高中数学必修一同角三角函数的基本关系式与诱导公式

第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式考纲要求考纲研读1.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．2．理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx.1.对于同角三角函数的基本关系式，要正确理解“同角”的含义，明确公式成立的条件，掌握公式的变形，其中商数关系还可实现“切化弦”．2．利用诱导公式可以把任意角转化为锐角求三角函数值．利用上述关系可进行化简、求值和证明等.1．同角三角函数关系式平方关系：________________；商数关系：______________.sin2α＋cos2α＝1sinαcosα＝tanα变式：1-sin2α=cos2α1-cos2α=sin2αsin＝tanαcosα诱导公式sin(2)______cos(2)______tan(2)______333sin()______cos()______tan()______222sin()______cos()______tan()______sin()______cos()______tan()______222sincostancossincotsincostancossincot3.如图6－2－1，设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，图6－2－1那么sinα＝yr＝y1＝y＝MP，cosα＝xr＝x1＝x＝OM，tanα＝yx＝ATOA＝AT.特殊三角函数值sin0___cos0___tan0___sin___cos___tan___666sin___cos___tan___444sin___cos___tan___333sin___cos___tan___222012223211322212003313不存在特殊三角函数值sin___cos___tan___555sin___cos___tan___666333sin___cos___tan___444222sin___cos___tan___333333sin___cos___tan___222012223211322212003313不存在特殊三角函数值777sin___cos___tan___666555sin___cos___tan___444444sin___cos___tan___3331222323222123313特殊三角函数值111111sin___cos___tan___666777sin___cos___tan___444555sin___cos___tan___3331222323222123313CA1．cos330°＝()A.12B．－12C.32D．－322．sin585°的值为()A．－22B.22C．－32D.324．已知sinαcosα＝14，且α∈0，π4，则sinα－cosα＝_____.5．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θsin2θ＋2cos2θ＝____.－2223考点1求三角函数值例1.已知cosα＝m(|m|≤1)，求sinα，tanα的值．解析：(1)当m＝0时，α角的终边落在y轴上若α的终边在y轴的非负半轴上，则sinα＝1，tanα不存在；若α的终边在y轴的非正半轴上，则sinα＝－1，tanα不存在．(2)当m＝±1时，α角的终边落在x轴上，则sinα＝0，tanα＝0.(3)当|m|＜1且m≠0时．若α在第一或第二象限时，sinα＝1－cos2α＝1－m2，tanα＝sinαcosα＝1－m2m.若α在第三或第四象限时，sinα＝－1－cos2α＝－1－m2，(1)已知sinα，cosα，tanα三个三角函数值中的一个，就可以求另外两个．但在利用平方关系开方时，符号的选择是看α属于哪个象限，这是易出错的地方，应引起重视．而当α的象限不确定时，则需分象限讨论，不要遗漏终边在坐标轴上的情况．(2)同角三角函数的基本关系式反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的性质、变形提供了工具和方法．【互动探究】1．已知cosπ2＋φ＝32，且|φ|π2，则tanφ＝()A．－33B.33C．－3D.32．(2010年全国)记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A.1－k2kB．－1－k2kC.k1－k2D．－k1－k2CB解析：∵cos(－80°)＝cos80°＝k，∴sin80°＝1－cos280°＝1－k2，tan100°＝－tan80°＝－sin80°cos80°＝－1－k2k，选B.考点2三角函数化简例2：化简：(1)1－2sin10°cos10°cos10°－1－cos210°；(2)1－sin4α－cos4α1－sin6α－cos6α.解析：(1)原式＝sin10°－cos10°2cos10°－|sin10°|＝|sin10°－cos10°|cos10°－sin10°＝cos10°－sin10°cos10°－sin10°＝1.(2)方法一：原式＝cos2α＋sin2α2－cos4α－sin4αcos2α＋sin2α3－cos6α－sin6α＝2cos2a·sin2α3cos2αsin2αcos2α＋sin2α＝23.方法二：原式＝1－cos4α＋sin4α1－cos6α＋sin6α＝1－[cos2α＋sin2α2－2cos2α·sin2α]1－cos2α＋sin2αcos4α－cos2α·sin2a＋sin4α方法三：原式＝1－cos2α1＋cos2α－sin4α1－cos2α·1＋cos2α＋cos4α－sin6α＝sin2α1＋cos2α－sin2αsin2α1＋cos2α＋cos4α－sin4α＝2cos2α1＋cos2α＋cos2α＋sin2αcos2α－sin2α＝2cos2α1＋cos2α＋cos2α－sin2α＝2cos2α3cos2α＝23.化简三角函数式应看清式子的结构特征作有目的的变形，注意“1”的代换、乘法公式、切化弦等变形技巧，对于含平方根号的式子，去掉根号的同时加绝对值号再化简．本题出现了sin4α、sin6α、cos4α、cos6α，应联想到把它们转化为sin2α、cos2α的关系，从而利用1＝sin2α＋cos2α进行降幂解决．【互动探究】3．使1－cosα1＋cosα＝cosα－1sinα成立的α值的范围是()A．2kπ－π＜α＜2kπ(k∈Z)B．2kπ－π≤α≤2kπ(k∈Z)C．2kπ＋π＜α＜2kπ＋32π(k∈Z)D．只能是第三或第四象限角A解析：1－cosα1＋cosα＝1－cosα21＋cosα1－cosα＝|1－cosα||sinα|＝1－cosα|sinα|＝cosα－1sinα，所以sinα0，故选A.考点3三角函数的证明例3．求证：tanα·sinαtanα－sinα＝tanα＋sinαtanα·sinα.证法一：右边＝tan2α－sin2αtanα－sinα·tanαsinα＝tan2α－tan2αcos2αtanα－sinα·tanαsinα＝tan2α1－cos2αtanα－sinα·tanαsinα＝tan2αsin2αtanα－sinαtanαsinα＝tanαsinαtanα－sinα＝左边．∴原等式成立．证法二：左边＝tanα·sinαtanα－tanαcosα＝sinα1－cosα，右边＝tanα＋tanαcosαtanαsinα＝1＋cosαsinα＝1－cos2αsinα1－cosα＝sin2αsinα1－cosα＝sinα1－cosα.∴左边＝右边，原等式成立．证法三：∵tanα－sinα≠0，tanα·sinα≠0，要证原等式成立，只要证tan2α·sin2α＝tan2α－sin2α成立，而tan2α·sin2α＝tan2α(1－cos2α)＝tan2α－(tanαcosα)2＝tan2α－sin2α.即tan2α·sin2α＝tan2α－sin2α成立．∴原等式成立．证明三角恒等式，可以从左向右证，也可以从右向左证，可以证明两端等于同一个结果，对于含有分式的还可考虑应用比例的性质．【互动探究】4．求证：tan2π－αsin－2π－αcos6π－αcosα－πsin5π＋α＝tanα.证明：左边＝sin2π－αcos2π－α·sin－αcos－αcosα－π＋2πsinπ＋α＝sin－α·－sinαcosαcos－αcosπ＋α－sinα＝－sinαcosαcosα－cosα＝tanα＝右边．∴原等式成立．1．化简三角函数式实际上是一种不指定答案的恒等变形．化简题一定要化成最简形式．对最简形式的要求是：(1)项数化到最少；(2)次数化到最低；(3)尽可能不含根号；(4)三角函数种类最少；(5)能求值的求出值．2．证明三角恒等式的常用方法是：(1)由左边推出右边或右边推出左边或左、右两边推出同一式；(2)证明左边－右边＝0；(3)综合法；(4)分析法．3．利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，基本步骤是(如图6－2－2)：图6－2－2这些步骤体现了把未知问题化归为已知问题的数学思想．(数学思想方法——化归思想）1．注意公式的变形使用，弦切互化、三角代换、消元是三角变换的重要方法，要尽量减少开方运算，慎重确定符号．2．注意“1”的灵活代换，如1＝sin2α＋cos2α.