方根】1.定义：一般地，如果以个数x的立方等于a，即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）记为3a，读作，3次根号a。如23=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。（同号性、唯一性）立方根是它本身的数有0,1，-1.3.根据立方根的同号性和唯一性，容易证明：aa33，aa33）（，33--aa例：（1）64的立方根是（2）若9.28,89.233aba，则b等于（3）下列说法中：①3都是27的立方根，②yy33，③64的立方根是2，④4832。其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个妥善保管，反复演练------数学是思维的体操【估算】1.用估算法确定无理数的大小：对于带根号的无理数的近似值得确定，可以通过平方运算或立方运算并采用“夹逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼来完成。首先确定其整数部分的范围，再确定十分位，百分位等小数部分。注意，估算得到的数是无理数一定精确度的近似值！2.“精确到”与“误差小于”的区别：精确到1m，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1m，答案在其值左右1m内都符合题意，答案不唯一。通常考察精确到十分位或整数位的情况。3.无理数的小数部分：先估算出整数部分，再用该数减去它的整数部分，得到的差就是小数部分。注意，这样的得到的小数部分是非常精确的，不是估算值。如2-6的小数部分是6。4.熟记20以内的数的平方和10以内的数的立方，有利于快速进行开方计算，对估算也有帮助。例：估算下列各数的大小（1））1.0（误差小于37（2））1.0（精确到37（3））1（精确到33453用估算的方法比较数的大小用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，且在比较大小时，一般先采用分析法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：（1）若a＞b≥0,则ba（2）若a＞b，则3333baba或（3）若a、b都为正数，且a＞b时，则a2＞b2例：通过估算比较下列各组数的大小比较两个数的大小：方法一：估算法。如3＜10＜4方法二：作差法：若a-b＞0则a＞b方法三：乘方法（对于二次根式来说就是平方法）如比较3362与的大小。例：比较下列两数的大小（1）2123-10与（2）5325与妥善保管，反复演练------数学是思维的体操【实数】定义：（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。（2）实数也可以分为正实数、0负实数。实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是a1（a≠0）；实数a的绝对值|a|=)0()0(aaaa，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。（2）数轴上的每个点都表示已个实数。例：（1）下列说法正确的是（）；A、任何有理数均可用分数形式表示；B、数轴上的点与有理数一一对应；C、1和2之间的无理数只有2；D、不带根号的数都是有理数。（2）a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是()A、baB、abC、baD、ab（3）比较大小(填“”或“”).310，3320，76______67，21521，（4）数7,2,3的大小关系是()A.732B.372C.273D.327（5）将下列各数：51,3,8,23，用“＜”连接起来；______________________________________（6）若2,3ba，且0ab，则：ba=a0b妥善保管，反复演练------数学是思维的体操【二次根式】定义：形如）（0aa的式子叫做二次根式，a叫做被开方数注意：（1）从形式上看二次根式必须有二次根号“”，如9是二次根式，而9=3,3显然就不是二次根式。（2）被开方数a可以是数，也可以是代数式。若a是数，则这个数必须是非负数；若a是代数式，则这个代数式的取值必须是非负数，否则没有意义。例：下列根式是否为二次根式（1）3-（2）｜｜3-（3）a-（4）32二次根式的性质：性质1：)0,0(.babaab积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积性质2：)0,0.(ababba商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。最简二次根式：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。二次根式化简的主要依据就是上述两条性质。分母有理化：最简二次根式还要求分母不含根式，那么就要使用以下两个公式进行分母有理化：22))()(2(）0a（a)1(bababaaa二次根式的乘除：上述两条性质逆用，就是二次根式的乘除运算。所以，学好二次根式的关键就是熟练运用上述两个公式。不仅要正用公式，还要会逆用公式，总之要活学活用。二次根式的加减：先将二次根式化简为最简二次根式，然后将同类二次根式合并。注意非同类二次根式，不能进行加减运算，应作为最后的结果保留下来。二次根式的混合运算：注意利用加法、乘法的运算律，以及平方差公式、完全平方公式等各种公式与运算技巧进行简便计算。例：1.化简：（1）1512（2）)0(2724bba（3）x94妥善保管，反复演练------数学是思维的体操2.计算：32278115.041323811613125.03.已知：064.01,121732yx，求代数式3245102yyxx的值。基础训练1．判断题：（1）如果a为实数，那么－a一定是负数（）（2）有理数按定义分为整数和分数，按正负性分为正有理数、负有理数、零。但从小数的角度来看，有理数分为有限小数和无无限循环小数。所以整数是有限小数，分数是无限循环小数（）（3）两个无理数之和或者乘积都不一定是无理数（）（4）-3是9的平方根（）（5）9的平方根是3（）（6）无理数是无限小数（）（7）如果a0b那么|b|-|a|=b-a（）（8）若|a|=2,|b|=3且ab0，则a－b=－1（）2.在实数中Л,－25,0,3,－3．14,4无理数有个3.9算术平方根、平方根、立方根依次是4．已知1x2，则|x－3|+(1-x)2=5．已知y=2x+2x+5，则xy的值是妥善保管，反复演练------数学是思维的体操6．若3x+3x有意义，则2x=_______7．根式的计算：（1）2525（2）223535（3）2223·23（4）381122274=（5）201720161…321211=8.（1）已知：320.125x，则x=（2）已知：281250x，则x=9．当a为实数时，a2=－a在数轴上对应的点在（）A、原点右侧B、原点左侧C、原点或原点的右侧D、原点或原点左侧10.数轴上作出表示2，3，－5的点。11．若3，ｍ，5为三角形三边，化简：（2－ｍ）2－（ｍ－8）212．已知等腰三角形一边长为ａ，一边长ｂ，且（2ａ－ｂ）2＋｜9－ａ2｜＝0。求它的面积。妥善保管，反复演练------数学是思维的体操（二）难点突破专项突破一：算术平方根的双重非负性1．（1）内非负性：对于a来说，被开方数a必须是非负数，即0a，否则没有意义（负数没有算术方根），被开方数是非负数，这个性质常常考察二次根式有意义的问题：（2）外非负性：对于a来说，根据算术平方根定义可知，其本身也是非负数，即0a，算术平方根是非负数，这个性质常常考察多个非负数的和为零的问题：大多数同学总是区别不了双重