【优化方案】2012高中数学-第3章3.1.3空间向量的数量积运算课件-新人教A版选修2-1

3．1.3空间向量的数量积运算学习目标1.掌握空间向量的夹角与长度的概念．2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．3．能用向量的数量积判断向量共线与垂直．课堂互动讲练知能优化训练3.1.3空间向量的数积运算课前自主学案课前自主学案温故夯基1．已知平面α内有两个非零向量a，b，在平面α内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做两个向量a，b的______，记作________．2．已知两个非零向量a与b，我们把数量________________叫做a与b的_________(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，它满足的运算律有：(1)交换律：_________；(2)分配律：____________________；(3)(λa)·b＝______＝______．夹角数量积|a||b|cos〈a，b〉〈a，b〉a·b＝b·aλ(a·b)a·(λb)a·(b＋c)＝a·b＋a·c知新益能1．向量的夹角(1)如图，已知两个非零向量a、b，在空间中任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a、b的夹角，记作_______．(2)向量a、b的夹角〈a，b〉的范围是________，当〈a，b〉＝π2时，则称向量a、b互相垂直，记作______.a⊥b〈a，b〉[0，π]2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.(2)数量积的运算律：数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝_______交换律a·b＝_____分配律a·(b＋c)＝__________λ(a·b)b·aa·b＋a·c1．〈a，b〉与〈b，a〉的关系是怎样的？〈a，b〉与〈a，－b〉的关系呢？提示：〈a，b〉＝〈b，a〉；〈a，－b〉＝π－〈a，b〉．2．(1)两个向量a、b垂直的充要条件是a·b＝0，对吗？(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0，对吗？提示：(1)不对；(2)不对．问题探究课堂互动讲练空间向量数量积的运算考点突破在几何体中进行向量的数量积运算，要充分利用几何性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算．在解题过程中注意适当地设向量，以简化步骤．例1【思路点拨】已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，如图所示，点E，F分别是AB，AD的中点，求：(1)AB→·AC→；(2)EF→·BC→.【解】(1)AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos〈AB→，AC→〉＝a×a×12＝a22.(2)∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF→＝12BD→.∴EF→·BC→＝12BD→·BC→＝12×a×a×12＝a24.互动探究1本例中，若G点为CD的中点，其他条件不变，求GF→·AC→.解：∵G，F分别为CD，AD的中点，∴GF→＝12CA→＝－12AC→.∴GF→·AC→＝－12AC→2.∵AC→2＝a2，∴GF→·AC→＝－12a2.用数量积解决夹角问题1．由公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉可得cos〈a，b〉＝a·b|a||b|.所以求两个向量的夹角可以先求解数量积及向量的模，再代入公式求解．2．利用夹角公式求两条异面直线的夹角θ时，要注意cosθ＝|cos〈a，b〉|＝|a·b||a||b|，这是因为异面直线的夹角为不大于90°的角．已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值．例2【思路点拨】寻求OE→、BF→与OA→、OB→、OC→的关系→寻求OE→、BF→的模→计算OE→与BF→的夹角→异面直线OE→与BD→所成角【解】如图所示，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝π3，则a·b＝b·c＝c·a＝12.因为OE→＝12(OA→＋OB→)＝12(a＋b)，BF→＝OF→－OB→＝12OC→－OB→＝12c－b，|OE→|＝|BF→|＝32，所以OE→·BF→＝12(a＋b)·12c－b＝14a·c－14b·c＋12a·b－12b2＝－12，所以cos〈OE→，BF→〉＝OE→·BF→|OE→||BF→|＝－23，所以异面直线OE与BF所成角的余弦值为23.互动探究2在上面的空间四边形中，求OA与BC所成的角．解：因为BC→＝OC→－OB→，所以OA→·BC→＝OA→·(OC→－OB→)＝OA→·OC→－OA→·OB→＝|AO→||OC→|cosπ3－|OA→||OB→|cosπ3＝1×1×12－1×1×12＝0，所以OA→⊥BC→，即OA与BC所成的角为直角．用数量积解决两点间的距离问题求两点间的距离或线段长度的方法如下：(1)将此线段用向量表示；(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；(3)利用|a|＝a2，通过计算求出|a|，即得所求距离．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都是a，点M、N分别是边AB、CD的中点，求MN的长．例3【思路点拨】由题意可知每个面都是正三角形，可以用从同一顶点出发的三条棱：AB→、AC→、AD→来表示其他的向量．【解】设AB→＝p，AC→＝q，AD→＝r，由题意知|p|＝|q|＝|r|＝a，且〈p，q〉＝〈q，r〉＝〈r，p〉＝60°.∵MN→＝AN→－AM→＝12(AC→＋AD→)－12AB→＝12(q＋r－p)，∴|MN→|2＝14(q＋r－p)2＝14[q2＋r2＋p2＋2(q·r－q·p－r·p)]＝14a2＋a2＋a2＋2a22－a22－a22＝a22.∴|MN→|＝22a.∴MN的长为22a.利用向量解决垂直问题证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量a，b，c的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直．例4在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.【思路点拨】设法证明A1O与平面GBD内的两相交直线垂直．【证明】设A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0.而A1O→＝A1A→＋AO→＝A1A→＋12(AB→＋AD→)＝c＋12(a＋b)，BD→＝AD→－AB→＝b－a，OG→＝OC→＋CG→＝12(AB→＋AD→)＋12CC1→＝12(a＋b)－12c.∴A1O→·BD→＝(c＋12a＋12b)·(b－a)＝c·(b－a)＋12(a＋b)·(b－a)＝12(|b|2－|a|2)＝0.∴A1O→⊥BD→，∴A1O⊥BD.同理可证：A1O→⊥OG→，∴A1O⊥OG.又∵OG∩BD＝O，且A1O⊄平面BDG，∴A1O⊥平面GBD.证明：如图，SC→＝SA→＋AC→，AB→＝AS→＋SB→，则SC→·AB→＝(SA→＋AC→)·(AS→＋SB→)＝－SA2→＋SA→·SB→＋AC→·AS→＋0＝SA→·(SB→－SA→－AC→)＝SA→·(AB→－AC→)＝SA→·CB→＝0.∴SC→⊥AB→，即SC⊥AB.变式训练3在三棱锥SABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，求证：SC⊥AB.方法感悟1．对向量数量积的理解(1)a·b是数量而不是向量，a·b的正负由cos〈a，b〉确定．(2)a·b是两向量之间的一种乘法，与数的乘法不同．书写时应写成a·b，而不能写成ab.(3)a·b的几何意义为：a·b等于a的模|a|与b在a方向上的投影|b|cos〈a，b〉的乘积，也等于向量b的模|b|与a在b方向上的投影|a|cos〈a，b〉的乘积．(4)零向量与任何向量的数量积都为0，即0·a＝0.2．向量夹角与异面直线的关系若两个向量a，b所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为θ.(1)不同之处：向量夹角的范围是：0≤〈a，b〉≤π，异面直线夹角θ的范围是0＜θ≤π2.(2)联系：当两向量的夹角为锐角时，θ＝〈a，b〉；当两向量的夹角为π2时⇔异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，则θ＝π－〈a，b〉．