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巧用定义解决双曲线的常见问题现行高中数学(北师大版)选修2-1第三章,介绍了双曲线的定义、标准方程既简单的几何性质。学生们学习虽然感到以上只是简单也比较好掌握。但涉及解决与双曲线有关的问题时,老师存在一些不得心应手的感觉。在教学中,本人通过对教材的分析和学生学习情况调查认为,深入理解双曲线的定义。灵活运用双曲线的定义就可以解决双曲线常见的问题。一、巧用定义解决求值问题例1、双曲线14922yx上一点P与左右焦点21,FF构成21PFF,求21PFF的内切圆与边21FF的切点N的坐标。分析:设点P在已知双曲线的右支上,要求点N的坐标。即求ON的长度,而12OFOFON,其中132cOF,只需求2NF的长度,即2NF是圆⊙M的一条切线长,可用平面几何知识(切线长定理)求解。解:设点P在已知双曲线的右支上,由题意得212122PFFFPFNF,aPFPF212,accaNF2222,又13c,3a,3132NF,又132cOF,)313(1322NFOFON当点P在已知双曲线的右支上时,切点N为顶点)0,3(,当点P在已知双曲线的左支上时,切点N为顶点)0,3(例2、已知21FF、是双曲线116922yx的左右焦点,A为双曲线的左顶点,P在双曲线的左支上,12FPF,21FPF,求2cot2tan的值分析:如右图,先做出21FPF的内切圆⊙M,则⊙M切21FF于点A,MA等于内切圆的半径。且212FMF,21AMF解:做出21FPF的内切圆⊙M,则⊙M切21FF于点A,212FMF,21AMF,82tan2rcarAFAM,rracAMAF22cot2,41282cot2tanrr例3、设21FF、是曲线1C:12622yx的焦点,P为曲线2C:1322yx与1C的一个交点,则2121PFPFPFPF的值分析:利用双曲线及椭圆的定义找出1PF、2PF之间的关系。解析:设mPF1,nPF2,不妨设nm,显然椭圆和双曲线共焦点)0,2(,由椭圆和双曲线的定义可知62nm且32nm36m,36n在三角形21FPF中,由余弦定理可知312)2(2cos22221221222121mncnmPFPFFFPFPFPFF31cos212121PFFPFPFPFPF二、利用定义解决离心率问题例4、已知21FF、是双曲线12222byax的左右焦点,过1F作倾斜角为o30的直线交双曲线右支于M点,若2MF垂直于x轴,求双曲线的离心率.解析:由题意的cFF221,ccMF3326tan22,ccMF3346cos21由定义知acMFMF233221,则3e。例5、已知双曲线12222byax的左右焦点分别为)0,(1cF)0,(2cF若双曲线上存在一点P使得212PFPF,求双曲线离心率的范围。解析:由双曲线的定义aPFPF221,aPF41,在21FPF中,结合双曲线的图像2121FFPFPF,ca26,即31e例6、已知双曲线12222byax的左右焦点分别为)0,(1cF)0,(2cF,以21FF为直径的圆与双曲线交于不同的四个点,顺次连接焦点和这四个顶点恰好组成一个六边形,球双曲线的离心率。解析:设P为圆与双曲线在第二象限的交点,则221PFF,321FpF,在21PFFRt中,acccPFPF2)13(3cos23sin21213ace三、紧扣定义求动点的轨迹例7、已知双曲线12222byax的左右焦点分别为21FF、,P为双曲线上任意一点,21PFF的内角平分线l的垂线,设垂足为M,求点M的轨迹。解析:如图延长MF2交PF1于N由角平分线及垂直关系得PNPF2,有OM是NFF21的中位线,从而aPFPFPNPFNFOM)(21)(2122111,故aOM为定值,即点M的轨迹是以坐标原点为圆心,a为半径的圆(去掉与x轴的交点)方程为)(222axayx例8、已知)0,7(A,)0,7(B,)12,2(C,若双曲线两支分别过例9、已知⊙A:49)5(22yx,⊙B:1)5(22yx,若⊙P与⊙A内切与⊙B外切,求⊙P的圆心的轨迹方程。解析:⊙A:49)5(22yx,圆心)0,5(A,半径71r,⊙B:1)5(22yx圆心)0,5(B,半径12r,由题意的1rPA,1rPB。8)7()1(rrPAPB,即P是以BA、为焦点的双曲线的左支。82a,4a,102c,5c,4222acb。P点的轨迹为)4(191622xyx四、巧用定义解决特殊问题1、求最值例10、已知21FF、是双曲线1322yx的左右焦点,)6,6(M是双曲线内部一点,P为双曲线右支上一点,求1PFPM的最小值解析:如图双曲线的定义2221aPFPF,即221PFPF826)26(2222221MFPFPMPFPM当且仅当2F、P、M三点共线时“”成立。2、求三角形的面积例11、已知双曲线方程为),0(12222babyax两焦点分别为,,21FF设焦点三角形21FPF中,21PFF证明:2cot221bSPFF。证明cos2)2(2122212212PFPFPFPFFFc)cos1(2)(21221PFPFPFPFcos12)cos1(244)cos1(24)(222222121baccPFPFPFPF又sin212121PFPFSPFF综上2cotcos1sinsin21222121bbPFPFSPFF
本文标题:巧用定义解决双曲线常见问题(精)
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