拉格朗日第二类方程

1第三篇完整系统动力学自由度f=广义坐标数k2应用动力学普遍方程求解复杂的非自由质点系的动力学问题并不方便，由于约束的限制，各质点的坐标不独立，解题时必须用约束方程消去多余的坐标变分。如果先考虑约束条件，采用广义坐标表示动力学普遍方程，就可得到与广义坐标数目相同的一组独立的微分方程，从而使复杂的动力学问题变得简单，这就是著名的拉格朗日方程。拉格朗日第二类方程是研究动力学问题的又一有力手段，在解决非自由质点系的动力学问题时，显得十分简捷、规范。第六章拉格朗日第二类方程3质点系：n个质点，受d个完整约束，取k=3n-d个广义坐标：q1，...，qk，系统的位形：6.1动能的广义坐标表达式)1.1.6(),,...,(21tqqqrrkii)2.1.6(1trqqrrijkjjii于是：系统的动能：)3.1.6(2121211iniiiiniirmrrmTtrqriji/,/其中都是qj和t的函数4trtrmqtrqrmqqrqqrminiiijinikjjiiijkjkjinii1111112121)()(21111trqqrtrqqrmikiijkjjiniitrtrmqtrqrmqqqrqrminiiijikjnijiijikjkjinii11111121)()(215显然，aj、bj、c都是都是qj和t的函数令再令qrqrmaijiniij1trqrmbinijiij1trtrmciniii1qqaTjkjkj11221jkjjqbT11cT210则系统的动能：T=T2+T1+T0(6.1.5)式中T2、T1、T0分别是广义速度的二次、一次、零次齐次函数6对定常系统，中不显含时间t，即，于是T1=0，T0=0ir0/tri)6.1.6(21112qqaTTjkjkj故定常系统的动能是广义速度的二次齐次函数（二次型）。由于动能恒为正，故只有当系统所有质点全部静止时动能才有零值，因而以广义速度表示的动能的二次型是正定的。计算出系统的动能后，含有或的项为T2，含有的项为T1，不含的项为T0。见P143例6-22qqqjqq6.2拉格郎日第二类方程一拉格郎日第二类方程7设有n个质点组成的质点系，受完整约束，具有f=k个自由度，可由k个广义坐标q1，q2，...，qk确定其位置。在非定常约束下，质点系中任一质点Mi的矢径)(),2,1(),,,(21anitqqqrrkiiMi的虚位移（固定时间t）：)(),2,1(...12211bniqqrqqrqqrqqrrkjjjikkiiii代入质点系动力学普遍方程：)1.1.3(0)(1niiiiiramF8)1.1.3(0)(1niiiiiramF)(11dqQrFkjjjniiininiiiiiicramrF11)(0得：第一项：主动力在质点系的虚位移的元功之和：第二项：惯性力在质点系的虚位移的元功之和：)()(11111eqqramqqramramjjikjniiinijkjjiiiniiii9)()(fqrdtdvmqrvmdtdqramjiiijiiijiii为简化上式,需要用到以下两个关系式：①Mi点的速度：由(a)式)(...12211gtrqqrtrqqrqqrqqrdtrdvikjjjiikkiiiii广义速度—式中：jqjiiijiiijiiiqrdtdvmqramqrvmdtd)(10trqriji,由（a）知只是广义坐标和时间的函数，与广义速度无关，故将上式对求偏导：jq)(hqvqrjiji②将（g）对任一广义坐标ql求偏导：)()()(2121iqtrqqqrtrqqqrqqvlijkjjliiljjikjlli将（a）式先对ql求偏导再对t求导：11)()()()(...)()()(21212211jqtrqqqrqrtqqrqdtdtqrtdtdqqrqdtdqqrqqrdtdlijkjljilijlikjjlililili比较（i）（j）得)(liliqrdtdqv12将下标l换成j得：)()(kqvqrdtdjiji将（h）（k）代入（f）得：)()21()21()(22lqvmqvmdtdqvvmqvvmdtdqramjiijiijiiijiiijiii13于是（e）式为)(][])21()21([])21()21([)(1212112211111mqqTqTdtdqqvmqvmdtdqqvmqvmdtdqqramramjjjkjjjiinijiinikjjjiijiikjnijjiikjniiiinii14将（d）（m）代入（c）得：),1,2,(kjQqTqTdtdjjj0)(11jjjkjjkjjqqTqTdtdqQ0)1jjjkjjqqTqTdtdQ（或：由于δqj彼此独立，所以：这就是拉格朗日第二类方程。(6.2.5)适用范围：完整系统。15（2）有势力、非有势力都适用（4）不含约束力。),,()1(tqqTTjjjFjqAQ)3(如果作用于质点系的力是有势力，则：jjqVQ二、保守系统的拉格朗日方程而拉氏方程为：16jjjqVqTqTdtd由于V=V（q1，q2，...，qk），不含广义速度，所以0,0jjqVdtdqVjjjjqVqVdtdqTqTdtd上式为：0)()(jjqVTqVTdtd或：令L=T-V——拉格朗日函数),1,2,(0)(kjqLqLdtdjj保守系统的拉格朗日第二类方程。17应用拉氏方程解题的步骤：1.判定质点系的自由度f，选取适宜的广义坐标。必须注意：不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。2.计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。3.计算广义力，计算公式为：),1,2,(kjQj)(1jiijiijiinijqzZqyYqxXQ或jjFjqAQ若主动力为有势力，须将势能V表示为广义坐标的函数。4.建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。5.求出上述一组微分方程的积分。18[例]图示行星齿轮机构位于水平面内。均质杆OA：重P，可绕O点转动；均质小齿轮：重Q，半径r，沿半径为R的固定大齿轮滚动。系统初始静止，系杆OA位于图示OA0位置。已知杆OA受大小不变力偶M作用后，求杆OA的运动方程。所受约束皆为完整、理想、定常的，取OA杆转角为广义坐标。rrRrvrRvAAA)(解：图示机构只有一个自由度192222222222222)(92121)(2121)(21)(3121212121rRgQPrrRrgQrRgQrRgPJvgQJTAAAO0;)(9261;)(926122TrRgQPTdtdrRgQPTMAQMA20由拉氏方程：g))(92(60)(926122rRQPMMrRgQP积分，得：2122))(92(3CtCgtrRQPM22))(92(3gtrRQPM故：代入初始条件，t=0时，得00,02100CCQTTdtd21[例]图示系统，物块C质量为m1，均质轮A、B质量均为m2，半径均为R，A作纯滚动，求系统的运动微分方程。解：系统具有一自由度，保守系统。以物块C的平衡位置为原点，取x为广义坐标：22222121212121BBAAAJvmJxmT2222222221)(2121)2(21)2(212121RxRmxmRxRmxm221)78(161xmm以平衡位置为重力势能零点，弹簧原长处为弹性势能零点，则22gxmxkVst12)2(21静止平衡时弹簧的伸长—stgmkst12静止平衡时有：gxmxkxmmVTLst12221)2(21)78(161xmmxL)78(8121xmmxLdtd)78(8121kxgmxkxLst4121)2(1代入到拉氏方程得：0xLxLdtd02)78(21kxxmm23[例]与刚度为k的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l，摆锤质量为m2，试列出该系统的运动微分方程。解：系统为保守二自由度系统。取x,为广义坐标，x轴原点位于弹簧自然长度位置，逆时针转向为正。cos2)sin()cos(222222lxlxllxvB24cos21)(21)cos2(2121212122222212222212221lxmlmxmmlxlxmxmvmxmTB以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面为重力势能零点，则：cos2122glmkxVkxxLlmxmmxLglmkxlxmlmxmmVTL,cos)(cos21cos21)(2122122222222125sincos)(sinsin,cossincos)(22222222222221lxmlxmlmLdtdglmlxmLlxmlmLlmlmxmmxLdtdkxxLlmxmmxL,cos)(221由拉氏方程：0)(0)(LLdtdxLxLdtd并化简得：0sincos0sincos)(22221glxkxlmlmxmm260sincos0sincos)(22221glxkxlmlmxmm系统的运动微分方程。00)(22221glxkxlmlmxmm上式为系统在平衡位置(x=0,=0)附近微幅运动的微分方程。若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时1o,cos1,sin，则276.3拉格朗日方程的第一积分拉格朗日方程是关于广义坐标的二阶非线性微分方程组，要求它们的积分一般是很困难的。但是对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式的首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简化。保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循环积分。一、能量积分设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数L=T-V中不显含t，即，则),(jjqqLL28)(dd