“超级全能生”浙江省高三2017年8月联考(A卷)数学试题+Word版含答案

“超级全能生”浙江省高三2017年8月联考（A卷）数学试题选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知a是实数，i是虚数单位，若iaa)1(1是纯虚数，则a（）A．2B．1C．1D．22.椭圆191622yx的离心率是（）A．43B．47C．37D．533.若实数yx,满足约束条件041yxyxx，则xy的最大值是（）A．1B．1C．2D．34.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．3B．23C.33D．635.已知数列}{na的前n项和为nS，且qpSann1（1,*pNn），则“qa1”是“}{na为等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6.已知),0(0x，且32cossin00xx，则0x（）A．)6,12(B．)125,3(C.)127,2(D．)43,127(7.若444332210)12()12()12()12(xxaxaxaxaa，则2a（）A．83B．165C.81D．1618.已知向量ba,满足1|23|,2|32|baba，则当|5|ba取最大值时，有||||ab（）A．4B．6C．8D．109.设BA,是有限集合，定义：2)()(),(BAcardBAcardBAd，其中)(Acard表示有限集合A中的元素个数，则下列不一定正确的是（）A．)(),(BAcardBAdB．2)()(),(BcardAcardBAdC.)()(),(BcardAcardBAdD．|])()(|)()([21),(BcardAcardBcardAcardBAd10.如图，已知底面为正方形且各侧棱均相等的四棱锥ABCDV可绕着AB任意旋转，AB平面，NM,分别是ABCD,的中点，5,2VAAB，点V在平面上的射影为点O，则当||OM最大时，二面角OABC的大小是（）A．0105B．090C.060D．045非选择题部分（共110分）二、填空题11.直线l：0yx经过圆C：022222ayaxyx的圆心，则a．12.已知随机变量的分布列如下表：则p；)(E.13.在ABC中，角CBA,,所对的边分别为cba,,，已知bc2，若43sinC，则Bsin；若222abcb，则Bcos．14.盒子中有红、蓝、黄各1个小球和3个相同的白色小球，将6个小球平均分给3位同学，若3位同学各有1个白球，共有种不同的分法；若恰有1位同学分得2个白球，共有种不同的分法.15.已知Rzyx,,，4222zyx，则yzxz的最大值是；又若0zyx，则z的最大值是.16.函数|1||3|)(2xaxxxf在R上有四个不同的零点，则实数a的取值范围是.17.已知直线l：)4(4kkxy交双曲线C：1322yx于BA,两点，交x轴于Q，交y轴于P，若QBQAPQ21，且382，则2k.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.函数1cossin2cos2)(2xxxxf，Rx.（1）求函数)(xf的单调递增区间；（2）求函数)(xf在]4,0[上的值域.19.在直角梯形ABCD中，090ABC，BCAD//，且NM,分别为BCAB,上的点，沿线段NMDNMD,,分别将BNMCDNAMD,,折起，CBA,,三点恰好重合于一点P.（1）证明：平面PMD平面PND；（2）若5,53cosPDDPN，求直线PD与平面DMN所成角的正弦值.20.函数)(ln21)(2Raxaxxxf.（1）当02a时，求)(xf在)1,0(上的极值点；（2）当1m时，不等式)1()(2)12(fmfmf恒成立，求实数a的取值范围.21.如图，已知直线mmmxy222与抛物线C：yx2相交于BA,两点，定点)1,21(M.（1）证明：线段AB被直线xy平分；（2）求MAB面积取得最大值时m的值.22.已知数列}{na满足：)(221)1)(22(1,32111Nneaaeaeannnnn.（1）证明：数列}11{nnae为等差数列；（2）证明：数列}{na单调递增；（3）证明：221)1(111eeaaan.“超级全能生”浙江省高三2017年8月联考（A卷）试卷答案一、选择题1-5：CBDAC6-10：DACCA二、填空题11．112．32,6113．863,8314．6，1815．362,2216．),9()1,0(17.4三、解答题18、（1）由题意知，)42sin(212sin2cos1)(xxxxf.令)(224222Zkkxk，即)(883Zkkxk，故函数)(xf的单调递增区间为)](8,83[Zkkk.（2）由（1）可知，)(xf在]8,0[上单调递增，在]4,8[上单调递减，2)8(,1)4()0(fff，故)(xf在]4,0[上的值域为]2,1[.19、解：(1)证明：有折叠的性质可知，PNPMPDPM,，且PPNPD，∴PM平面PND，又∵PM平面PMD，∴平面PMD平面PND.（2）∵5,53cosPDDPN，∴在梯形ABCD中，有5,53cosADCDDCN，过点D作BCDD'，垂足为'D，则4sin5'DCNABDD，3sin5'DCNCD，由题可知221ABBMAM，4)'(21CDADNCBN，∴84421DNCPDNSS，98422125214)85(21DNCBMNAMDABCDMNDSSSSS梯形设点P到平面DMN的距离为h，PNDMMNDPVV三棱锥三棱锥，即PMShSPNDMND3131，解得916h，即点P到平面DMN的距离为916，设直线PD与平面DMN所成角为，责问其正弦值4516sinPDh.20、解：（1）∵)0(1)('xxaxxf，令axxxg2)(，∵02a，∴)(xg的判别式041a，令0)('xf，得2411ax.当02a时，124110a，所以)(xf在)2411,0(a上单调递减，在)1,2411(a上方单调递增，即)(xf在)1,0(上有1个极值点24110ax.（2）不等式mammamfmfmfln2)12ln()12()1()(2)12(2,即22ln)12ln()12(mammam，令xaxxgln)(，∵1122mm，∴要使不等式22ln)12ln()12(mammam恒成立，只需xaxxgln)(在),1[上单调递减，xaxg1)('，令0)('xg，即xa在),1[上恒成立，可得实数a的取值范围是]1,(.21、（1）证明：设),(),,(2211yxByxA，联立方程组2222xymmmxy得02222mmmxx，∴mmxxmxx221212,2，则mxxxxxxyymxx22)(22,22122122212121，∴线段AB的中点坐标为),(mm，故线段被直线xy平分.（2）∵)10(4441)()(||22221221mmmmyyxxAB，点M到直线AB的距离为2241|221|mmmd，∴MAB的面积)10(|)(21|||2122mmmmmdABS，令tmm2，则|21|2ttS，又∵210t，∴32ttS（210t），令32)(tttf（210t），则261)('ttf，则)(tf在)66,0(上单调递增，在]21,66(上单调递减，故当66t时，)(tf取得最大值，即MAB面积取得最大值，此时有662mm，解得633m.22、证明：（1）∵221)1)(22(111nnnnneaaea，∴1)1(211)1(211)1(211nnnnnnnaeaeaae，即21111111nnnnaeae，∴数列}11{nnae为等差数列.（2）由（1）知2)1(2111111nnaeaenn，即1)1(2neann，令)1(1)1(2)(xxexfx，则2)1(2)('xexexfxx，显然0)('xf在),1[上恒成立，∴1)1(2)(xexfx在),1[上单调递增，故数列}{na单调递增.（3）由题知321ea，∵11aan，∴121nnaa，即1212121112121nnaaaaaa，又∵1112nnnenena，∴1221113121121212nneneeaaa，令12113121nneneeS，则nneneeSe1121112，两式相减，得nnneneeeSe11111)11(1211)11(1eeeneeenn，故2)1(eeSn，∴21221)1(113121121212eeeneeaaann，∴221)1(111eeaaan.