(文理通用)2019届高考数学大二轮复习-第1部分-专题7-概率与统计-第2讲-计数原理与二项式定理

部分专题强化突破专题七概率与统计第二讲计数原理与二项式定理(理)1高考考点聚焦2核心知识整合3高考真题体验4命题热点突破5课后强化训练高考考点聚焦高考考点考点解读两个计数原理1.与涂色问题、几何问题、集合问题等相结合考查2．与概率问题相结合考查排列、组合的应用1.以实际生活为背景考查排列、组合问题2．与概率问题相结合考查二项式定理的应用1.考查二项展开式的指定项或指定项的系数2．求二项式系数和二项展开式的各项系数和•备考策略•本部分内容在备考时应注意以下几个方面：•(1)准确把握两个计数原理的区别及应用条件．•(2)明确解决排列、组合应用题应遵守的原则及常用方法．•(3)牢记排列数公式和组合数公式．•(4)掌握二项式定理及相关概念；掌握由通项公式求常数项、指定项系数的方法；会根据赋值法求二项式特定系数和．•预测2019年命题热点为：•(1)以实际生活为背景的排列、组合问题．•(2)求二项展开式的指定项(系数)、二项展开式的各项的系数和问题．核心知识整合1．必记公式(1)排列数公式：Amn＝________________________＝____________(这里，m，n∈N*，且m≤n)．(2)组合数公式：①Cmn＝____________________________＝_________________(这里，m，n∈N*，且m≤n)；②C0n＝1.n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n！n－m！nn－1n－2…n－m＋1m！n！m！n－m！(3)二项式定理：①定理内容：(a＋b)n＝________________________________________________；②通项公式：Tk＋1＝_________________.2．重要性质及结论(1)组合数的性质：①Cmn＝_______；②Cmn＋1＝_______＋_______；③C0n＋C1n＋…＋Cnn＝________；④Cmn＋Cmn－1＋…＋Cmm＝_______.C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)Cknan－kbkCn－mnCmnCm－1n2nCm＋1n＋1(2)二项式系数的有关性质：①二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝_______；②若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中的各项系数和为f(1)，奇数项系数和为a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－12，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝_________________.2n－1f1－f－12•1．分类标准不明确，有重复或遗漏，平均分组与平均分配问题．•2．混淆排列问题与组合问题的差异．•3．混淆二项展开式中某项的系数与二项式系数．•4．在求展开式的各项系数之和时，忽略了赋值法的应用．高考真题体验1．(2018·全国卷Ⅲ，5)x2＋2x5的展开式中x4的系数为()A．10B．20C．40D．80C[解析]展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr5(x2)5－r2xr＝2rCr5x10－3r，令10－3r＝4可得r＝2，则x4的系数为22C25＝40.2．(2017·全国卷Ⅱ，6)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种D[解析]由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C13·C24·A22＝36(种)，或列式为C13·C24·C12＝3×4×32×2＝36(种)．故选D．3．(2016·全国卷Ⅱ，5)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24B．18C．12D．9B[解析]E→F有6种走法，F→G有3种走法，由分步乘法计数原理知，共6×3＝18种走法．4．(2018·天津卷，10)在x－12x5的展开式中，x2的系数为_______.52[解析]因为x－12x5的第r＋1项Tr＋1＝Cr5x5－r－12xr＝(－1)r2－rCr5x10－3r2，令10－3r2＝2，解得r＝2，即T3＝T2＋1＝(－1)22－2C25x2＝52x2.所以在x－12x5的展开式中，x2的系数为52.5．(2018·浙江卷，14)二项式3x＋12x8的展开式的常数项是_____.7[解析]通项公式为Tr＋1＝Cr8(3x)8－r12xr＝Cr82－rx8－4r3，由8－4r＝0得r＝2，所以常数项为C282－2＝7.6．(2018·全国卷Ⅰ，15)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_______种．(用数字填写答案)16[解析]方法一：根据题意，没有女生入选有C34＝4种选法，从6名学生中任意选3人有C36＝20种选法，故至少有1位女生入选的选法共有20－4＝16种．方法二：恰有1位女生，有C12C24＝12种，恰有2位女生，有C22C14＝4种，所以不同的选法共有12＋4＝16种．命题热点突破命题方向1两个计数原理(1)将1,2,3，…，9这九个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法有(A)A．6种B．12种C．18种D．24种[解析]分三个步骤：第一步，数字1,2,9必须放在如图的位置，只有1种方法．第二步，数字5可以放在左下角或右上角两个位置，故数字5有2种方法．第三步，数字6如果和数字5相邻，则7,8只有1种方法；数字6如果不和数字5相邻，则7,8有2种方法，故数字6,7,8共有3种方法．根据分步乘法计数原，有1×2×3＝6种填写空格的方法．(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1a2且a3a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数的个数为()A．240B．204C．729D．920A[解析]分8类，当中间数为2时，有1×2＝2(个)；当中间数为3时，有2×3＝6(个)；当中间数为4时，有3×4＝12(个)；当中间数为5时，有4×5＝20(个)；当中间数为6时，有5×6＝30(个)；当中间数为7时，有6×7＝42(个)；当中间数为8时，有7×8＝56(个)；当中间数为9时，有8×9＝72(个)．故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．•『规律总结』•两个计数原理的应用技巧•(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．•(2)对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．1.如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有()A．72种B．48种C．24种D．12种A[解析]解法一：首先涂A有C14＝4(种)涂法，则涂B有C13＝3(种)涂法，C与A，B相邻，则C有C12＝2(种)涂法，D只与C相邻，则D有C13＝3(种)涂法，所以共有4×3×2×3＝72(种)涂法．解法二：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A、B、C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法．所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种)．2．(2018·长沙一模)设集合A＝{(t1，t2，t3)|ti∈{－2,0,2}，i＝1,2,3}，则集合A中满足条件：“1|t1|＋|t2|＋|t3|6”的元素个数为______.18[解析]对于1|t1|＋|t2|＋|t3|6，可分以下几种情况：①|t1|＋|t2|＋|t3|＝2，即此时集合A的元素含有一个2或－2，两个0.2或－2从三个位置选一个有3种选法，剩下的位置都填0，这种情况有6种；②|t1|＋|t2|＋|t3|＝4，即此时集合A含有两个2或－2，一个0；或者一个2，一个－2，一个0.当是两个2或－2，一个0时，从这三个位置任选一个填0，剩下的两个位置都填2或－2，这种情况有3×2＝6种；当是一个2，一个－2，一个0时，对这三个的全排列即得到3×2×1＝6种．由分类加法计数原理可知：集合A中满足条件：“1|t1|＋|t2|＋|t3|6”的元素个数为6＋6＋6＝18.命题方向2排列与组合的简单应用•(1)(2018·郑州一模)某次联欢会要安排3个歌舞类节，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()•A．72种B．120种•C．144种D．168种B[解析]先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A22C13A23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A22A34＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．(2)(2018·衡水模拟)数列{an}共有12项，其中a1＝0，a5＝2，a12＝5，且|ak＋1－ak|＝1，k＝1,2,3，…，11，则满足这种条件的不同数列的个数为()A．84B．168C．76D．152[解析]∵|ak＋1－ak|＝1，k＝1,2,3，…，11，∴前一项总比后一项大1或小1，a1到a5中4个变化必然有3升1减，a5到a12中必然有5升2减，是组合的问题，∴C14×C27＝84.A•『规律总结』•解答排列组合问题的常用方法•排列组合问题从解法上看，大致有以下几种：•(1)有附加条件的排列组合问题，大多需要用分类讨论的方法，注意分类时应不重不漏；•(2)排列与组合的混合型问题，用分类加法或分步乘法计数原理解决；•(3)元素相邻，可以看作是一个整体的方法；•(4)元素不相邻，可以利用插空法；•(5)间接法，把不符合条件的排列与组合剔除掉；•(6)穷举法，把符合条件的所有排列或组合一一写出来；•(7)定序问题缩倍法；•(8)“小集团”问题先整体后局部法．•1．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()•A．192种B．216种•C．240种D．288种[解析]分两类：最左端排甲有A55＝120种不同的排法，最左端排乙，由于乙不能排在最右端，所以有C14A44＝96种不同的排法，由加法原理可得满足条件的排法共有120＋96＝216种．B•2．将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________.96[解析]5张参观券分为4堆，有2个连号的有4种分法，每一种分法中的不同排列有A44种，因此共有不同分法4A44＝96种．命题方向3二项式定理的应用•(一)与特定项有关的问题(1)二项式(x－13x)n的展开式中第4项为常数项，则常数项为()A．10B．－10C．20D．－20B[解析]由题意得：(x－13x)n的展开式的常数为T4＝(－1)3C3n(x)n－3(13x)3＝(－1)3C3nxn－52，令n－5＝0，得n＝5，故所求的常数项为T4＝(－1)3C35＝－10.(2)在(2x＋1x2)(x2－1x)4的展开式中，含x3的项的系数是_____.[解析](x2－1x)4的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr4(x2)4－r(－1x)r＝(－1)rCr4x8－3r，则含x2的项的系数为(－1)2C24＝6，含x5的项的系数为(－1)