半正定矩阵的性质

半正定矩阵的性质内容摘要矩阵是线性代数的一个重要内容，矩阵这一概念是从其它许多事物中抽象出来的，具有很大的现实意义.矩阵的理论不仅贯穿于线性代数的各个部分，而且在在物理学及其它科学技术领域，在经济及其它社会科学领域都有广泛的应用.本文以半正定矩阵的概念为基本出发点，从特征值、主子式、QR分解、Gram矩阵、半正定矩阵的各种运算等等系统研究半正定矩阵的基本性质，尤其是hadamard积和kronecker积，更深刻的理解半正定矩阵的内涵和性质.【关键词】半正定矩阵hadamard积kronecker积一、矩阵的相关知识定义1[1].矩阵的秩向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩.矩阵的行秩就是矩阵行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵列向量组的秩.矩阵的行秩等于矩阵的列秩，统称为矩阵的秩，记作RA.定义2[1].矩阵的特征值与特征向量设A是n阶方阵，如果存在数和非零n维列向量x，使得xAx成立，则称为A的一个特征值.非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值的特征向量，简称A的特征向量.特征向量0x.注1.特征向量不是由特征值唯一确定的，但是特征值都是由特征向量唯一决定的.所以一个特征向量只能属于一个特征值，一个特征值有无穷多个特征向量.注2．对于一个n阶矩阵A，是矩阵A的特征值，一般通过求解特征方程AEf)(和齐次线性方程组0EAX来得到矩阵的特征值和特征向量.定义3[1].矩阵的迹设矩阵()ijnnAa，那么矩阵A的迹就是矩阵A的主对角线元素的之和，记作()trA.注3.矩阵的迹就是矩阵的所有特征值之和.定义4.对角优势矩阵对于矩阵()ijnnAa，如果1niiijjjiaa，1,2,,in则称矩阵A为对角优势矩阵.定义5[1].对称矩阵对于矩阵()ijnnAa，若元素满足jiijaa,nji2,1,或者AAT,则称矩阵A为对称矩阵.定义6[2].酉矩阵对n阶复矩阵A，用A表示以A的元素的共轭复数作元素的矩阵.如A满足TTAAAAE,则称矩阵A为酉矩阵.定义7.Gram矩阵设12,,,nvvv是欧氏空间V的一个向量组，定义矩阵111212122212,,,,,,,,,nnnnnnvvvvvvvvvvvvAvvvvvvA称为由向量12,,,nvvv组成的Gram矩阵，记做12,,,nGramvvv.其中，,为欧氏空间V中定义的内积.定义8.可对角化如果方阵A相似于一个对角矩阵，称方阵A为可对角化，换句话说，即如果存在一个可逆矩阵P使得APP1是对角矩阵，那么称矩阵A可对角化.定义9[2].置换矩阵对于矩阵()ijnnPp，如果它的每一行和每一列都只有一个元素为1，其它的元素都为零，则称矩阵P为置换矩阵.定义10[2].可约矩阵对于矩阵nnijaA，如果满足①1n时，0A；②2n,存在n阶置换矩阵P,使得DOCBPAP1,其中B是k阶方阵11nk,左下角是kkn阶的零矩阵,则称矩阵A为可约的.否则，矩阵A为不可约.定义11[1].非退化矩阵对于矩阵nnijaA，如果0A，称矩阵A为非退化的.定义12[1].矩阵的幂对于矩阵nnijaA,对任意正整数k，kA定义为kkAAAA，称为矩阵A的k次幂.规定EA0.定义13[4].阵的QR分解实(复)非奇异矩阵A能够化成正交（酉）矩阵Q与实（复）非奇异上三角矩阵R的乘积，即QRA,称为A的QR分解.定义14[5].Kronecker积设nmijRaA,nmijRbB，A与B的Kronecker积,记作BA，定义为nmnnnnnnCBaBaBaBaBaBaBaBaBaBA212222111211注4：从定义看矩阵的Kronecker积被表示成为矩阵的分块运算，即BA是一个分块矩阵，每一个子块是数乘运算Baij.矩阵的Kronecker积也称为直积或张量积.定义15[5].Hadamard积设nmijRaA，nmijRbB，其中A与B为同阶矩阵，A与B的Hadamard积，记作AB,定义为nmijijRbaBA.注5：矩阵A与B的Hadamard积即将A与B对应元素相乘，矩阵的Hadamard积也称为Schur积.注6[5]：矩阵Hadamard积的性质：①kBABkA②CABACBA③CBACBA④TTTABAB注7：由矩阵的Kronecker积与Hadamard积的定义可以看出，BA是BA的主子矩阵.二、半正定矩阵的性质(一)半正定矩阵的定义如果矩阵nnRA是实对称矩阵，并且对于一切nRX,有0AXXT，则称矩阵A为半正定矩阵.记作0A.如果0BA，记作BA.(二)半正定矩阵的二次型对称矩阵A的二次型AXXXfT，如果对任何非零向量X，都有0AXXT成立,则称AXXXfT为半正定二次型.(三)半正定矩阵的性质性质1：设A为一个n阶对角优势对称矩阵，且对角线元素非负，那么矩阵A为半正定矩阵.证明：设A是一个n阶对角优势对称矩阵，且对角线元素非负.设ijA矩阵是A的主子矩阵且i行j列如下，且其它对角元素等于0ijijijijaaaa那么ijA是一个半正定矩阵，而njiijAA1,也为非负对角阵，所以A为半正定的.注8：半正定矩阵对角化之后，所有元素都大于等于0.性质2：设A为一个n阶对称矩阵，下列命题等价：(a)A是半正定矩阵;(b)A的所有特征值为非负;(c)A的所有的主子式非负;(d)存在一个n阶矩阵B，使得TBBA;(e)存在一个n阶下三角矩阵L，使得TLLA;(f)存在一个n阶对称矩阵C，使得2CA;(g)存在一个k维欧氏空间V和向量12,,,nvvvV，使得12,,,nAGramvvv;(h)存在k个向量12,,,nkbbbR，使得kiTiibbA1.证明：(a)(b)设,AXX0X,其中为矩阵A的特征值，由于矩阵A为半正定矩阵，有0XXAXXTT,且0TXX,则\0TTXAXXX,所以矩阵A的所有特征值非负.(a)(c)设aA是A的主子式，由于A为半正定的，所以aA也为半正定的，由(a)(b)可知aA的特征值为非负，因此，0aA.(c)(b)设A的特征多项式nnknkknnnAPxPxPxPxx112211其中kP为A的所有kk阶子矩阵的和，由于(c)，nkPk2,10，，假设0x,如果n为任意正整数，那么0nx并且0xA；如果n唯一，那么0nx，并且0xA，这表明矩阵A不可能有负特征值且A为对称矩阵，所以矩阵A特征值存在且非负.(b)(f)由于A为对称矩阵，并且特征值非负，它正交相似与一个非负对角矩阵D.即TUDUA,其中U是正交矩阵，D是非负对角矩阵nddddiagD21,但是当TTUDUUDUA,其中由于U为正交矩阵，所以有TUUE,然而1,,nDdiagdd.所以TUDUCCA，2.(d)(e)为了证明这个结论，首先利用下列这一点：任何矩阵C有一个QR因数i.e.,QRC，其中Q的行正交，R是上三角矩阵.设TABB,TB的QR分解为TBQR,有TTTTTBBQRRQ，那么TTTARQQRLL，那么就有TTQRL,TQRL,然而TRL是一个下三角矩阵.所以TLLA.(d)(g)设TBBA,然而B是nn阶矩阵，设kRV,并且设TiV是B的i行，那么nvvvGramA21(g)(a)由于12,,,nAGramvvv，且设nRx，那么0xv,211in1j1,1,,1,niiinjjiinjijjiijinjijinjijiijTvxvxvxvxxxvvxxaAXX0TXAX,所以矩阵A为半正定矩阵.(b)(h)设TBBA,则有kiTiibbA1，其中(1,2)ibik为B的列向量，由(e)(d)，(f)(d)，可知结论成立.注9:①性质2中，证明(b)(f)中，构造的矩阵C其实为半正定矩阵，这表明任何一个半正定矩阵A都有唯一的半正定矩阵C满足2CA,那么矩阵C为A的平方根，记作CA.②中指的是主子矩阵而不是顺序主子式，实际上，只有顺序主子式大于等于零并不能保证A是半正定的.例1判定二次型2123221321245,,xxxxxxxxf的正定性解(解法1)用顺序主矩阵判别首先，该二次型123,,fxxx对应的矩阵为100041015A求A的各阶主子式可得，051D02241152D03AD由于A的各阶主子式全都大于等于零，所以该二次型123,,fxxx为半正定二次型。（解法2）用特征值判别首先，给出该二次型123,,fxxx所对应矩阵A的特征多项式为5104--1140-5001EAf令0f，可求出矩阵A的特征值为140321，，.可见矩阵A的全部特征值都大于等于零，所以该二次型123,,fxxx为半正定二次型.注10：本例题主要应用半正定矩阵性质2中A为半正定矩阵时,A各阶主子式全都大于等于零,A的所有特征值非负.例2设矩阵101020101B满足矩阵BkEA,其中k为实数，E为单位矩阵，求对角矩阵C，使得矩阵A相似于矩阵C，并求k为多少时，矩阵A为半正定矩阵.解由于B为实对称矩阵，从而A也为实对称矩阵,使得0,2023212BE从而存在正交矩阵T，使得0221BTTA相似于B，所以11-2-2=kTATTkEBTkCk①由于A相似于C,设矩阵A特征值为123,,uuu由①可知,A的特征值为kukuu321,2,A为半正定的，所以3,2,10iui0,02kkk2所以k2时，A为半正定矩阵.注11：本例题主要应用半正定矩阵性质2中A为半正定矩阵时,A的所有特征值非负.例3设BA,分别为nm和ns的行满秩实矩阵，BABBABQTT证明：QAAT是半正定矩阵证明令TCCGBAC,,那么G是半正定矩阵，且TTTTBBBAABAAG其中TTBBAA,分别是m阶和s阶方阵，且秩TAA=秩mA秩TBB=秩sB所以，TAATBB都是可逆矩阵.1100TTTTTTTTTTAAABAAOEABBBEABBBBABBOBBEE由于G是半正定矩阵，但是合同不改变半正定性，因此TTBBOOAA是半正定，从而它的主子矩阵QAAT也是半正定的.注12：本例题主要应用了半正定矩阵性质2A是半正定矩阵，A的所有的主子式非负;A是半正定矩阵,存在一个nn阶矩阵B，使得TBBA.例4A为实对称矩阵，若A为半正定矩阵，则对任意n维向量YX,有TTTXAYXAXYAY.证明在nR中，由柯西-布涅夫斯基不等式，则222,由于矩阵A为半正定矩阵，那么有nn阶矩阵B,使得TBBA令PYPX,，则,=TTTTTPXPYXBBYXAY2,TTTTPXPXXPPXXAX2,TTTTPYPYYPPYYBY所以AYYA