大学重高数积分(吐血推荐)

《高等数学》下册教案第九章重积分1第九章重积分§1、二重积分的概念一．重积分的概念1．引例与定义⑴曲顶柱体的体积问题设函数(,)zfxy，当(,)xyD时，(,)0fxy，且(,)fxy在D上连续。由曲面(,)zfxy、xoy平面的区域D、母线平行于z轴的柱面所围成的空间区域称为曲顶柱体，或称为以曲面(,)zfxy为顶，以平面区域D为底，母线平行于z轴的曲顶柱体。已知：平顶柱体的体积=底面积ⅹ高①分割：用平面曲线网将区域D分割为1，2，...，i，...，n相应地将曲顶柱体分割为n个小的曲顶柱体：1V，2V，...，iV，...，nV其中iV表示第i个小曲顶柱体、也表示该柱体的体积，则：1niiVV；②求V的近似值：(,)iii，(,)iiiiVf（1,2,,in）；故1niiVV1(,)niiiif③求V的精确值：记max{所有i的直径}，则，01lim(,)niiiiVf；⑵平面薄板的质量问题设平面薄板占有xoy平面上的区域D，密度函数为(,)xy，当(,)xyD时，(,)0xy且在D上连续。同理可得，质量计算公式：01lim(,)niiiim；定义1、设函数(,)fxy是有界闭域D上的有界函数。将D任意分割成n个小的区域：1、2、...、n，（i既表示第i个小区域也表示小区域的面积）；任取(,)iii，1,2,in，作和：1(,)niiiif；记max{i的直径}，若极限(,)zfxyi(,)ii(,)iiizfi(,)ii《高等数学》下册教案第九章重积分201lim(,)niiiif存在，称极限值为函数(,)fxy在区域D上的二重积分，记作：01lim(,)niiiif(,)Dfxyd其中(,)fxy~~被积函数，D~~积分区域，d~~面积微元，,xy~~积分变量，(,)fxyd~~被积表达式，1(,)niiiif积分和。注：①d相应于积分和中的i，故0d；②如果已知二重积分(,)Dfxyd存在，特别：⑴用直角坐标系中的直线网即平行于坐标轴的直线网分割区域D，除去边沿部分外，有iiixy，则(,)Dfxyd01lim(,)niiiif0lim(,)iiif沿0lim(,)iiif中0lim(,)iiiifxy中(,)Dfxydxdy即：(,)Dfxyd(,)Dfxydxdy~~~~在直角坐标系下的二重积分⑵用极坐标系中的曲线网即以坐标原点为中心的圆弧、从坐标原点发出的半射线分割区域D，除去边沿部分外，有iiiirr，则利用直角坐标与极坐标的关系cosiiir，siniiir，(,)Dfxyd01lim(,)niiiif0lim(,)iiif沿0lim(,)iiif中0lim(cos,sin)iiiiiiifrrrr中(cos,sin)Dfrrrdrd~~~极坐标系下的二重积分2．二重积分的几何意义⑴当(,)0fxy(,)Dfxyd的几何意义表示以区域D为底，以曲面(,)zfxy为顶，母线平行于z轴的曲顶柱体体积（位于xoy上方）；⑵若(,)1fxy，(,)DDfxydd积分值等于区域D的面积。iiixy(,)iiiiiirr《高等数学》下册教案第九章重积分3注：①0),(yxf时，(,)Dfxyd的几何意义表示以区域D为底，以曲面(,)zfxy为顶，母线平行于z轴的曲顶柱体的体积；②若积分区域D关于x轴对称，0D是位于x轴上侧的一半区域，则Ddyxf),(0),(20Ddyxf),(),(),(),(yxfyxfyxfyxf③设积分区域D关于y轴对称，0D是位于y轴右侧的一半区域，则Ddyxf),(0),(20Ddyxf),(),(),(),(yxfyxfyxfyxf问题：考虑如果积分区域关于坐标原点对称或关于直线xy对称时，被积函数),(yxf满足什么条件积分具有类似上面的性质？？？例1．根据二重积分的几何意义，指出下列积分值，其中2221:DxyR，2:1,0,0Dxyxy；1222DRxyd，1Dd，2(1)Dxyd。解：DdD的面积2R222DRxyd上半球体体积323R2(1)Dxyd四面体的体积16例2．指出下列积分值，Ddyx)2(22，其中D：422yx。解：被积函数0222yxz，Dyx),(，根据二重积分的几何意义，积分值等于以曲面222yxz为顶，以D：422yx为底的曲顶柱体的体积，即等于底半径为2，高为2Ddyx)2(22382)2(312例3．指出下列积分值，其中其中D：10||||yxDdyxx22Ddxyx)sin3(2解：022DdyxxDdxyx)sin3(2DDxydxdsin322)210(3600xyz1010《高等数学》下册教案第九章重积分4二．二重积分的性质可以证明，连续的函数一定可积，以下总假设重积分存在。性质1、(,)(,)DDkfxydkfxyd，k为非零常数；性质2、{(,)(,)}Dfxygxyd(,)(,)DDfxydgxyd；性质3、若12DDD，且12DD（除边沿部分外），则12(,)(,)(,)DDDfxydfxydfxyd性质4、若(,)(,)fxygxy，(,)xyD，则：(,)(,)DDfxydgxyd；表明，当积分区域相同时，被积函数越大，则积分值越大，可以依据此性质比较两个积分值的大小。特例：⑴若(,)0fxy，Dyx),(，则(,)0Dfxyd；⑵|(,)||(,)|DDfxydfxyd其中⑵几何意义在于：左端~体积的代数和，右端~体积。性质5、（估值定理）若(,)mfxyM，(,)xyD，则(,)DmfxydM（是D的面积）注：利用此性质可以估计积分值的范围。性质6、（中值定理）若(,)fxy在有界闭区域D上连续，则存在(,)D，使得：(,)(,)Dfxydf（是D的面积）因为(,)fxy在有界闭区域D上连续，则在D上可以取得最大、最小值M与m，即(,)mfxyM，(,)xyD；根据性质4，(,)DDDmdfxydMd即(,)DmfxydM，或1(,)DmfxydM，由闭区域上连续函数的性质，存在(,)D，使得1(,)(,)Dffxyd，即：(,)(,)Dfxydf。例4．比较积分()Dxyd与3()Dxyd的大小，D由22(2)(1)2xy围成的圆域。解：当(,)xyD时，总有1xy，故3()xyxy，3()()DDxydxyd。《高等数学》下册教案第九章重积分5例5．试估计二重积分值(1)Dxyd，其中D是矩形区域：01x，02y。解：(,)1fxyxy，则当(,)xyD时，0011m，2114M，故：1(,)4fxy；且212，则2(1)8DmxydM（例4图）（例5图）121221《高等数学》下册教案第九章重积分6§2、二重积分的计算一．在直角坐标系下1．平面上的简单区域及其不等式表示：X型与Y型X型：Y型：XD：12()()axbxyxYD：12()()cydyxy例1．将下列平面区域用不等式表示解：⑴XD，YD：cydaxb；⑵XD：220RxRyRx；YD：22220yRRyyRy；⑶XD：2010xyx及1202xyx；YD：012yyxy。2．在直角坐标系下二重积分的计算例1．计算曲顶柱体的体积V(,)Dfxyd，0),(yxf。解：设曲顶柱体的底为xoy平面上的区域D，顶为曲面(,)0zfxy；设区域D为X型区域且D：12()()axbxyx；0[,]xab，过0x点作垂直于x轴的平面，平面与曲顶柱体有一截面，设截面面积为0()Ax，则0()Ax为：2010()00()()(,)xxAxfxydy；由0[,]xab的任意性，有[,]xab，截面面积为：()Ax21()()(,)xxfxydy；()Axxyzab1()yx2()yx()Axyz1()x2()x2()yx1()yxba2()xy1()xycdDO122yx2xyDabcdDRR22yRx《高等数学》下册教案第九章重积分7根据平行截面面积已知立体体积的计算公式，曲顶柱体的体积为V()baAxdx21()()[(,)]bxaxfxydydx从而，(,)Dfxyd21()()[(,)]bxaxVfxydydx~~~二次积分（累次积分）注：①对于一般的二重积分(,)Dfxyd，若其积分区域D为X型区域，即D：12()()axbxyx，则也有：(,)Dfxyd21()()[(,)]bxaxfxydydx；为了书写方便，二次积分常写为：(,)Dfxyd21()()[(,)]bxaxfxydydx21()()(,)bxaxdxfxydy②同理，若积分区域D为Y型区域，即D：12()()cydyxx，则有：(,)Dfxyd21()()[(,)]dycyfxydxdy21()()(,)dycydyfxydx③如果积分区域不是简单区域，则应当适当划分为简单区域再逐个积分。例2．计算二重积分Dxyd，其中积分区域D为矩形：axbcyd。解：根据上面的讨论，视D为X型区域，D：axbcyd，则Dxyddcbaxydydx221()2badcxdx22221()()4badcbdacxdxydy特例：若积分区域D为矩形区域D：axbcyd，被积函数恰好可以写为12(,)()()fxyfxfy，则12()()Dfxfyd12()()bdacfxdxfydy。例3．计算积分23Dxyd，其中D由曲线21xy与1xy围成。解：⑴视D为Y型域，则D：21211yyxy；23Dxyd2212113yydyxydx2212113yyydyxdx221311yyyxdy23231[(1)(1)]yyydy1xy21xy1321《高等数学》下册教案第九章重积分82431[(1)(1)]yydy223211(1)(1)2ydy542111[(1)(1)]54yy242111[(1)]24y72940⑵视D为X型域，则D：1011xxyx及0311xxxx