高中数学必修5精品课件2.4.1平面向量数量积的物理意义及其含义

物理中功的概念θsF一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？其中力F和位移s是向量，功是数量.|s||F|Wcos是F的方向与s的方向的夹角。新课引入向量的夹角两向量的夹角范围是[0,]两个非零向量a和b，在平面上任取一点O，作，,则叫做向量a和b的夹角．AOB)1800(OB=bOA=aba记作90当，a与b垂直，当，a与b同向，0当，a与b反向180AOBOABBabAOOAB练习一：在中，找出下列向量的夹角：ABCABC(1);ABAC与(2);ABC与B(3)ACC与B。平面向量的数量积的定义cos||||baba已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即cos||||ba规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0．0a提问：（1）向量的加、减法的结果是向量还是数量？数乘向量运算呢？向量的数量积运算呢？其正负由什么决定？（2）“”能不能写成“”或者“”的形式？ababab练习二：2sin15,a4cos15bABC60。CAB60。58243-20D（1）已知|p|=8,|q|=6,p和q的夹角是，求p·q60。a与b的夹角为，则a·b=_______30。（3）已知中，=5,b=8,C=,求BC·CAa（2）已知OABab1B平面向量的数量积的几何意义bOBaOA，作，过点B作1BB垂直于直线OA，垂足为，则1B1OB|b|cosθ|b|cosθ叫向量b在a方向上的投影．cosabab平面向量的数量积的几何意义是:a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积OABab1BOABab)(1Bθ为锐角时，|b|cosθ＞0θ为钝角时，|b|cosθ＜0θ为直角时，|b|cosθ=0BOAab1BOABbaOABbaθ为时，它是|b|0。θ为时，它是-|b|180。练习三：1、已知，为单位向量，当它们的夹角为时，求在方向上的投影及；8ae3aeaeea、2、已知，，与的交角为，则2a3bab90oab；m4、已知，，且，则与的夹角为3m4n6mnn；3、若，，共线，则1a3bab、ab.（1）e·a=a·e=|a|cos（2）a⊥ba·b=0(判断两向量垂直的依据)（3）当a与b同向时，a·b=|a|·|b|，当a与b反向时，a·b=-|a|·|b|．特别地22aaaaa或4cosabab403或－360o(a//ba·b=±|a|·|b|)平面向量数量积的性质：（1）e·a=a·e=|a|cos（2）a⊥ba·b=0(判断两向量垂直的依据)（3）当a与b同向时，a·b=|a|·|b|，当a与b反向时，a·b=-|a|·|b|．特别地22aaaaa或4cosabab(a//ba·b=±|a|·|b|)(5)abab例2ABC已知中，CB=a,CA=b,a·b0,ab求与的夹角。ABCD解：设与的夹角为ab1sin2ADADACb又0abcos0abab为钝角则可作图如右：BCA即：为钝角150o＝例题讲解：练习四：0,（1）在四边形ABCD中，AB·BC=0，且AB=DC则四边形ABCD是（）A梯形B菱形C矩形D正方形（3）在中，已知|AB|=|AC|=1，且ABCAB·AC=，则这个三角形的形状是12C±1等边三角形（2）已知向量a,b共线，且|a|=2|b|则a与b间的夹角的余弦值是。演练反馈××√判断下列各题是否正确：（2）、若，，则0a0ab0b（3）、若，，则0aabbcac(1)、若，则任一向量，有0ab0ab（4）、//ababab×总结提炼1、向量的数量积的物理模型是力的做功；4、两向量的夹角范围是[0,]5、掌握五条重要性质：平面向量的数量积的几何意义是:a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积2、a·b的结果是一个实数，它是标量不是向量。3、利用a·b=|a|·|b|cos可求两向量的夹角，尤其是判定垂直。作业1、P1061.2.3(写在本子上）2、活页P841-73、完成非常学案P44-45