第三章-传输线和波导.

MicrowaveTechnique§3传输线和波导TEM、TE和TM波的通解平行板波导电磁场结构（了解）矩形波导主模及场结构同轴线主模及场结构圆波导主模及场结构带状线和微带线波速和色散MicrowaveTechnique引言：低耗传输微波功率的波导和其它传输线的出现是微波工程早期的里程碑之一。瑞利于1897年建立了金属波导管内电磁波的传播理论，纠正了亥维赛关于没有内导体的空心金属管内不能传播电磁波的错误理论。40年后的1936年，索思沃思和巴罗等人发表了有关波导传播模式的激励和测量方面的文章后，波导才有了重大的发展。早期的微波系统主要使用波导和同轴线作为传输线，波导功率容量高，损耗低，但体积大，价格昂贵；同轴线工作频带宽，但难于制作微波元件。于是有了第二次世界大战中带状同轴线和1952年微带线的出现以及后来更多平面传输线（槽线、鳍线、共面波导）的出现。MicrowaveTechnique3.1TEM、TE和TM波的通解本节思路：1.利用麦克斯韦方程，得到由纵向分量表示的电磁场横向分量。2.根据TEM、TE和TM波纵向场的特征，根据1中的关系式写出这三种电磁波沿z方向传播时的电磁场表达式。TEM波：TransverseElectronicmagneticWaveTE波：TransverseElectricWaveTM波：TransverseMagneticWaveMicrowaveTechnique具有平行于z轴方向导体边界的任意传输线和波导结构，假设z方向均匀且无限长，导体为理想导体。沿z方向传播的时谐电磁场（ejωt）可写为：zjzzjzeyxhzyxhzyxHeyxezyxezyxE)],(ˆ),([),,()],(ˆ),([),,(。是纵向电场和磁场分量和电场和磁场分量，代表横向和zzheyxyxhyxe),(),(),(＋z方向传播，－β→β可得－z方向传播存在损耗时γ=α+jβ→jβ普通双导体封闭式波导(3.1a)(3.1b)MicrowaveTechnique对于无源传输线或波导而言，麦克斯韦方程可写为：EjHHjE可简化为：的变化关系，上述方程的随因为电磁场具有zezjzEjyxHxyHyEjxzHxHjxEjyHjyzHzHjyxExyEyHjxzExEjxHjyEjyzE思路：利用纵向场表示横向场(3.3a)(3.3b)(3.3c)(3.4a)(3.4b)(3.4c)(3.2a)(3.2b)MicrowaveTechnique利用Ez和Hz，四个横向场分量可表示为：xHyEkjEyHxEkjEyHxEkjHxHyEkjHzzcyzzcxzzcyzzcx2222其中，222kkc截止波数/2k(3.5a)(3.5b)(3.5c)(3.5d)式（3.5a~d）对于边界条件平行于z轴的时谐系统而言具有普适性。MicrowaveTechnique3.1.1TEM波横电磁波(TransverseElectromagneticWave)0zzHEyEjxzHxHjxHjyEjyzE(3.3a)(3.4b)消去HxyEjxHjxHjyEjyyEE220zzHEk为零。波截止波数22kkcTEMMicrowaveTechnique对于Ex的亥姆霍兹方程而言：(3.9)对于的依赖关系：(3.9)式简化为：(3.10)同理可得：根据（3.1a）zjzeyxezyxezyxE)],(ˆ),([),,(得：(3.11)其中，是横向二维拉普拉斯算子。TEM波的横向电场满足拉普拉斯方程。MicrowaveTechnique同理横向磁场也满足拉普拉斯方程：(3.12)TEM波的横向场与存在于导体间的静电场相同。若采用静电情况下的标势来表示电场：标势(scalarpotential)其中，是二维梯度算子。可以证明，也满足拉普拉斯方程。(3.13)由于闭合导体各部分的静电势相同，根据式（3.13）可知，电场为零，因此单一导体不能支持TEM波。只有当两个或更多的导体存在时，TEM波才能够存在。(3.14)MicrowaveTechnique因此，对于TEM波的求解可以转换为对静电场问题的求解：(3.15)(3.16)(3.17)(3.18)分析TEM波的过程：1.求解拉普拉斯方程（3.14）得到标势。解包含若干未知量。2.对于导体上的电压应用边界条件，求得未知量。3.由式（3.13）和（3.1a）计算电场，由式（3.18）和（3.1b）计算磁场。4.由式（3.15）计算V，由式（3.16）计算I。5.传播常数由式（3.8）给出，特征阻抗由Z0=V/I给出MicrowaveTechnique3.1.2TE波横电波(H波)0,0zzHE3.1.3TM波横磁波(E波)0,0zzHE式（3.5）简化为：(3.19a)(3.19b)(3.19c)(3.19d)(3.23a)(3.23b)(3.23c)(3.23d)波阻抗为：与频率有关，可以存在于封闭导体内，也可在两个或更多导体之间形成。(3.22)(3.26)MicrowaveTechnique3.1.2TE波3.1.3TM波对于TE，TM波而言，,传播常数是频率和传输线或波导的几何尺寸的函数，反映了由波源进入的微波信号在某一确定传输系统中的传输情况，即导行波的传播特征。由亥姆霍兹方程：因为：上式简化为：由亥姆霍兹方程：因为：上式简化为：需要根据特定的边界条件求解。截止波数kc决定了电磁场在传输系统中的模型或场型传输系统的物质，形状和尺寸对电磁能量的束缚作用。(3.21)(3.25)MicrowaveTechnique分析TE、TM波的过程：1.求解关于hz或ez的亥姆霍兹方程（3.21）或（3.25）。解包含若干未知量和未知的截止波数kc。2.利用式（3.19）和（3.23），由hz或ez计算横向场。3.把边界条件应用于相应的场分量，求出未知常数和kc。4.传播常数由式（3.6）给出，波阻抗由式（3.22）或（3.26）给出。MicrowaveTechnique3.1.4由电介质损耗引起的衰减有时，为了减小波导的体积尺寸，将会在其内部填充介质。由介质引起的衰减可写为：)TMTE(m/Np2tan2或kd对于TEM波也适用，此时k)TEM(m/Np2tankd若导体损耗引起的衰减为c总的衰减常数为：dc电介质均匀填充（泰勒展开）与场分布有关（微扰法）MicrowaveTechnique3.2平行平板波导Wd,填充材料：μ，εMicrowaveTechnique3.2.1TEM波求解静电势的拉普拉斯方程并由边界条件得出电场和磁场：jkzjkzedVyeyxezyxE0ˆ),(),,(（3.35）jkzedVxzyxEzzyxH0ˆ),,(ˆ1),,(（3.36）抗。是两板间媒质的本征阻波的传播常数，是TEMk上板相对于下板的电压：上板的总电流：因此，特性阻抗为：相速：依赖于波导几何尺寸和材料参数的常数。与光在材料媒质中的速度相同。典型的TEM波分析方法MicrowaveTechnique3.2.2TM波Hz=0，Ez≠0，Wd,认为在x方向电场无变化0x波方程简化为：其通解：（3.41）（3.42）边界条件：y=0，d则：B=0，kcd=nπ，n=0,1,2,3…因此，离散值传播常数β（3.45）MicrowaveTechnique横向场分布：则纵向场：（3.46）（3.47）（3.48a）（3.48b）（3.48c）MicrowaveTechniqueCk特定边界条件下偏微分方程0),(),(22yxekyxezCz本征值对应的一系列本征函数，是纵向电场的场分布函数。222kkc意义：Ck决定了电磁场在传输系统中的模式或场型。这反映了传输系统的物质、形状和几何尺寸对电磁能量的束缚作用。),(yxez的本征值。本征值本征函数传播模式和场型22Ckk意义:（传播状态）Ck和k决定，这反映了由波源进入的微波信号（ω、λ），在某一确定传输系统中的传输情况，即反映了导行波的传播特征。如：纵向场的分布和信号能量纵向推进的快慢。方程中β由MicrowaveTechnique讨论：1.n=0时，，TM0与TEM一样2.n≥1时，每个n值对应不同的kc与β，对应不同模式TMn3.由于，对于既定的实数kc，22ckkb.当kkc时，β是虚数。这种形式的解代表波动过程，其中相位因子代表沿+z方向传播的波。这种状态称为传播状态.a.当kkc时，β是实数。导行波：导行波：虚数实数这种形式的场时变规律是一种“原地振动”的正弦振荡，其振幅沿+z轴以指数衰减，完全没有波的向前传播的特性。这种状态对应的模式称为截止模式或消逝模。二者的分界——截止频率fcMicrowaveTechniquecckfk2截止频率fc：dnkfcc22ndc2截止波长：当工作频率ffc时，kkc，β是实数，波动状态。当工作频率ffc时，kkc，β是虚数，电场快速衰减，称为截止模(cutoffmode)或消逝模(evanescentmode)4.波阻抗ffc时，是纯实数。ffc时，是纯虚数。MicrowaveTechnique5.相速222211crrcrrpckkcvkcvkkkpc22TM波是一种快波6.导波波长22012kkcrrg不同模式对应不同的kc，因此不同模式的vp，λg不同。MicrowaveTechnique7.若把TM(TE)波导模传播看成是一对上下弹跳的平面波则：对于TM1模：等效于：-y，+z方向斜传输的平面波+y，+z方向斜传输的平面波（3.55）（3.56）MicrowaveTechnique所以，与式（3.55）相同。b.当f=fc时，β1=0，θ=90°a.当ffc时，β1是实数，且小于k，0θ90°这个模式可以看成两个平面波的叠加。rrpckv1每个平面波在z方向上的相速为：rrpcvcos11这种情况，类似于海岸线上的海洋波：海岸线与斜入射波波峰的交叉点移动的比波峰本身快。在y=0，d时，两平面波完全抵消，Ez=0两个平面波垂直上下弹跳，在+z方向上没有能量流，截止状态。每个平面波在传播方向θ上的相速为：MicrowaveTechnique8.介质损耗和导体损耗m/Np2tan2kdm/Np2dkRScMicrowaveTechnique3.2.2TE模类似于TM模，对于TE模而言：Ez=0，Hz≠0，Wd,认为在x方向电场无变化纵向场：横向场：（3.67a）（3.67b）（3.67c）（3.66）MicrowaveTechnique离散值1.传播常数2.截止频率3.波阻抗4.相速222211crrcrrpckkcv（3.68）（3.69）（3.70）MicrowaveTechnique5.导波波长6.介质损耗7.导体损耗22012kkcrrgm/Np2tan2kdm/Np2dkRSc（3.72）MicrowaveTechnique图3.4平行平板波导中TEM模、TM1模和TE1模由于导体损耗引起的衰减表3.1平行平板波导结果总结MicrowaveTechnique图3.5平行平板波导中的场力线(a)TEM(b)TM1模(c)TE1模Mi