拓扑答案

尤承业基础拓扑学讲义部分课后习题参考答案（第二版）数学与统计学学院December24,20151第20-21页（拓扑空间）练习1(1.).•写出集合X={a;b}上的所有拓扑．解•τ1={/0;X}；–τ2={{a};{b};/0;X}；–τ3={{a};/0;X}；–τ4={{b};/0;X}．练习2(2.).•设X={x;y;z}，下列子集族是不是X的拓扑？如果不是，请添加最少子集使它们成为拓扑．（1）{X;/0;{x};{y;z}}；（2）{X;/0;{x;y};{x;z}}；（3）{X;/0;{x;y};{x;z};{y;z}}．解（1）是．（2）不是．添加{x}．（3）不是．添加{x};{y};{z}．练习3(3.).•在R上规定子集族τ={(−∞;a)|a∈R}∪{/0;R}，则τ是拓扑．证明•只需证明τ对有限交和任意并是封闭的．–显然对任意两个实数a;b，不妨假设a≤b，则(−∞;a)∩(−∞;b)=(−∞;a)∈τ．–任取A⊆R，令µ=supA（可以是+∞），则∪a∈A(−∞;a)=(−∞;µ)∈τ．1练习4(4.).•设τ是X上的拓扑，A是X的一个子集，则τ′={A∪U|U∈τ}∪{/0}也是X的拓扑．证明•显然/0;X∈τ′．–设U1;U2∈τ，则(A∪U1)∩(A∪U2)=A∪(U1∩U2)∈τ′．–任取U⊆τ，则∪U∈U(A∪U)=A∪(∪U∈UU)∈τ′:练习5(4.).•证明X上任意一族拓扑之交仍是X上的拓扑．证明•设{τλ|λ∈Λ}是X的一族拓扑，τ=∩λ∈Λτλ．1.显然/0;X∈τ；(a)任取U1;U2∈τ，则对任意的λ∈Λ有U1;U2∈τλ．由于τλ是拓扑，有U1∩U2∈τλ，所以U1∩U2∈τ；(b)任取A⊆τ，则A⊆τλ对任意的λ成立．由于τλ是拓扑，有∪U∈AU∈τλ，从而∪U∈AU∈τ．练习6(6.).•R2中的子集A={(x;sin1x):x∈(0;1)}，求A−．解•首先(1;sin1)∈A−，因它的每个邻域都与A有交；–其次{0}×[−1;1]⊆A−，因为∀x∈[−1;1]，点(0;x)的任何邻域与A有交；–最后，显然A⊆A−．–除此之外，其它的点都有邻域和A无交，所以A−=({0}×[−1;1])∪{(x;sin1x):x∈(0;1]}．2练习7(7.).•在实数集R上装备拓扑τ={(−∞;a)|−∞≤a≤+∞}，求单点集的闭包．证明•设A={x}是实数集的单点集．–当y≥x时，任取y的邻域(−∞;a)（其中ay）都包含x，故y∈A−；–当yx时，存在邻域(−∞;12(x−y))不包含x，所以y=∈A−；–综上所述，A−=[x;+∞)．练习8(8.).•在度量空间(X;d)中，记B[x;r]={y∈X|d(x;y)≤r}，则B[x;r]是闭集，但B[x;r]̸=B(x;r)．证明•任取a=∈B[x;r]，令r0=12(d(x;a)−r)，则a的邻域B(a;r0)满足B(a;r0)⊆B[x;r]c，从而B[x;r]是闭集．–事实上，任取y∈B(a;r0)，则d(x;y)≥d(x;a)−d(a;y)d(x;a)−r0=12(d(x;a)+r)r;*即y=∈B[x;r]，再由y的任意性有B(a;r0)⊆B[x;r]c．–反例：在多于一点的离散空间X，有B[x;1]=X，但B(x;1)={x}．练习9(9.).•设X是拓扑空间，G是X的开集．证明G∩A−⊆(G∩A)−．证明•任取x∈G∩A−，则对x的任意的开邻域U，有U∩A̸=/0．–因U∩G是x的开邻域，所以(U∩G)∩A̸=/0，即U∩(G∩A)̸=/0，–所以x∈(G∩A)−．练习10(10.).•设A1;···;An都是X的闭集，并且A1∪···∪An=X，B⊆X，则B是X的闭集当且仅当对每个i，B∩Ai是Ai的闭集．证明•如果B是X的闭集，则B∩Ai是Ai的闭集．–反之，如果每个B∩Ai都是Ai的闭集，则B∩Ai是X的闭集与Ai的交集．–又因为Ai是X的闭集，所以每个B∩Ai都是X的闭集，从而B=B∩X=(B∩A1)∪···∪(B∩An)是X的闭集．3练习11(11.).•设Y是X的子空间，x∈Y，则x∈DY(A)当且仅当x∈DX(A)，即DY(A)=DX(A)∩Y，这里，DY(A)表示A在Y中的导集．证明•任取x∈DY(A)，则对x在X中的任意邻域U有(U∩Y)∩(A\{x})̸=/0，所以U∩(A\{x})̸=/0，从而x∈DX(A)．–又x∈Y，所以x∈DX(A)∩Y．–反之，任取x∈DX(A)∩Y，则存在x在X中的邻域U使得U∩(A\{x})̸=/0．–因A⊆Y，所以U∩(A\{x})=U∩(Y∩(A\{x}))=(U∩Y)∩(A\{x})̸̸=/0，因此x∈DY(A)．练习12(12.).•设Y为拓扑空间X的子空间，B⊆A．证明：（1）ClA(B)=ClX(B)∩A，这里，ClA(B)表示B在A中的闭包．（2）B◦A=A\(A\B)，这里B◦A表示B在A中的内部．；（3）如果A是X的开集，则B◦A=B◦，证明（1）–由上题得：ClA(B)=DA(B)∪B=(DX(B)∩A)∪(B∩A)=(DX(B)∪B)∩A=ClX(B)∩A:（2）·A\A\B⊆A\(A\B)=B，且A\A\B=A∩(A\B)c是A的开集，所以A\A\B⊆B◦A．·另一方面，任取x∈B◦A，则存在x在X中的邻域U使得U∩A⊆B．·于是，U∩(A\B)=(U∩A)∩(A\B)=/0，所以x=∈A\B，因此x∈A\A\B．证明（续）（3）–如果A是开集，则由上面的结论可知B◦A=A\A\B=A∩(A\B)c是X的开集，从而B◦A⊆B◦．*另一方面，任取x∈B◦，则存在x在X中的开邻域U满足U⊆B．·这个U=U∩A也是x在A中的开邻域，因此x∈B◦A．练习13(13.).•余可数拓扑空间X的序列{xn}收敛于a的充分必要条件是该序列的尾部是a．证明•如果{xn}的尾部是a，则{xn}显然收敛于a；–如果xn收敛于a，取a邻域U=(X\{xn|n∈N})∪{a}，则当n充分大时，xn在U内，即存在N∈N，使得当nN时，有xn∈U，从而xn=a．4练习14(14.).•在R上规定拓扑τ={(−∞;a)|a∈R∪{+∞;−∞}}，则这个拓扑空间是可分的．证明•有理数集显然是稠密子集．可分性练习15(15.).•证明：A是X的稠密子集当且仅当X的每个非空开集与A相交．证明•提示：X的每个点都是A的闭包点．练习16(16.).•证明：如果A是B的稠密子集，B是X的稠密子集，则A是X的稠密子集．证明•由于A在B中稠密，所以A−∩B=A−B=B，于是B⊆A−．–两边取闭包得B−⊆A−−=A−．–另一方面，B在X中稠密，所以B−=X．–于是有X=B−⊆A−⊆X，因此A−=X．练习17(17.).•若A;B都是X的稠密子集，并且A是开集，则A∩B也是X的稠密子集．证明•如果A是开集，则有A∩B=A∩B．–事实上，任取x∈A∩B，则对x的任意的邻域Ux有Ux∩(A∩B)̸=/0．*任取y∈Ux∩A∩B，则因y∈B且Ux∩A是y的邻域，有Ux∩(A∩B)=(Ux∩A)∩B̸=/0，从而可知x∈A∩B，这样我们就证明了A∩B⊆A∩B．*相反的包含式是显然的．–由于B=X，所以A=A∩B=A∩B．又由于A=X，得X=A∩B，因此A∩B稠密．2第28-29页连续映射练习18(1.).•设f:X→Y，证明下列命题等价：（1）f连续；（2）对X的每一子集A，有f(A−)⊆[f(A)]−；（3）对Y中的每一子集B，有f−1(B−)⊇[f−1(B)]−；（4）对Y中的每一子集B，有f−1(B◦)⊆[f−1(B)]◦．5证明：（1）⇒（2）•假设对Y的任意闭集F，f−1(F)是X的闭集．下证对X的任意子集A，有f(A)⊆f(A)．–首先注意A⊆f−1[f(A)]⊆f−1[f(A)]．*因为f(A)是Y的闭集，由假设知f−1[f(A)]是X闭集．*所以有A⊆f−1[f(A)]=f−1[f(A)]，*于是得f(A)⊆f(f−1[f(A)])⊆f(A)．证明：（2）⇒（3）•假设对X的任意子集A，有f(A)⊆f(A)．下证对Y的任意子集B，有f−1(B)⊇f−1(B)．–对集合f−1(B)应用假设条件，并注意f[f−1(B)]⊆B，得f(f−1(B))⊆f[f−1(B)]⊆B;*所以f−1(B)⊇f−1◦f(f−1(B))⊇f−1(B)．证明：（3）⇒（1）•假设对Y的每一个子集B，有f−1(B)⊇f−1(B)．–则对Y的闭子集F有f−1(F)=f−1(F)⊇f−1(F)⊇f−1(F);*即f−1(F)=f−1(F)，于是f−1(F)是X的闭集。证明：（4）⇐⇒（1）•（4）⇒（1）–假设对Y中的每一子集B，有f−1(B◦)⊆[f−1(B)]◦．*则对Y的开集B有f−1(B)=f−1(B◦)⊆f−1(B)◦⊆f−1(B);·所以有f−1(B)=f−1(B)◦，因此f−1(B)是X的开集。*（1）⇒（4）·设f连续，则f−1(B◦)是开集．·由于f−1(B◦)⊆f−1(B)，所以有f−1(B◦)⊆f−1(B)◦．6练习19(2.).•设B⊆Y，i:B→Y是包含映射．证明f:X→B连续当且仅当i◦f:X→Y连续．证明•包含映射显然连续，这是因为对Y的任意开集V，有i−1(V)=V∩B是B的开集．–如果f连续，则i◦f连续．–下设i◦f连续，则对Y的任意开集V有(i◦f)−1(V)是X的开集．–但(i◦f)−1(V)=f−1(i−1(V))=f−1(V∩B)，所以对B的任意开集V∩B其f原像是X的开集，即f连续．练习20(3.).•设f:X→Y为同胚映射，A⊆X，则f|A:A→f(A)也是同胚映射．证明•f|A连续且f−1|f(A)连续，直接验证可得f−1|f(A)是f|A的逆．练习21(4.).•证明下面几个空间相互同胚：（１）X1=R2\{O}；（２）X2={(x;y;z)∈R3|x2+y2=1}；（３）X3={(x;y;z)∈R3|x2+y2−z2=1}．证明•设f:X2→X1为f(x;y;z)=(xez;yez)，f−1:X1→X2为f的逆，则f−1(u;v)=(ue−u2+v22;ve−u2+v22;u2+v22)，而且连续，所以f是同胚。–设g:X3→X2为g(x;y;z)=(x√x2+y2;y√x2+y2;z)，g−1:X2→X3为g的逆，则g−1(u;v;w)=(u√1+w2;v√1+w2;w)也连续，所以g是同胚。练习22(5.).•拓扑空间X的覆盖C是局部有限的是指有对任意的x∈X，存在邻域U只与C的有限个成员相交。–设X具有局部有有限闭覆盖C={Cλ|λ∈Λ}，且f:X→Y在C的每个成员上的限制是连续的，则f是连续的。7证明•对任意的x∈X，令U是x的邻域，它只与C的有限个闭集C1;···;Cn相交．–则U=U∩X=U∩(∪λ∈ΛCλ)=U∩(C1∪···∪Cn)=(U∩C1)∪···∪(U∩Cn);*即U是它的有限个闭集之并．*因fi=f|Ci连续，所以它在U∩Ci上也连续，由焊接引理可知在U上连续．练习23(6.).•设f:X→Y连续，xn→x，则f(xn)→f(x)．证明•由f的连续性可知，对f(x)的任意邻域V，存在x的邻域U，使得f(U)⊆V．–再由序列的收敛性可知，存在正整数N，当nN时，有xn∈U．–于是当nN，有f(xn)∈V，所以f(xn)→f(x)．练习24(7.).•设f:X→Y连续满射，其中X是可分的，证明Y也是可分的．证明•设A是X的可数稠密子集，则A−=X．–由于f是满射，有f(A−)=f(X)=Y．–另一方面，由于f连续，有Y=f(A−)⊆f(A)⊆Y，所以f(A)=Y．–因此(f(A))−Y=f(A)∩Y=Y，即f(A)是Y的可数稠密子集．练习25(8.).•证明恒等映射id:(R;τc)→(R;τf)是连续映射，但不是同胚．证明•任取V∈τf，则id−1(V)=V∈τC，所以id:(R;τc)→(R;τf)连续