方程的根与函数的零点2

第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系.韦达（Viete，Francois，seigneurdeLaBigotiere）是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。他的《解析方法入门》一书（1591年），集中了他以前在代数方面的大成，使代数学真正成为数学中的一个优秀分支。他对方程论的贡献是在《论方程的整理和修正》一书中提出了二次、三次和四次方程的解。第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。探究：下列一元二次方程的根与相应的二次函数的图象有何关系？221yxx2(2)210xx与223yxx2(3)230xx与223yxx2(1)230xx与131xyxyxy1引申:二次函数的图象和相应一元二次方程的根有何关系?2(0)yaxbxca20(0)axbxca判别式＞0＝0＜0方程的根20(0)axbxca两不相等实数根一个交点没有交点二次函数的图象与x轴的交点2(0)yaxbxca两个交点两相等实数根没有实数根对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点．函数的零点思考：函数的图象与轴的交点和相应的方程的根有何关系？()yfx()0fxx结论:方程f(x)＝0有实数根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)有零点方程的根是函数的图象与轴的交点的横坐标()0fx()yfxx由此可知，求方程的实数根，就是求函数的零点。对于不能用公式法求根的方程来说，可以将它与函数联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根()yfx()0fx()yfx()0fx注意：函数零点既是对应方程的根，又是函数图象与x轴交点的横坐标！零点对于函数而言，根对于方程而言．探究：如何求函数的零点？观察二次函数2()23fxxx的图象，如图，我们发现函数2()23fxxx在区间2,1上有零点.计算(2)f和(1)f的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间2,4上是否也具有这种特点呢？12345-1-212345-1-2-3-4xyo观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：在区间[-2，1]上有零点______；f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)___0(“＜”或“＞”)．在区间(2，4)上有零点______；f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）．－1－45312345-112345-1-2-3-4yoxyOabcd思考：观察图象填空，在怎样的条件下，函数在区间上存在零点？()yfx,ad有有有①在区间(a,b)上f(a)·f(b)____0(“＜”或“＞”)．在区间(a,b)上______(有/无)零点；②在区间(b,c)上f(b)·f(c)___0(“＜”或“＞”)．在区间(b,c)上______(有/无)零点；③在区间(c,d)上f(c)·f(d)___0(“＜”或”＞”)．在区间(c,d)上____(有/无)零点；结论如果函数()yfx在区间,ab上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0fafb，那么，函数()yfx在区间,ab内有零点，即存在,cab，使得()0fc，这个c也就是方程()0fx的根.xyOabc例1判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（）（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（）（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]满足f(a)·f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（）解：（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（）abOxy如图,函数y=f(x)在区间[a,b]上有3个零点,“在区间(a,b)内有且仅有一个零点”的说法是错误的.（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（）abOxy可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，但f(x)在区间(a,b)内有零点.故论断不正确。如图,（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]满足f(a)·f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（）abOxy虽然函数y=f(x)在区间[a,b]满足f(a)·f(b)0,但是图象不是连续的曲线，则f(x)在区间(a,b)内不存在零点.如图,练习2、若函数y=5x2-7x-1在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，且函数y=5x2-7x-1在(a,b)内有零点，则f(a)·f(b)的值()A、大于0B、小于0C、无法判断D、等于零练习1、函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间有零点（)A.(-2，-1)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)CB由表可知f(2)0，f(3)0，由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表：例2.求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n，n+1](n∈Z)解：108642-2-4512346xyOx123456789f(x)-4-1.31.13.45.67.89.912.114.2方法1f(x)=lnx+2x－6从而f(2)·f(3)0,∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．y=－2x+6y=lnx6Ox1234y即求方程lnx+2x-6=0的根的个数，即求lnx=6-2x的根的个数，即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数如图可知，只有一个交点，即方程只有一根。方法2：练习:求方程2-x=x的根的个数，并确定根所在的区间[n，n+1](n∈Z)．解：求方程的根的个数，即求方程的根的个数，即在判断函数与的图象交点个数。由图可知只有一解。2xx1()2xxyx1()2xyy=x1Ox1234y1()2xy估算f(x)在各整数处的取值的正负：1()()2xfxx令由上表可知，方程的根所在区间为0,1.x0123f(x)－+＋＋()()()0(),()连续则函数在内存在唯一零点单调fxfafbfxabfx()(),()()0连续则函数在内存在零点fxfxabfafb方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。x如果你不知道你要到哪儿去，那通常你哪儿也去不了。