高考数学140分难点突破训练――圆锥曲线(含详解)概要

高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线1.已知椭圆C的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（1）求椭圆C的方程；（2）设A、B为椭圆上的两个动点，，过原点O作直线AB的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．2.设直线与双曲线相交于A,B两点，O为坐标原点.（I）为何值时，以AB为直径的圆过原点.（II）是否存在实数，使且，若存在，求的值，若不存在，说明理由.3.（理）设双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为e，若准线l与两条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形．（1）求双曲线C的离心率e的值；（2）若双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为求双曲线c的方程．（文）在△ABC中，A点的坐标为（3，0），BC边长为2，且BC在y轴上的区间[-3，3]上滑动．（1）求△ABC外心的轨迹方程；（2）设直线l∶y＝3x＋b与（1）的轨迹交于E，F两点，原点到直线l的距离为d，求的最大值．并求出此时b的值．4.已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线于A、B两点，且（1）求直线AB的方程；（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？5.设（为常数），若，且只有唯一实数根（1）求的解析式（2）令求数列的通项公式。6.已知点C（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足（1）当点P在y轴上运动时，求点M的轨迹C的方程；（2）是否存在一个点H，使得以过H点的动直线L被轨迹C截得的线段AB为直径的圆始终过原点O。若存在，求出这个点的坐标，若不存在说明理由。7.设为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量，若向量.(1求点M（x,y）的轨迹C的方程；(2过点(0,3作直线与曲线C的交于A、B两点，设，是否存在这样的直线，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.8.已知倾斜角为的直线过点和点，点在第一象限，。（1）求点的坐标；（2）若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求的值；（3）对于平面上任一点，当点在线段上运动时，称的最小值为与线段的距离。已知在轴上运动，写出点到线段的距离关于的函数关系式。9.如图，已知定点，动点P在y轴上运动，过点P作交x轴于点M，延长MP到N，使⑴求动点N的轨迹C的方程；⑵设直线与动点N的轨迹C交于A，B两点，若若线段AB的长度满足：，求直线的斜率的取值范围。10.在中,点分线段所成的比为,以、所在的直线为渐近线且离心率为的双曲线恰好经过点.⑴求双曲线的标准方程;⑵若直线与双曲线交于不同的两点、,且、两点都在以点为圆心的同一圆上,求实数的取值范围.11.经过抛物线y的焦点F的直线L与该抛物线交于A,B两点.（1）若线段AB的斜率为k，试求中点M的轨迹方程；（2）若直线的斜率k＞2，且点M到直线3x+4y+m=0的距离为，试确定m的取值范围。12.一束光线从点出发，经直线上一点反射后，恰好穿过点．（Ⅰ）求点关于直线的对称点的坐标；（Ⅱ）求以、为焦点且过点的椭圆的方程；（Ⅲ）设直线与椭圆的两条准线分别交于、两点，点为线段上的动点，求点到的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点的坐标．13.已知椭圆E：，点P是椭圆上一点。（1）求的最值。（2）若四边形ABCD内接于椭圆E，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4，求四边形面积的最大值。14.已知椭圆的一个焦点，对应的准线方程为，且离心率满足，，成等比数列.(1求椭圆的方程；(2试问是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点、，且线段恰被直线平分？若存在，求出的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由.15.已知向量.（Ⅰ）求点的轨迹C的方程；（Ⅱ）设曲线C与直线相交于不同的两点M、N，又点，当时，求实数的取值范围。16.设直线与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点.（I）证明：；（II）若的面积取得最大值时的椭圆方程.17.如图，已知⊙：及点A，在⊙上任取一点A′，连AA′并作AA′的中垂线l，设l与直线A′交于点P，若点A′取遍⊙上的点.（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若过点的直线与曲线交于、两点,且,则当时,求直线的斜率的取值范围.18.如图，已知⊙：及点，在⊙上任取一点′，连′，并作′的中垂线l，设l与′交于点P，若点′取遍⊙上的点.（1）求点P的轨迹C的方程；（2）设直线与轨迹C相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点D.若的面积取得最大值时的椭圆方程．19.点A、B分别是以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，且位于x轴上方，（1）求椭圆C的的方程；（2）求点P的坐标；（3）设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M的距离d的最小值。20.已知正方形的外接圆方程为，A、B、C、D按逆时针方向排列，正方形一边CD所在直线的方向向量为(3，1．（1）求正方形对角线AC与BD所在直线的方程；（2）若顶点在原点，焦点在轴上的抛物线E经过正方形在x轴上方的两个顶点A、B，求抛物线E的方程．答案：1.（1）设椭圆C的方程为．由题意可得：，，（2）（1）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，即，①又，②又点在直线AB上，③把②③代入①得，点D的轨迹方程为（2）当直线AB的斜率不存在时，，满足点D的轨迹方程为2.解（I）设由且，又以AB为直径的圆过原点.既（II）右准线l的方程为：x＝，两条渐近线方程为：．∴两交点坐标为，、，．∵△PFQ为等边三角形，则有（如图）．∴，即．解得，c＝2a．∴．（2）由（1）得双曲线C的方程为把．把代入得．依题意∴，且．∴双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为∵．∴．整理得．∴或．∴双曲线C的方程为：或．（文）（1）设B点的坐标为（0，），则C点坐标为（0，＋2）（-3≤≤1），则BC边的垂直平分线为y＝＋1①②由①②消去，得．∵，∴．故所求的△ABC外心的轨迹方程为：．（2）将代入得．由及，得．所以方程①在区间，2有两个实根．设，则方程③在，2上有两个不等实根的充要条件是：之得．∵∴由弦长公式，得又原点到直线l的距离为，∴∵，∴．∴当，即时，．4.（1）设直线AB：代入得（＊）令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程的两根∴且∵∴N是AB的中点∴∴k=1∴AB方程为：y=x+1（2）将k=1代入方程（＊）得或由得，∴，∵∴CD垂直平分AB∴CD所在直线方程为即代入双曲线方程整理得令，及CD中点则，，∴，|CD|=，，即A、B、C、D到M距离相等∴A、B、C、D四点共圆12分5.（1）直线方程为代入得，设则点的坐标为在椭圆上即（2）已知椭圆方程为22．（1），又令得当时得方程的实数根和于是当时方程有唯一实数根或（2）当时，，令则，当时，为等比数列，或6.（1）设M(x,y,P(0,t,Q(s,0则由得3s—t2=0……………………………………………………①又由得，……………………………………②把②代入①得=0，即y2=4x，又x≠0∴点M的轨迹方程为：y2=4x（x≠0）（2）如图示，假设存在点H，满足题意，则设，则由可得解得又则直线AB的方程为：即把代入，化简得令y=0代入得x=4，∴动直线AB过定点（4，0）答，存在点H（4，0），满足题意。7.(1即点M(x,y到两个定点F1(0,-2、F2(0,2的距离之和为8,点M（x,y）的轨迹C为以F1(0,-2、F2(0,2为焦点的椭圆，其方程为.(2由题意可设直线方程为，由消去y得：(4+3kx2+18kx-21=0.此时，△=(18k2-4(4+3k2(-210恒成立，且由知：四边形OAPB为平行四边形.假设存在直线，使得四边形OAPB为矩形，则.因为，所以，而，故，即.所以，存在直线：，使得四边形OAPB为矩形.8.（1）设，，（2）设由得，，（3）设线段上任意一点当时，即时，当时，；当时，即时，当时，；当时，即时，当时，。9.(1设动点则直线的方程为，令。是MN的中点，，故，消去得N的轨迹C的方程为.(2直线的方程为，直线与抛物线的交点坐标分别为,由得，又由得由可得，解得的取值范围是10.(1由已知得即,∴,∴(2当时,,∴,∴……(3（）,假设存在符合条件的使命题成立,则①当为偶数时,为奇数,则,由得.②当为奇数时,是偶数,则,由得矛盾.综合以上知,存在使得.20.解:(1因为双曲线离心率为,所以可设双曲线的标准方程由此可得渐近线的斜率从而,又因为点分线段所成的比为,所以,将点的坐标代入双曲线方程的,所以双曲线的方程为.(2设线段的中点为.由则且①由韦达定理的由题意知,所以②由①、②得或11..(1设A(直线AB的方程为y=k(x-1(k≠0,代入,得kx-(2k+4x+k=0设M(x,y.则∴点M的坐标为(消去k可得M的轨迹方程为(2由d=得即0＜＜,得0＜,即或故的取值范围为(-12.（Ⅰ）设的坐标为，则且．解得，因此，点的坐标为．（Ⅱ），根据椭圆定义，得，，．∴所求椭圆方程为．（Ⅲ），椭圆的准线方程为．设点的坐标为,表示点到的距离，表示点到椭圆的右准线的距离．则，．，令，则，当，，，．∴在时取得最小值．因此，最小值＝，此时点的坐标为．注：的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．说明：求得的点即为切点，的最小值即为椭圆的离心率．13.（1）由得，则则所以的最大值为25，最小值为16。（2）如图，由及椭圆方程得A（5，0）。同理C（0，4），设为椭圆上任一点，又AC方程为，即。所以B到AC的距离为同理得D到直线AC的距离所以四边形ABCD最大面积。14.（1）∵成等比数列∴设是椭圆上任意一点，依椭圆的定义得即为所求的椭圆方程.（2）假设存在，因与直线相交，不可能垂直轴因此可设的方程为：由①方程①有两个不等的实数根∴②设两个交点、的坐标分别为∴∵线段恰被直线平分∴∵∴③把③代入②得∵∴∴解得或∴直线的倾斜角范围为15.由题意得：（II）由得,由于直线与椭圆有两个不同的交点，，即①（1）当时，设弦MN的中点为分别为点M、N的横坐标，则又②.将②代入①得，解得,由②得,故所求的取值范围是（2）当时，16.依题意，直线l显然不平行于坐标轴，故将，得①由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得，即（II）解：设由①，得因为，代入上式，得于是，△OAB的面积其中，上式取等号的条件是由将这两组值分别代入①，均可解出所以，△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是17.(1∵l是线段A的中垂线，∴,∴||PA|－|P||=||P|－|P||=||=.即点P在以、A为焦点，以4为焦距，以为实轴长的双曲线上，故轨迹C的方程为.(2设,,则直线的方程为,则由,得,.由,得.∴,,.由,,,消去,得.∵,函数在上单调递增.∴,，所以或.故斜率的取值范围为.18.(1∵l是线段的中垂线，∴,∴|PM|+|P|=|P|+|P|=||=2m.即点P在以、M为焦点，以为焦距，以为长轴长的椭圆上，故轨迹C的方程为，即.（2）由得将代入消去，得①由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得整理得，即设由①，得.∵而点,∴，所以，代入上式，得于是，△OAB的面积其中，上式取等号的条件是即由可得.将及这两组值分别代入①，均可解出∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是19.（1）已知双曲线实半轴a1=4，虚半轴b1=2，半焦距c1=，∴椭圆的长半轴a2=c1=6，椭圆的半焦距c2=a1=4，椭圆的短半轴=，∴所求的椭圆方程为（2）由已知,，设点P的坐标为，则由已知得则，解之得，由于y0，所以只能取，于是，所以点P的坐标为9分（3）直线，设点M是，则点M到直线AP的距离是，于是，又∵点M在椭圆的长轴上，即∴当时，椭圆上的点到的距离又∴当时，d取最小值20.(1由（x－12）2+y2=144－a(a144,可知圆心M的坐标为(12，0，依题意，∠ABM=∠BAM=，kAB=,设MA、MB的斜率k.则