初等数学常用公式

-1-初等数学常用公式：（一）代数乘法及因式分解公式（1）(1)(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(2)(a±b)2=a2±2ab+b2(3)(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(5)(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3ab2+3b2c+3bc2+3a2c+3ac2+6abc(6)a2-b2=(a-b)(a+b)(7)a3±b3=(a±b)(a2ab+b2).(8)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)(n为正整数)(9)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)(n为偶数)(10)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)(n为奇数)2。指数运算（设a,b,是正实数，m,n是任意实数）1.指数定义下面（1）--（3）式中，m、n均为正整数．（1）an=(n个a的乘积）；(2)(3)(4)无理指数幂可用有理指数幂近似表示.例如-2-2.指数运算法则（1）（2）(3)(4)(5)式中a.0，b0；x1，x2，x为任意实数．3.对数定义若ax=b(a0,a≠1)，则x称为b的以a为底的对数，记作当a=10时，，称为常用对数.当a=e时，，称为自然对数.4.对数的性质（1）(2)(3)(4)(5)换底公式由此可推出：（a）（在换底公式中取c=b）(b)（在换底公式中取c=10）5.对数运算法则(1)-3-(2)(3)（x为任意实数）1.基本不等式在下面1）～5）各式中，设ab,则1)a±cb±c2)acbc(c0)；acbc(c0)3),4)anbn(n0,a0,b0);anbn(n0,a0,b0)5)(n为正整数,a0,b0)6）设且b,d同号，则2.有关绝对值的不等式(1)绝对值的定义实数a的绝对值实数的绝对值是数轴上点到原点的距离．(2)有关绝对值的不等式(a)若a,b,…,k为任意复数（包含实数），则-4-(b）若a,b为任意复数（包含实数），则(c）若则-b≤a≤b特别有（d）若则ab或a-b（e）（f）若a,b,…,k为任意复数（包含实数），则(g）若a,b,…,k为任意复数（包含实数），则有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式1)sinxxtgx(0x)2)cosx1(0xπ)3)()4)(-∞x∞,x≠0)5)(x0)6)(0x)7)(0x1,x≠)-5-8)(x≠0)9)(x1,x≠0)10)(n为自然数，x0)11)(x≠0)12)(x-1,x≠0)13)(x-1,x≠0)14)(x-1,x≠0)特别取(n为自然数),有15）lnx≤x-1(x0)阶乘、排列、组合、二项与多项式1.阶乘注：表中n为自然数定义说明0！=1规定n的阶乘(-1)!!=0规定(21)!(21)!!135(21)2!nnnnn奇数的阶乘0!!=0规定偶数的阶乘-6-2.排列(a)从n个不同的元素中每次取出k个(k≤n)不同的元素，按一定的顺序排成一列，称为排列．其排列种数为：(b)特别当k=n时，此排列称为全排列．其排列种数为：3.组合(a)从n个不同的元素中每次取出k个(k≤n)不同的元素，不管其顺序合并成一组，称为组合．其组合种数为：(b)组合公式4.二项与多项式二项式公式代数方程1．一元n次代数方程-7-其中n为正整数；a0,a1,…,an是属于数域S（实数域或复数域）的常数；x为未知数.f(x)称为一元n次多项式；方程f(x)=0称为一元n次代数方程；最高次项系数a0称为首项系数.设c是一常数，使f(c)=0,则称c为多项式f(x)或方程f(x)=0的根．代数基本定理每个复数域上n次代数方程在复数域中至少有一个根．代数基本定理的推论每个n次代数方程在复数域中有且只有n个根.2．一元二次方程方程根的表达式根与系数关系判别式有两个不等的实根有两个相等的实根有两个复根有两个不等的实根有两个相等的实根有两个复根二.三角函数公式表同角三角函数的基本关系式倒数关系:商的关系：平方关系：-8-tanα·cotα＝1sinα·cscα＝1cosα·secα＝1sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secαsin2α＋cos2α＝11＋tan2α＝sec2α1＋cot2α＝csc2α（六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”）诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。）sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotαsin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotαsin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβtan（α＋β）=------——————1－tanα·tanβtanα－tanβtan（α－β）＝------——————1＋tanα·tanβ2tan(α/2)sinα＝--——————1＋tan2(α/2)1－tan2(α/2)cosα＝----——————--1＋tan2(α/2)2tan(α/2)tanα＝-----——————1－tan2(α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式-9-二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝—————1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin———·cos———22α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos———·sin———22α＋βα－βcosα＋cosβ＝2cos———·cos———22α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin———·sin———221sinα·cosβ＝---[sin（α＋β）＋sin（α－β）]21cosα·sinβ＝---[sin（α＋β）－sin（α－β）]21cosα·cosβ＝---[cos（α＋β）＋cos（α－β）]21sinα·sinβ＝—-[cos（α＋β）－cos（α－β）]2化asinα±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）三.初等几何-10-在下列公式中，字母R，r表示高，l表示斜高，s表示底面积1.园：周长2r2.扇形：面积212r，其中r为半径，为扇形的园心角（以弧度计），r为扇形的弧长3.棱锥：体积13sh4.正园锥：体积213rh；侧面积rl；全面积()rrl5.截圆锥：体积22()3hRrRr；侧面积()lRr6.体积343r；表面积24r直棱柱侧面积S=c·h斜棱柱侧面积S=c'h正棱锥侧面积S=1/2c.h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=(R+r)l球的表面积S=4r2圆柱侧面积S=ch=2h圆锥侧面积S=1/2cl=rl弧长公式l=ara是圆心角的弧扇形面积公式s=1/2lr-11-度数r0锥体体积公式V=1/3SH圆锥体体积公式V=1/3r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=sh圆柱体V=r2h常用直线方程（点斜式、斜截式、两点式和截距式）(一)点斜式已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程．重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．-12-当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1．当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．(二)斜截式已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0)也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．(三)两点式-13-已知直线l上的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l的方程．当y1≠y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式．对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y就用x代换得到，足码的规律完全一样．(四)截距式例1已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0，b≠0)，求直线l的方程．解：因为直线l过A(a，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得就是这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式．对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．