向量证明三线共点与三点共线问题

彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用专页第1页共2页搜资源上网站用向量证明三线共点与三点共线问题山东徐鹏三线共点、三点共线是几何中经常遇到的问题，直接证明往往很困难，用向量法解决则简捷得多．证明A、B、C三点共线，只要证明AB与AC共线即可，即证明ACAB．证明三线共点一般须证两线交点在第三条直线上．例1．证明：若向量OA、OB、OC的终点A、B、C共线，则存在实数、，且1，使得OBOAOC；反之，也成立．证明：如图1，若OA、OB、OC的终点A、B、C共线，则AB//BC,故存在实数m,使得ABmBC，又OBOCBC，OAOBAB，故)(OAOBmOBOC，OBmOAmOC)1(．令,1,mm则存在,1,,且使得OBOAOC．若OBOAOC，其中,1则1，OBOAOC)1(．从而有OC－OB＝(OA－OB)，即BABC．又因为BABC和有公共点B,所以A、B、C三点共线，即向量OA、OB、OC的终点A、B、C共线.例2．证明：三角形的三条中线交于一点．证明：如图2，D、E、F分别是ABC三边上的中AOBC图1彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用专页第2页共2页搜资源上网站点．设BEBGADAGGBEADbCBaCA,,,．设．则)21()21()()(baabCABCabBEabBGABAGba)1(1(21），又babaCDACADAG21)21()(3232121121解得所以则babaaADaAGCACG3131)21(3232baCF2121，所以CFCG32，所以G在中线CF上，所以三角形三条中线交于一点．ABCEDF图２G