超几何分布的期望和方差

2012-4-6人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-3Wangzhijun’sWengao太原五中[e-mail][e-mail][e-mail][e-mail]第1页共3超几何分布列的数学期望和方差（030012030012030012030012太原五中王志军）一、准备知识:1.组合数性质：(1)mnnmnCC−=；(2)111+++=+mnmnmnCCC；(3)knknCnkC=−−11（即11−−=knknnCkC）；2.二项式定理和二项式系数的性质：(1)20)(nC+21)(nC+22)(nC+…+2)(nnC=nnC2证明提示：利用二项式定理，比较恒等式nnnxxx2)1()1()1(+=++中“=”号左右两边展开式的nx的系数，再利用组合数性质（1）可证得.(2)nMNMCC−0+11−−nMNMCC+22−−nMNMCC+…+mnMNmMCC−−=nNC证明提示：利用二项式定理，比较恒等式NMNMxxx)1()1()1(+=++−中“=”号左右两边展开式的nx的系数，再利用组合数性质（1）可证得.3．方差的性质（1）DXabaXD2)(=+；（2）22)(EXEXDX−=；4.二项分布及其数学期望和方差（1）二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数X是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是knkknnqpCkXP−==)(，（其中k＝0,1,2,…，n，pq−=1）．于是得到随机变量X的概率分布如下：X01…k…nPnnqpC00111−nnqpC…knkknqpC−…0qpCnnn称这样的随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，其中n，p为参数，并记knkknqpCpnkb−=),;(．（2）若X～Β(n，p)，则EX=np（3）若X～Β(n，p)，则DX=np(1—p)二、超几何分布列：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件{X=k｝发生的概率为2012-4-6人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-3Wangzhijun’sWengao太原五中[e-mail][e-mail][e-mail][e-mail]第2页共3(),0,1,2,,knkMNMnNCCPXkkmC−−===⋯,其中min{,}mMn=，且,,,,nNMNnMNN∗≤≤∈．称分布列X01…mP0nMNMnNCCC−11nMNMnNCCC−−…mnmMNMnNCCC−−为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布（hypergeometriCdistribution)，记X～),;(NMnH.可知其满足随机变量的分布列性质：（1）非负性mkCCCkXPnNknMNkM,,2,1,0,0)(⋯=≥==−−（2）可加性0nMNMnNCCC−+11nMNMnNCCC−−+…+mnmMNMnNCCC−−=1（3）X的数学期望∑=−−=mknNknMNkMCCkCEX0=nNC1（nMNMCC−⋅00+111−−⋅nMNMCC+222−−⋅nMNMCC+…+knMNkMCCk−−⋅+…+mnMNmMCCm−−⋅）=nNC1（101−−−⋅nMNMCCM+211−−−⋅nMNMCCM+…+knMNkMCCM−−−−⋅11+…+mnMNmMCCM−−−−⋅11）=nNCM（101−−−nMNMCC+211−−−nMNMCC+…+knMNkMCC−−−−11+…+mnMNmMCC−−−−11）=nNCM11−−nNC=NnM，因此，=EXNnM（4）X的方差22)(EXEXDX−=＝∑=−−mknNknMNkMCCCk02－2)(NnM=nNC1（nMNMCC−⋅020+1121−−⋅nMNMCC+2222−−⋅nMNMCC+…+knMNkMCCk−−⋅2+…+mnMNmMCCm−−⋅2）－2)(NnM＝nNC1（1011−−−⋅nMNMCMC+2112−−−⋅nMNMCMC+…+knMNkMCMCk−−−−⋅11+…+mnMNmMCMCm−−−−⋅11）－2)(NnM2012-4-6人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-3Wangzhijun’sWengao太原五中[e-mail][e-mail][e-mail][e-mail]第3页共3＝nNCM［（101−−−nMNMCC+211−−−nMNMCC+…+knMNkMCC−−−−11+…+mnMNmMCC−−−−11）＋（1010−−−⋅nMNMCC+2111−−−⋅nMNMCC+…+knMNkMCCk−−−−⋅−11)1(+…+mnMNmMCCm−−−−⋅−11)1(）］－2)(NnM＝nNCM［11−−nNC＋（22)1−−−nNCM］－2)(NnM=NnM+)1()1()1(−−−NNMMnn－2)(NnM=NnM－2)(NnM+)1()1()1(−−−NNMMnn，因此，X的方差DX=NnM－2)(NnM+)1()1()1(−−−NNMMnn三、超几何分布的数学期望和方差与二项分布的数学期望和方差的关系根据极限知识，很容易得到：1.在超几何分布中，当+∞→N时，pNM→（二项分布中的p）2.当+∞→N时，超几何分布的数学期望=EX→NnMEXnp=（二项分布的数学期望）3.当+∞→N时，超几何分布的方差DX=NnM－2)(NnM+)1()1()1(−−−NNMMnn→−np2)(np+2)1(pnn−=DXpnp=−)1(（二项分布的方差）4.当+∞→N时，超几何分布可近似为二项分布.