等差数列与等比数列-高考高考文科数学热点难点专题专题突破

等差数列与等比数列1．已知等差数列{an}中，a4＝9，S4＝24，则a7等于()A．3B．7C．13D．15答案D解析由于数列为等差数列，依题意得a1＋3d＝9，4a1＋6d＝24，解得d＝2，所以a7＝a4＋3d＝9＋6＝15.2．已知等比数列{an}的首项为1，公比q≠－1，且a5＋a4＝3()a3＋a2，则9a1a2a3…a9等于()A．－9B．9C．－81D．81答案B解析根据题意可知a5＋a4a3＋a2＝q2＝3，而9a1a2a3…a9＝9a95＝a5＝a1·q4＝1×32＝9.3．等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前6项和为()A．－24B．－3C．3D．8答案A解析由已知条件可得a1＝1，d≠0，由a23＝a2a6，可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d＝－2或d＝0(舍)．所以S6＝6×1＋－2＝－24.4．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是()A．13B．12C．11D．10答案B解析设等比数列为{an}，其前n项积为Tn，由已知得a1a2a3＝2，anan－1an－2＝4，可得(a1an)3＝2×4，a1an＝2，∵Tn＝a1a2…an，∴T2n＝(a1a2…an)2＝(a1an)(a2an－1)…(ana1)＝(a1an)n＝2n＝642＝212，∴n＝12.5．已知数列{an}满足15na＝25·5an，且a2＋a4＋a6＝9，则13log(a5＋a7＋a9)等于()A．－3B．3C．－13D.13答案A解析∵15na＋＝25·5na＝25na＋，∴an＋1＝an＋2，∴数列{an}是等差数列，且公差为2.∵a2＋a4＋a6＝9，∴3a4＝9，a4＝3.∴＝173log3a＝＝13log27＝－3.6．数列{an}是以a为首项，b为公比的等比数列，数列{bn}满足bn＝1＋a1＋a2＋…＋an(n＝1,2，…)，数列{}cn满足cn＝2＋b1＋b2＋…＋bn(n＝1,2，…)，若{}cn为等比数列，则a＋b等于()A.2B．3C.5D．6答案B\7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝15，且满足()2n－5an＋1＝()2n－3an＋4n2－16n＋15，已知n，m∈N*，nm，则Sn－Sm的最小值为()A．－494B．－498C．－14D．－28答案C解析根据题意可知(2n－5)an＋1＝(2n－3)an＋(2n－5)(2n－3)，式子的每一项都除以(2n－5)(2n－3)，可得an＋12n－3＝an2n－5＋1，即an＋1n＋－5－an2n－5＝1，所以数列an2n－5是以152－5＝－5为首项，以1为公差的等差数列，所以an2n－5＝－5＋(n－1)·1＝n－6，即an＝(n－6)(2n－5)，由此可以判断出a3，a4，a5这三项是负数，从而得到当n＝5，m＝2时，Sn－Sm取得最小值，且Sn－Sm＝S5－S2＝a3＋a4＋a5＝－3－6－5＝－14.8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋a12－a8＝8，a10－a6＝4，则S23＝()A．23B．96C．224D．276【解析】设等差数列{an}的公差为d，依题意得a4＋a12－a8＝2a8－a8＝a8＝8，a10－a6＝4d＝4，解得d＝1，所以a8＝a1＋7d＝a1＋7＝8，解得a1＝1，所以S23＝23×1＋23×222×1＝276，选D.【答案】D9．已知数列{an}为等比数列，且a1＋1，a3＋4，a5＋7成等差数列，则公差d为()A．2B．3C．4D．5【解析】设{an}的公比为q，由题意得2(a3＋4)＝a1＋1＋a5＋7⇒2a3＝a1＋a5⇒2q2＝1＋q4⇒q2＝1，即a1＝a3，d＝a3＋4－(a1＋1)＝4－1＝3，选B.【答案】B10．等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为()A．1B．2C．3D．5【解析】因为{an}为等比数列，所以a5＋a7是a1＋a3与a9＋a11的等比中项，所以(a5＋a7)2＝(a1＋a3)(a9＋a11)，故a9＋a11＝a5＋a72a1＋a3＝428＝2；同理，a9＋a11是a5＋a7与a13＋a15的等比中项，所以(a9＋a11)2＝(a5＋a7)(a13＋a15)，故a13＋a15＝a9＋a112a5＋a7＝224＝1.所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.【答案】C11．已知等比数列{an}中a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(－∞，0)∪[1，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)【答案】D12．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若SnTn＝38n＋142n＋1(n∈N*)，则a6b7＝()A．16B.24215C.43223D.49427【解析】令Sn＝38n2＋14n，Tn＝2n2＋n，∴a6＝S6－S5＝38×62＋14×6－(38×52＋14×5)＝38×11＋14；b7＝T7－T6＝2×72＋7－(2×62＋6)＝2×13＋1，∴a6b7＝38×11＋142×13＋1＝43227＝16.故选A.【答案】A13．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，Sn是数列{an}的前n项的和，则2Sn＋16an＋3(n∈N*)的最小值为()A．4B．3C．23－2D.92【解析】∵a1＝1，a1、a3、a13成等比数列，∴(1＋2d)2＝1＋12d.得d＝2或d＝0(舍去)∴an＝2n－1，∴Sn＝n1＋2n－2＝n2，∴2Sn＋16an＋3＝2n2＋162n＋2.令t＝n＋1，则2Sn＋16an＋3＝t＋9t－2≥6－2＝4当且仅当t＝3，即n＝2时等号成立，∴2Sn＋16an＋3的最小值为4.故选A.【答案】A14．已知等差数列{an}的公差不为0，a1＝1，且a2，a4，a8成等比数列，设{an}的前n项和为Sn，则Sn＝________.15．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝8，且Sn≤S7，则公差d的取值范围是________．答案－85，－43解析∵a2＝8＝a1＋d，∴a1＝8－d，Sn＝na1＋nn－2d＝(8－d)n＋nn－2d＝12dn2＋8－32dn，对称轴为n＝32－8d，∵Sn≤S7，∴S7为Sn的最大值，由二次函数的性质可得，132≤32－8d≤152，d0，得－85≤d≤－43，即d的取值范围是－85，－43.16．已知数列{an}与a2nn(n∈N*)均为等差数列，且a1＝2，则a1＋a222＋a333＋…＋annn＝________.答案2n＋1－2解析设an＝2＋(n－1)d，所以a2nn＝[2＋n－d]2n＝d2n2＋d－2d2n＋d－2n，由于a2nn为等差数列，所以其通项是一个关于n的一次函数，所以(d－2)2＝0，∴d＝2.所以an＝2＋2(n－1)＝2n，∴ann＝2nn＝2.所以a1＋a222＋a333＋…＋annn＝21＋22＋…＋2n＝－2n1－2＝2n＋1－2.17．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{}bn，则b2017＝________.答案1解析由题意得引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，此数列被3整除后的余数构成一个新数列为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…，构成以8项为周期的周期数列，所以b2017＝b1＝1.18．已知数列{an}满足nan＋2－(n＋2)an＝λ(n2＋2n)，其中a1＝1，a2＝2，若anan＋1对∀n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为________．答案[0，＋∞)解析由nan＋2－(n＋2)an＝λ(n2＋2n)，得an＋2n＋2－ann＝λ，所以数列ann的奇数项和偶数项分别构成首项均为1，且公差均为λ的等差数列．因为a1＝1，a2＝2，所以当n为奇数时，ann＝1＋λn＋12－1＝n－12λ＋1，所以an＝n2－n2λ＋n；当n为偶数时，ann＝1＋λn2－1＝n－22λ＋1，所以an＝n2－2n2λ＋n.当n为奇数时，由anan＋1，得n2－n2λ＋nn＋2－n＋2λ＋n＋1，即λ(n－1)－2，若n＝1，则λ∈R；若n1，则λ－2n－1，所以λ≥0.当n为偶数时，由anan＋1，得n2－2n2λ＋nn＋2－n＋2λ＋n＋1，即3nλ－2，所以λ－23n，即λ≥0.综上，λ的取值范围为[0，＋∞)．19．已知等差数列{an}中，a3＝π4，则cos(a1＋a2＋a6)＝________.【解析】∵在等差数列{an}中，a1＋a2＋a6＝a2＋a3＋a4＝3a3＝34π，∴cos(a1＋a2＋a6)＝cos34π＝－22.【答案】－2220．若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S4S2＝5，则S8S4＝________.【解析】解法一：设数列{an}的公比为q，由已知得S4S2＝1＋a3＋a4a1＋a2＝5，即1＋q2＝5，所以q2＝4，S8S4＝1＋a5＋a6＋a7＋a8a1＋a2＋a3＋a4＝1＋q4＝1＋16＝17.解法二：由等比数列的性质可知，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，若设S2＝a，则S4＝5a，由(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)得S6＝21a，同理得S8＝85a，所以S8S4＝85a5a＝17.【答案】1721．已知数列{xn}各项均为正整数，且满足xn＋1＝xn2，xn为偶数，xn＋1，xn为奇数，n∈N*.若x3＋x4＝3，则x1所有可能取值的集合为________．【解析】由题意得x3＝1，x4＝2或x3＝2，x4＝1.当x3＝1时，x2＝2，从而x1＝1或4；当x3＝2时，x2＝1或4，因此当x2＝1时，x1＝2，当x2＝4时，x1＝8或3.综上，x1所有可能取值的集合为{1,2,3,4,8}．【答案】{1,2,3,4,8}22．已知数列{an}是等差数列，满足a1＝2，a4＝8，数列{bn}是等比数列，满足b2＝4，b5＝32.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{an＋bn}的前n项和Sn.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得d＝a4－a13＝2，所以an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)×2＝2n.设等比数列{bn}的公比为q，由题意得q3＝b5b2＝8，解得q＝2.因为b1＝b2q＝2，所以bn＝b1·qn－1＝2×2n－1＝2n.(2)由(1)可得，Sn＝n2＋2n2＋－2n1－2＝n2＋n＋2n＋1－2.23．已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝23an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．(1)对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；(2)试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．(1)证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a22＝a1a3，即23λ－32＝λ49λ－4，故49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ，即9＝0，这与事实相矛盾．所以对任意实数λ，数列{an}都不是等比数列．(2)因为bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋1·