1.1.3导数的几何意义

1.1.3导数的几何意义1、平均变化率一般的，函数在区间上的平均变化率为)(xf][21，xx2121)()(xxxfxf2.导数的概念00000()()()limlimxxfxxfxffxxx一般地，函数y=f(x)在点x=x0处的瞬时变化率是0000()()limlimxxfxxfxfxxoxxy0()fx我们称它为函数y=f(x)在点x=x0处的导数，记为或，即)(xfy0x由导数的定义可知，求函数在处的导数的步骤:00()()ffxxfx（1）求函数的增量:；00()()fxxfxfxx（2）求平均变化率:；00()limxffxx．（3）取极限，得导数:2(),'(),'(1),'(2)fxxfxff练习：设求xxxxxxxxxxxfxxfxfxxx2)2(lim)(lim)()(lim)('02200＝解：由导数的定义有422)(')2('2)1(2)(')1('21xxxffxff＝下面来看导数的几何意义:βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角..tan,,:xyyMQxMP则yx请问：是割线PQ的什么?斜率!PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:'00000()()()limlimxxfxxfxykfxxx切线这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。割线趋近于确定的位置的直线定义为切线.曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;要注意,曲线在某点处的切线:1.在函数的图像上，(1)用图形来体现导数，的几何意义.105.69.4)(2ttth3.3)1(/h6.1)5.0(/hh0.15.0Ot(2)请描述，比较曲线分别在附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在附近呢？,0t,1t2t,3t4thtO3t4t0t1t2t(2)请描述，比较曲线分别在附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在附近呢？,0t,1t2t,3t4t增（减):增（减）快慢：=切线的斜率附近：瞬时变化率（正或负）即：瞬时变化率（导数）（数形结合，以直代曲）画切线即：导数的绝对值的大小=切线斜率的绝对值的大小切线的倾斜程度（陡峭程度）以简单对象刻画复杂的对象(2)曲线在时，切线平行于x轴，曲线在附近比较平坦，几乎没有升降．0t曲线在处切线的斜率0在附近，曲线，函数在附近单调0t,1t,1t2t如图，切线的倾斜程度大于切线的倾斜程度，2t1t,3t4t大于上升递增2l1l3l4l3t4t上升这说明曲线在附近比在附近得迅速．2t,1l2l,3l4l0)(),(2/1/thth0)(),(4/3/thth,1t2t,3t4t递减下降小于下降,3t4t2．如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)（单位：mg/ml）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1)血管中药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度从图象上看,它表示曲线在该点处的切线的斜率.函数f(t)在此时刻的导数,（数形结合，以直代曲）以简单对象刻画复杂的对象)(0/xf)(/xf抽象概括：是确定的数是的函数x导函数的概念：)(/xfxxfxxfxfx)(lim0000/xxfxxfxfx)(lim0/t0.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率4.004.17.0求函数y=f(x)的导数可分如下三步:);()()1(xfxxfy求函数的增量;)()(:)2(xxfxxfxy的增量的比值求函数的增量与自变量.lim)()3(0xyxfyx求极限，得导函数.1yxy，求：已知例,xxxy解：,xxxxxxy.211limlimlim000xxxxxxxxxyyxxx小结：１.函数在处的导数的几何意义，就是函数的图像在点处的切线AD的斜率（数形结合）)(xf0xx0/xf)(xf)(,00xfxAxxfxxfxfx)()(lim)(0000/＝切线AD的斜率3.导函数(简称导数)xxfxxfxfx)()(lim)(0/2.利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”，“以直代曲”的数学思想方法。以简单对象刻画复杂的对象练习:如图已知曲线,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.)38,2(313Pxy上一点yx-2-112-2-11234OP313yx.])(33[lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx解：.42|22xy即点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.先来复习导数的概念定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量Δx时函数有相应的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).如果当Δx0时,Δy/Δx的极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作即:,|)(00xxyxf或00000()()()limlim.xxfxxfxyfxxx处的导数。在：求函数例12xxyxxxyxy1111解：21111lim0xx21'1xy111xPQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:先利用切线斜率的定义求出切线的斜率,然后利用点斜式求切线方程.（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。)(0xf（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)(()(000xxxfxfy归纳:求切线方程的步骤无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导数概念。作业:处的导数。在求函数11.1xxy2.例:求函数y=x+1/x在x=2处的导数.,)2(2)212(21)2(xxxxxy解：,)2(211)2(2xxxxxxy.43|,43411])2(211[limlim200xxxyxxy1.1.3导数的几何意义1.曲线的切线βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角..tan,,:xyyMQxMP则.就是割线的斜率表明：xy我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:xxfxxfxykxx)()(limlimtan0000切线这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.