55【电动力学课件】1-5-6 电磁场边值关系-能量和能流

麦克斯韦方程组可以应用于任何连续介质内部。在两介质分界面上，由于一般出现面电荷、面电流分布，使物理量发生跃变，微分形式的麦克斯韦方程组不再适用。因此，我们要用另一种形式描述界面两侧的场强以及界面上电荷电流的关系。第五节电磁场边值关系1边值关系是描述两侧场量与界面上电荷电流的关系。由于场量跃变的原因是面电荷、电流激发附加的电磁场，而积分形式的麦氏方程可以应用于任意不连续分布的电荷电流所激发的场，因此，在两介质分界面上，应该用麦氏方程组的积分形式求解电磁场。边值关系就是两介质分界面上经过化简以后的麦氏方程组的积分形式。下面我们分别求出场量的法向分量和切向分量的跃变。2麦氏方程组的积分形式为：(1)(2)(3)(4)我们先从最简单的开始。在分界面上化简0d=⋅∫SB=⋅⋅==⋅⋅+=⋅⋅−=⋅∫∫∫∫∫∫∫0dddddddddddfSVSSLSLVQtItSBSDSDlHSBlEρ3当柱体的厚度趋于零时,对侧面的积分趋于零,对上下底面积分得(B2n−B1n)∆S=0。1.关于磁感应强度的边值关系：0d=⋅∫SB将方程应用到两介质2B1BB2n=B1n或矢量形式：n·(B2-B1)=0此式表示界面两侧B的法向分量连续。由此得到：分界面上的一个扁平状柱体表面。上式左边的面积分遍及柱体的上下底和侧面。4质边界上的一个扁平状柱体表面。上式左边的面积分遍及柱体的上下底和侧面。当柱体的厚度趋于零时,对侧面的积分趋于零,对上下底面积分得(D2n−D1n)∆S。2.关于电位移矢量的边值关系：2D1D将方程应用到两介fdQ=⋅∫SD(D2n−D1n)∆S=σf∆S即D2n−D1n=σfn·(D2-D1)=σf或矢量形式：由此得到：5为了弄清楚边界条件的物理意义，我们先把总电场的麦氏方程:上式左边的面积分遍及柱体的上下底和侧面,Qf和Qp分别为柱体内的总自由电荷和总束缚电荷,它们等于相应的电荷面密度σf和σp乘以底面积∆S。当柱体的厚度趋于零时,对侧Pf0dQQS+=⋅∫Eε应用到两介质边界上的一个扁平状柱体。面的积分趋于零,对上下底面积分得ε0(E2n−E1n)∆S。6如右图:通过薄层右侧面进入介质2的正电荷为:P2·dS，由介质1通过薄层左侧进入薄层的正电荷为P1·dS，因此，薄层内出现的净余电荷为−(P2−P1)⋅dS，以σP表示束缚电荷面密度，有ε0(E2n−E1n)∆S=Qf+Qpε0(E2n−E1n)=σf+σpSPPd)(d21P⋅−=Sσ)(21PPPn−⋅=σ由此，n为分界面上由介质1指向介质2的法线。7由此看出，极化强度矢量的跃变与束缚电荷面密度相关，Dn的跃变与自由电荷面密度相关，En的跃变与总电荷面密度相关。P12σ−=−nnPP与ε0(E2n−E1n)=σf+σp相加，将利用得：nnnnnn22021101PEDPED+=+=εε，f12σ=−nnDD由上面的推导我们可以看清楚自由电荷和面束缚电荷在边值关系中所起的作用。由于在通常情况下只给出自由电荷，因而实际上主要应用关于Dn的边值关系式。8面电荷分布使界面两侧电场法向分量发生跃变，我们可以证明面电流分布使界面两侧磁场切向☺面电流分布:面电流实际上是在靠近表面的相当多分子层内电流的平均宏观效应。3.关于磁场强度的边值关系：分量生跃变。我们先说明表面电流分布的概念。9图示为界面的一部分，其上有面电流，其线密度为α，∆l为横截线，垂直流过∆l段的电流为:∆I=α∆l☺关于磁场强度的边值关系：旁取一狭长形回路，回路的一长边在介质1中，另一长边在介质2中。长边∆l与面电流α正交。定义电流线密度α，其大小等于垂直通过单位横截线的电流。由于存在面电流，在界面两侧的磁如图，在界面两场强度发生跃变。10在狭长形回路上应用麦氏方程：∫∫⋅+=⋅SLtISDlHddddf取回路上下边深入到足够多分子层内部，使面电流完全通过回路内部。其中t表示沿∆l的切向分量。lHHL∆−=⋅∫)(d1t2tlHIf=αf∆l由于回路所围面积趋于零，而∂D/∂t为有限量，因而0ddd→⋅∫StSD从宏观来说回路短边的长度仍可看作趋于零，因而有通过回路内的总自由电流为11把这些式子代入得:∫∫⋅+=⋅SLtISDlHddddff12αtt=−HH上式可以用矢量形式表示。设∆l为界面上任一线元，t为∆l方向上的单位矢量。流过∆l的自由电流为对于狭长形回路，应用得lnααln∆⋅×=⋅∆×=fffI∫∫⋅+=⋅SLtISDlHddddflnαlHHlH∆⋅×==∆⋅−=⋅∫ff12)(dIL()bac×⋅()cba×⋅()acb×⋅12由于∆l为界面上任一矢量，因此上式再用n叉乘注意到这就是磁场强度切向分量的边值关系。nαHH×=−f//12)()()(12//12HHnHHn−×=−×0f=⋅αn得到f12)(αHHn=−×式中//表示投射到界面上的矢量。()()()××=⋅−⋅abccabbca134.关于电场强度的边值关系：即E2t−E1t=02E1Enl∆∫∫⋅−=⋅SLtSBlEdddd同理，应用可得电场切向分量的边值关系。此式表示界面两侧E的切向分量连续。0)(d1t2t=∆−=⋅∫lEELlE对应的矢量形式为：0)(12=−×EEn14以后在公式中出现的σ和α,除特别声明者外，都代表自由电荷面密度和自由电流线密度，不再写出角标f。这组方程和麦氏方程积分式一一对应。边值关系表示界面两侧的场以及界面上电荷电流的制约关系，它们实质上是边界上的场方程。=−⋅=−⋅=−×=−×0)()()(0)(12121212BBnDDnαHHnEEnσ==−=−=nnnnttttα12121212BBDDHHEEσ或总括我们得到的边值关系为：15同样，把边值关系应用到上板与介质2界面上得无穷大平行板电容器内有两层介质(如图)，极板上面电荷密度±σf，求电场和束缚电荷分布。例题:解:由对称性可知，电场沿垂直于平板的方向，把边值关系应用于下板与介质1界面上，因导体内场强为零，故得由此可得：f1σ=D，f2σ−=−Df2σ=D2f2εσ=E，1f1εσ=E束缚电荷分布于介质表面上。在两介质界面处,σf=0，由ε0(E2n−E1n)=σf+σp得：16f1020120P)(σεεεεεσ−=−=EE在介质1与下板分界处，由ε0(E2n−E1n)=σf+σp得−−=+−=′10f10fP1εεσεσσE容易验证说明介质整体是电中性的。在介质2与上板分界处，−=−=′′20f20fP1εεσεσσE0PPP=′′+′+σσσ17第六节电磁场的能量和能流EnergyandEnergyFlowofElectromagneticField18一、场和电荷系统的能量守恒定律电磁场是一种物质，它具有内部运动，其能量按一定方式分布于场内。而且由于场的运动，场的能量并不是固定地分布于空间中，而是随着场的运动在空间中传播。因此，各处的场，能量可能变化，我们需要引入两个物理量来描述。1.场的能量密度（用w表示）2.场的能流密度矢量（用S表示）S描述能量在场内的传播，在数值上等于单位时间垂直流过单位横截面的能量，其方向代表能量传输方向。它是场在单位体积内的能量。是坐标和时间的函数，记作w(x,t)。19能量既不能凭空产生，也不能无缘无故地消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或从一个地方转移到另一个地方。能量守恒的积分形式:通过界面σ流入V内的能量场对电荷系统作功的功率V内场的能量的增加率∫∫∫+⋅=⋅−VwtVdddddvfSσ↙↓↘3.场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式对于电磁场和电荷组成的系统，能量的转化和转移都是可能的。能量的转化由作功来描述，能量的转移由能流密度来描述。20相应的微分形式:如果V包括整个空间，则结论:场对电荷作功的总功率等于场的总能量减小vfS⋅−=∂∂+⋅∇tw∫∫−=⋅∞VwtVddddvf率，因此场和电荷的总能量守恒。0d=⋅∫σS21二.电磁场能量密度和能流密度矢量的表达式由洛伦兹力公式得:EJvEvBvEvf⋅=⋅=⋅×+=⋅ρρ)(t∂∂⋅−×∇⋅=⋅DEHEEJ)(t∂∂−×∇=DHJ由上式可见，J应是自由电流，用场量表示出来，得到：所以1.一般表达式t∂∂⋅−×∇⋅+×⋅−∇=DEEHHE)()(tt∂∂⋅−∂∂⋅−×⋅−∇=BHDEHE)()()()(gfgfgf×∇⋅−⋅×∇=×⋅∇22代入vfS⋅−=∂∂+⋅∇tw将tt∂∂⋅−∂∂⋅−×⋅−∇=⋅=⋅BHDEHEEJvf)(HES×=tttw∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂BHDEtttw∂∂⋅+∂∂⋅+×⋅∇=∂∂+⋅∇BHDEHES)(得所以，定义：坡印亭矢量232.真空中在真空中，相互作用的物质是电磁场和自由电荷，能量在两者之间转移。因此BES×=01µ)1(212020BEwµε+=BH01µ=ED0ε=在真空中243.介质中在介质中，相互作用的系统包括三个方面：电磁场、自由电荷、介质。场对自由电荷作功的功率密度为J⋅E，它或者变为电荷的动能，或者变为焦耳热。场对介质中束缚电荷所作的功转化为极化能和磁化能而储存在介质中，也可能有一部分转化为分子热运动（介质损耗）。当外场变化时，极化能和磁化能亦发生变化，如果不计及介质损耗，则这种变化是可逆的。25介质的极化和磁化状态由介质电磁性质方程确定，一定的宏观电磁场对应于一定的介质极化和磁化状态，因此我们把极化能和磁化能归入场能中一起考虑，成为介质中的总电磁能量。S和w就是这种总电磁能量的能流密度和能量密度。介质中场能量的改变量为:对于简单介质所以:BHDEδδδ⋅+⋅=wEDε=HBµ=)(21BHDE⋅+⋅=w26①导线内电荷定向移动的速度很小，而电能的传输速度三、电磁能量的传输在电磁波情形中，能量在场中传播是容易理解的。在输电线路情形中，即直流电或低频交流电情况下，电磁能量也是通过电磁场传播的，可能不好理解，但这恰是电磁能传输的实质。1.电磁能的传输不是靠电流！V~6×10-5m/s，电能的传输速度为c=3×108m/s。却很大。导线内电荷定向移动的速度为27③如果电磁能是靠电流传输，功率P与U成正比无法得到②导线内电荷定向移动的速度很小，相应的动能也很小。1mm2的导线通过1A的电流，由电子携带的能量，每秒钟只有2×10-20J。而在恒定的情况下，整个回路上，电流都有相同的值，因此，电子运动的能量并不是供给负载上消耗的能量。解释。④电磁能的传输，可以有电路，也可以没有电路。282.电磁能的传输靠的是电场和磁场电磁能的传输必须有能量流动，即S≠0，所以E×H≠0①直流电：必须将正负极与用电器连通，采用双线制。③随着频率的升高，平行双线演化为同轴电缆。②交流电：存在多种输电线路，最简单的是双线制。④频率继续提高，同轴电缆演化为波导。⑤频率再提高，金属波导管演化为光缆。29同轴传输线内导线半径为a，外导线半径为b，两导线间为均匀绝缘介质(如图)。导线载有电流I，两导线间的电压为U。(2)计及内导线的有限电导率,计算通过内导线表面进入导线内的能流,证明它等于导线的损耗功率.例：(1)忽略导线的电阻,计算介质中的能流S和传输功率;30一圆周(arb),应用安培解：(1)以距对称轴为r的半径作因而电荷(电荷线密度)为τ，IrH=θπ2rIHπθ2=可得ετπ=rrE2，因而επτrEr2=环路定律,由对称性得导线表面上一般带有电荷，设内导线单位长度的应用高斯定理由对称性，31能流密度为式中ez为沿导线轴向单位矢量。两导线间的电压为:因而zzrerIeHEˆ4ˆ22επτθ==×=HESbarEUbarln2dπετ==∫zebarUIˆ)/ln(22π=S32把S对两导线间圆环状截面积积分得：(2)设导线的电导率为σ，由欧姆定律,在导线内有UI即为通常在电路问题中的传输功率表达式。表面的介质内，电场除有径向分量Er外，还有UIrrbaUIrrSPbaba===∫∫d1)/ln(d2πzea