762016年数学建模竞赛A题优秀论文

1系泊系统设计的多目标优化模型摘要本文针对系泊系统的设计问题，通过对影响系泊系统的各个部分和浮标进行受力分析和力矩分析，建立了使钢桶倾斜角、浮标吃水深度和游动区域半径最小的多目标优化模型，最终得到系泊系统的最优设计。当海面风速为12m/s和24m/s时，对于钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域半径的计算问题，基于悬链线方程的推导，首先对锚链线进行微元处理，然后对系泊系统各部分进行受力分析和力矩分析，得到系泊系统平衡时的刚体力学方程组。利用fsolve函数求解得到：海面风速为12m/s时,钢桶倾角约为1.14,从下至上各节钢管的倾斜角度依次为1.09,1.08,1.07,1.06、锚链形状呈双曲余弦函数型，锚链左侧约6.7m贴在海底、浮标的吃水深度为0.71m，游动区域半径为14.33m。海面风速为24m/s时，钢桶倾角为4.32°，浮标的吃水深度为0.72m，游动区域半径为17.48m。针对海面风速为36m/s时，系泊系统和浮标系统的参数计算以及重物球质量的优化设计问题。首先基于问题1中的刚体力学方程组，求解得到当海面风速为36m/s，重物球质量为1200kg时，钢桶倾角为8.98，从下到上各节钢管的倾斜角度依次为8.65,8.59°,8.53,8.47、浮标的吃水深度为0.75m，游动区域半径为18.77m。由于其不满足角度约束，故建立以钢桶倾斜角、浮标吃水深度和浮标游动区域半径最小为优化目标的多目标优化模型，对三个目标赋予不同权重。通过多重搜索算法，对重物球质量进行遍历，求解得到三个优化目标权重比值为0.8:0.1:0.1时，最优重物球质量为4090kg时，锚链左端点与海床夹角为0，钢桶倾角为1.27.针对考虑水流力和风力作用时，在水深变化的情况下系泊系统的锚链种类、长度、重物球质量的最优设计问题。仍建立多目标优化模型，以锚链种类、长度，重物球质量为决策变量，以钢桶倾斜角、浮标吃水深度和游动区域半径最小为优化目标，约束条件为锚链左侧与海平面夹角不超过16度。通过多重搜索算法对三个决策变量进行遍历，求解得到当水流速度与距海底高度成正比时，系泊系统的最优设计为：选取锚链型号5，长度为20.9m，重物球质量为4635.24kg。最终得到水中各点水流速度相同，以及水流速度自上而下线性递减时，水流力与风力同向、反向、垂直的情况下，海水深度为16m,17m,18m,19m,20m的系泊和浮标系统的各个参数。其中当水流力与风力同向、水中各点水流速度相同、海水深度为20m时，钢桶的倾角为4.37°，从下至上各节钢管的倾斜角度依次为4.28,4.22,4.16,4.10、浮标的吃水深度为1.81m，游动区域半径为15.86m。最后本文模型三中通过计算发现优化目标的权重发生一定改变时最优设计的参数不变，并对水流力与风力夹角任意时、对考虑无档链环连接的影响时的模型进行了分析和计算。关键词：系泊系统设计，刚体力学方程组，多重搜索算法，多目标优化2一、问题重述系泊系统的设计就是要确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角尽可能小。基于此要求解决以下问题：1.某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。在海水静止时，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。2.在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的游动区域。需调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。3.水深介于16m~20m之间，布放点海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。在考虑风力、水流力和水深情况下进行系泊系统设计，并分析所设计的系泊系统在不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。二、问题分析系泊系统的设计问题首先要求在给定设计参数下，求解钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。然后要根据不同风速和水速的数据，设计系泊系统的参数，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角尽可能小，且应该满足锚链左侧与海平面夹角16度。2.1基于力学分析的系泊系统参数计算当海面风速一定且海水静止时，钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域，与锚链线的方程、系泊系统各部分之间的受力平衡和力矩平衡的约束密切相关。由于传输节点各部分相互影响，根据力学相关知识，可以按照锚链→钢桶和重物球→钢管→浮标的顺序依次进行受力分析，从而得到各部分受力平衡时的定量解析式，通过这些表达式可以确定钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状。由于吃水深度与浮标受力直接相关，还可以确定浮标的吃水深度。对于浮标的游动区域，可以由稳定后系泊系统各个部分在水平方向投影的总长度来计算游动区域的最大半径。考虑将给定参数数据代入解析式，利用Matlab求解方程组的数值解，能够得到受力平衡时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。2.2海水静止时系泊系统的设计分析系泊系统的设计就是要确定重物球的质量，使得浮标的吃水深度、游动区域、钢桶的倾斜角尽可能小，因此问题2可以看做是一个优化问题。首先应在问题1的假设下，即利用问题1提供的系泊系统数据和各部分受力平衡时的定量解析式，求解风速为36m/s时的钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。需要调节重物球的质量时，应先分析重物球质量对方程组中其他变量的影响，然后将重物球视为决策变量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角都尽可能地小。对所建立的优化模型，在满足钢桶的倾斜角度不超过5度、锚链在锚点与海床的夹角不超过16度的情况下，考虑进行遍历搜索，找出尽可能小的浮标的吃水深度、游动区域及钢桶倾斜角度所对应的的重物球质量，即为最优的设计。2.3考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计3问题3与问题2的不同之处在于：锚链型号和长度未知、增加了水速的影响、且外界条件变化为水深16m~20m、海水流速最大1.5m/s、风速最大36m/s，即锚链型号，长度，重物球质量三个值均未知，这在很大程度上增加了优化模型的求解难度。问题3模型可建立在问题2模型之上，难点在于：由于锚链型号和长度未知，使得优化模型的决策变量会增加两个，但优化目标仍然可以为浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角尽可能小。由于此问增加了水速的影响，而水速和风速的夹角会直接影响系泊系统各部分的受力，可以分别讨论二力夹角分别为同向、反向、相互垂直的情况。此外，考虑到海面下各点的水速未必相同，还需要对各点水速不同时，以及海水高度16m到20m分别进行讨论。基于以上分析，可以将此问分为两个部分：第一部分求解并找到在最坏情况下，设计锚链的型号、长度和选择的重物球长度；第二部分基于第一部分的设计，利用问题1中系泊系统的受力方程组和问题三中需要考虑的优化目标，对于确定的最优的锚链型号、长度和重物球质量，求解相应的钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。三、模型假设1.假设锚链质量均匀，整体视为一条可微的曲线且不考虑锚链自身的弹性伸长。2.风力和水流力均视为水平方向的力，且不考虑浮标倾斜的情况。3.不考虑锚链与海底平面的摩擦力。四、符号说明4.1名词解释1.锚链线密度：即某种锚链单位长度的质量。2.钢管两侧拉力角度：钢管两侧拉力与竖直方向的夹角。3.钢管倾斜角度：由于钢管属于刚体，所以钢管倾斜角度与钢管两侧拉力角度可能不同。4.钢桶倾斜角度：钢桶中心轴线与竖直方向的夹角。5.锚链线方程：由于锚链线近似认为可微，故在所建立的直角坐标系下锚链线方程可以得到。6.水流力：即水流对物体的作用力。4.2变量说明变量名称含义单位1锚链左侧与海床的夹角2锚链右端点与海床的夹角T锚链两侧所受力Nf各物体所受浮力Ny(x)锚链线方程/kind某一种型号的锚链线密度kg/ms锚链线长度miF每根钢管两侧的拉力Ni钢管两侧拉力角度i钢管倾斜角度4i钢桶倾斜角度R浮标游动区域半径md浮标吃水深度mH海水深度m五、模型建立与求解5.1基于刚体力学分析的系泊系统参数计算方程组当海面风速一定且海水静止时，钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域与锚链线的方程、系泊系统各部分之间的受力平衡和力矩平衡的约束密切相关，因此需要对锚链的曲线，钢桶、钢管、浮标进行系统的力学分析，进而得出各部分受力平衡时的定量解析式。将给定的数据代入，可以求解相应的系泊系统参数。5.1.1系泊系统各部分的力学分析稳定后的系泊系统可以分为锚、锚链、钢桶和重物球、钢管、浮标五个部分。对于锚而言，由于锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度时，锚保持静止，因此无需分析锚的受力情况。建立系泊系统坐标系如图1所示，其中x轴为风力方向；xAy平面为海平面；原点A为锚链末端与锚的链接处。图1系泊系统坐标系下面对锚链、钢桶和重物球、钢管、浮标四部分的力学分析依次进行讨论：(1)锚链形状的方程推导由于假设锚链质量均匀，且不考虑锚链自身的弹性伸长，因此锚泊船的锚链完全符合悬链的基本条件[1]。参照悬链线方程的推导[2]，将锚链整体视为一条可微的曲线，锚链坐标系AC段如图2所示：图2锚链AC段坐标系在图2中，x轴为风力方向；xAy平面为海平面；原点A为锚链末端与锚的链接处；1表示锚链A端切线方向与x轴正方向的夹角；T1表示锚链A点所受拉力，方向沿绳；锚链右端视为C点，坐标设为(x1,y1)；T2表示C点所受拉力，5方向沿绳；2表示锚链C端切线方向与x轴正方向的夹角；B为锚链线上任意一点，坐标设为(x,y)；表示锚链B端切线方向与x轴正向的夹角；T表示B点所受拉力。对B点(x,y)进行受力分析，受力平衡时有如下方程：1111sinsincoscosTmgTTT(1)其中m表示B点左侧的锚链质量和，g代表重力加速度，记为B的切线方向与x轴正向的夹角。由坐标系可知，y对x的导数可以表示为：tandydx将(1)式代入得：1111sincosmgTdydxT(2)对于锚链，m=σs，其中s是AB锚链的长度，σ是锚链的线密度，即单位长度锚链的质量[1]。代入(2)式得：1111sincossgTdydxT(3)根据勾股定理可以得到弧长公式：21dydsdxdx积分得到21'sydx，代入(3)式移项可得：21111cossin1'dyTTgydxdx对上式做一次变量替换，令'py，得到如下方程：21111cossin1pTTgpdx为了将积分符号去掉，上式两边对x求导，1是待确定的常量，得到：211cos1dpTgpdx然后对x和p分离变量并对两端进行积分得到：211cos1dpgdxTp即：111sinhgpxCT(4)其中C1可以由x=0,y=0时的值确定，原点A处1'tanpy，可得C1为：1111sinhsinh(tn)aCp(5)经过上述求解已经得到了dy/dx的函数形式，即：111sinhcosdygxCdxT对上式进行分离变量：6111sinhcosgdyxCdxT积分得到：111211coscoshcosTgyxCCgT(6)其中C2同样可以由坐标系原点来确定，(0,0)点代入得常数C2为：1211coscoshTCgC(7)由于对系泊系统整体而言，水平方向受力平衡，可知：11coswindTF其中Fwind表示海面风力。综上(5)(6)(7)式，在所设定的直角坐标系下，锚链的曲线方程可以表示为：1111111111sinhtacos